78无穷等比数列各项的和(1).doc

7.8无穷等比数列各项的和（1）教学目标设计:知识与技能：能正确区分所有项之和与前n项之和，经历由无穷等比数列前n项之和，求其所有项之和的过程，体会用有限手段解决无限问题的极限思想.过程与方法： 掌握求一个无穷等比数列各项的和，只要求出数列的首项与公比的方法. 通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.情感态度价值观：让学生理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别。让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n项和的极限存在让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和教学重点:无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点:正确理解无穷等比数列各项和的定义.教学过程：一、引例1、和1哪个数大？为什么？对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.引导学生回答以下问题：（1）如果你认为，那么比1小多少？（2）如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？换一个角度来看，事实上而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为.于是可以把看作当时的极限，从而.2、(课本P44)由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。对于问题2，同样进行分析.对比以上两个问题，它们有何共同特征？共同点：都是无穷等比数列，且它们公比q的绝对值都小于1.下面，我们来研究公比绝对值小于1的一般无穷等比数列的前n项和的极限.二、无穷等比数列各项的和1、推导：设无穷等比数列为 ，且公比，则它的前n项和为提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在.当时，无穷等比数列前项和的极限如下： （） . ，. 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在2、定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫作无穷等比数列各项的和,并用S表示,即 3、注意：1）前n项之和是数列中有限个项的和,而无穷等比数列各项的和S是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别, 2）对有无穷多项的等比数列,我们实际上是不可能把它们所有的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求得,是用有限的手段解决无限的问题.3）由无穷等比数列各项的和公式可知,求一个无穷等比数列各项的和,只要求出数列的首项与公比即可解决问题.4）公式表明它只求公比的无穷等比数列各项的和.三、例题讲解例1、求下列各无穷等比数列各项和：（1）（2）（3）0.3，0.03，0.003例2、化下列循环小数为分数(1) （2） （3）分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.解：（1）等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.（2），等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.（3）学生练习.练习：P47/2规律：纯循环小数：1）所得分数的分母上的数字都是9（个数为循环节数字的位数）； 2）分子是由循环节的数字组成.混循环小数：1）所得分数的分母前面都是9（个数为循环节数字的位数），后面是0（个数为不循环数字的个数）； 2）分子是第二个循环节的数字所组成的数减去不循环数字组成的数的差.例3、 已知无穷等比数列的各项之和是4, 求首项的取值范围.分析：无穷等比数列的各项和定义的前提条件是.解：设无穷等比数列an的公比为q ，由题设知 ，得又， 故 ，解得， 所以.另解： （），利用一次函数的值域来求解.四、小结：1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=(0)；2无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；3无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比满足；4要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法五、作业：六、教后感：本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用求无穷多个数的和实际上