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2 3 1抛物线及其标准方程 问题1 同学们在哪里见过抛物线 生活中存在着各种形式的抛物线 抛物线的生活实例 投篮运动 抛物线的生活实例 抛球运动 二次函数y ax2 bx c a 0 问题2 二次函数的一般形式是怎样的 它的图象有什么特征 问题3 满足什么条件的图形为抛物线 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 抛物线的定义 即 若 则点M的轨迹为抛物线 MF MH 想一想 如何求点M的轨迹方程 求轨迹方程的步骤是什么 1 建立适当的直角坐标系 2 找等量关系 3 转化为方程 方案1 以直线l为y轴 过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系 则焦点F的坐标为 p 0 准线l的方程为x 0 设点M x y 是抛物线上任意一点 过M作MH y轴于点H 则抛物线的集合为P M MF MH 由坐标表示得 化简后得 y2 2px p2 p 0 方案2 以定点F为原点 平行l的直线为y轴建立直角坐标系 则焦点F的坐标为 0 0 准线l的方程为x p 设点M x y 是抛物线上任意一点 过M作MH y轴于点H 则抛物线的集合为P M MF MH 由坐标表示得 化简后得 y2 2px p2 p 0 K 方案3 取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴 垂足为K 并使原点与线段KF的中点重合 建立直角坐标系 则焦点F的坐标为 0 准线l的方程为x 设点M x y 是抛物线上任意一点 过M作MH y轴于点H 则抛物线的集合为P M MF MH 由坐标表示得 化简后得 y2 2px p 0 比较所得的各个方程 应该选择哪一个方程作为抛物线的标准方程呢 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是焦点到准线的距离 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上 标准方程的应用 例 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点是F 3 0 求它的标准方程 3 已知抛物线的准线方程是x 求它的标准方程 解 1 因为p 3 所以抛物线的焦点坐标是 准线方程是x 2 根据题意 3 得p 6 所以 所求抛物线的标准方程是y2 12x 3 根据题意 得p 所以 所求抛物线的标准方程是y2 x 若抛物线方程为y 6x2 则它的焦点坐标和准线方程分别是什么 思考 课堂小结 1 抛物线及其焦点
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