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第四章扭转 1 工程实例 引言 概念 2 受力特点 两个等值反向的力偶矩分别作用在杆件两端垂直于轴线的平面内变形特点 杆件的各横截面绕杆的轴线发生相对转动 引言 概念 3 已扭转变形为主的杆件通常称为轴任意两横截面间相对转过的角度称为扭转角力偶矩称为扭力矩 扭力偶矩 引言 概念 4 外力偶矩 扭矩和扭矩图 5 外力偶矩的计算工程中的传动轴 通常不直接给出外力偶矩的数值 而是给出传动轴所传递的功率和转速设外力偶矩为M 传动轴的功率为P 角速度为w 则有 理论力学 外力偶矩M单位 N m 牛顿 米 功率为P单位 W 瓦 角速度w单位 arc s 弧度 秒 外力偶矩 扭矩和扭矩图 6 外力偶矩 扭矩和扭矩图 在工程中 功率通用千瓦PkW kW 给出 角速度用转速n 转 分钟 给出 则外力偶矩的计算公式为 7 外力偶矩 扭矩和扭矩图 扭转时的内力 扭矩和扭矩图杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形 同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩T 称为扭矩扭矩T的计算仍采用截面法 8 假想截面m m将杆件分为两部分 根据平衡关系 有T M 外力偶矩 扭矩和扭矩图 9 外力偶矩 扭矩和扭矩图 扭矩符号的规定采用右手螺旋法则 如果用四指表示扭矩的转向 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时 该扭矩为正 反之 规定扭矩为负 10 外力偶矩 扭矩和扭矩图 11 外力偶矩 扭矩和扭矩图 以水平轴作为杆件横截面位置的坐标 垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值 所绘制的图形成为扭矩图 确定最大扭矩Tmax截面所在的位置对于等截面杆件 最大扭矩所在的位置即为危险截面 最大切应力所在截面的位置 12 外力偶矩 扭矩和扭矩图 例如图所示的传动轴的转速n 300转 分 主动轮的输入功率PA 367kW 从动轮B C及D的输出功率分别为PB PC 110kW PD 147kW 绘制该轴的扭矩图 并确定最大扭矩Tmax及其所在位置 13 外力偶矩 扭矩和扭矩图 解主动轮和从动轮的外力偶矩分别为方向如图所示 14 外力偶矩 扭矩和扭矩图 各段的扭矩为 若扭矩为正 表明与所设方向相同 扭矩的正向 若为负 表明扭矩与所设方向相反 15 外力偶矩 扭矩和扭矩图 绘制扭矩图 最大扭矩产生在CA段上 其值为Tmax 7 103 N m T N m 3 5 103 7 0 103 4 68 103 x 16 外力偶矩 扭矩和扭矩图 例如图所示的水平圆轴AB 在l长度上承受均布力偶矩m 单位长度的外力偶矩 作用 计算轴内扭矩并作出扭矩图 o 解取坐标系如图所示 则截面位置为x处的扭矩为Tn x m l x 从而扭矩图为 17 圆轴扭转时的应力 18 下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点处的应力此问题必须从几何 本构和平衡三个方面进行综合分析 三个方面 圆轴扭转时的应力 19 回忆轴向拉伸的应力公式的建立 实验观察 表均匀变形 几何理论假设 里均匀变形 几何理论推论 杆件在横截面上的分布内力是均匀的理论公式 平衡 20 几何关系实验观察 画线 圆周线大小 间距 形状不变 只是绕轴转动一个角度纵线仍为直线 倾角为g矩形变为平行四边形 圆轴扭转时的应力 21 基本假设圆轴横截面始终保持平面 其形状 大小与横截面间的距离均不变 只是绕轴转动一个角度 圆轴扭转的平面假设推论无轴向变形 横截面上只有切应力只有横截面内的变形 圆轴扭转时的切应力 22 圆轴扭转时的切应力 Me x m m n n Me dx a b c d cc Rdj O 几何关系 23 圆轴扭转时的切应力 由剪切胡克定律t Gg 横截面上半径为r处的切应力为 考虑到 本构关系 24 圆轴扭转的切应力 剪力方向垂直于半径 由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内 UNKNOWN 圆轴截面上的切应力tr与r成正比 线性分布 切应力在圆轴边缘达到最大 在离圆心等远的各点处 切应力则均相同 等应力线 25 圆轴扭转的切应力 静力平衡关系横截面上分布的切应力的合力 主矢 等于零 切应力关于点o的合力偶应该等于该截面上的扭矩T 即 T T 26 圆轴扭转的切应力 由于 Mn 则 记 称为圆截面的极惯性矩 27 圆轴扭转的切应力 从而 切应力的公式 最大切应力为 记 称为抗扭截面系数 则最大切应力为 由于 28 极惯性矩和抗扭截面模量 定义 实心圆轴 实心圆轴 29 极惯性矩和抗扭截面模量 空心圆轴 a 0何意 实心圆轴 30 极惯性矩和抗扭截面模量 讨论 31 薄壁圆筒的扭转 设圆筒的壁厚为t R0是圆筒的平均半径薄壁圆筒的几何特征 t R0 10 1空心圆截面处理 精确近似处理 32 由于是薄壁圆筒 所以 假定切应力沿壁厚方向是均匀的 且切应力方向垂直于半径 于是 切应力t在整个横截面上相等横截面上切应力t对原点o的力偶矩 扭矩 为 薄壁圆筒的扭转 于是 误差小于4 73 33 薄壁圆筒的扭转 适用性1 均质材料 弹性 非弹性 没有用到胡克定律 各向同性与各向异性2 t R0 10 1 34 圆轴扭转的强度分析 35 扭转试验和破坏分析 扭转试验是在扭转试验机上对圆截面试样进行测试塑性材料的t g曲线与杆件的拉伸s e曲线形状相似 如图 在剪切比例极限内 切应力和切应变成正比 即t Gg 36 扭转试验和破坏分析 破坏类型试验发现 塑性材料 小变形 小变形 脆性材料 37 扭转试验和破坏分析 斜截面上的应力从圆轴中取出一单元体AB CD面属于圆轴的横截面 垂直x轴 AD BC面属于圆轴的径向面 垂直y轴 前 后两侧面属于圆轴的两个柱面 垂直z轴 该单元体的受力状态为纯剪切应力状态AB CD AD BC面受剪力t的作用 方向如图所示 38 扭转试验和破坏分析 研究法向n与x轴夹角为a的斜截面上的应力 39 扭转试验和破坏分析 注意到 dAx dAsinadAy dAcosa 得 利用截面法和静力衡 40 在a 0o或a 90o的截面上 ta达到极值 其绝对值大小为t 并且 截面上没有正应力在a 45o的截面上 sa达到极值 其绝对值大小仍为t 并且 截面上没有切应力 扭转试验和破坏分析 41 扭转试验和破坏分析 破坏机理塑性材料 受剪破坏 低碳钢的抗剪强度低于抗拉强度 42 拉伸 steel iron 抗剪 抗拉 抗拉 抗剪 分析破坏截面与材料性质之间的关系 轴向拉伸的破坏分析 43 圆轴扭转强度条件 从破坏类型可见 对于脆性材料 如铸铁 其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此 本质上讲 理应对斜截面上的正应力进行强度计算 然而 由于斜截面上的正应力和横截面上的切应力间有固定的关系 所以 习惯上仍按最大切应力进行强度计算 44 圆轴扭转强度条件 受扭轴的破坏标志仍为屈服和断裂屈服时横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力 记为ts断裂时横截面上的最大切应力称为扭转强度极限 记为tb它们统称为扭转极限应力 记为tu 45 等截面圆轴扭转强度条件Tmax为截面上的最大扭矩 扭转强度条件 t 为扭转许用切应力 圆轴扭转强度条件 46 圆轴扭转强度条件 阶梯形圆轴 许用切应力 t 与许用正应力 s 的关系 塑性材料 t 0 5 0 577 s 脆性材料 t 0 8 1 0 st st 许用拉应力 47 Example 1 例已知 t 60MPaD 85mmt 2mmM 1 2kN m校核其强度 解由于t R0 10 1 因此 可用薄壁圆筒理论 由于扭矩T M 则故满足强度要求 48 Example 2 例轴的转速n 100r min 传递功率P 7 5kW 材料的许用应力 t 40MPa 空心轴的内外半径之比为d D 0 5 为满足强度要求 求实心轴的直径d1和空心轴的外直径D 49 Example 2 n 100r min P 7 5kW t 40MPa d D 0 5 空心圆轴直径 从而 实心圆轴直径 解轴的扭矩为 50 Example 2 设实心和空心圆轴的材料相同 长度相等 则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为 可见 在相同的强度要求下 空心圆轴比实心圆轴节省材料 51 Example 3 例阶梯圆轴AB段的直径dI 120mm BC段的直径dII 100mm 扭转力偶分别为MA 22kN m MB 36kN m MC 14kN m 已知材料的许用切应力 t 80MPa 校核该轴强度 52 Example 3 由于两端的直径不同 因此 应分别校核两段轴的强度 解利用截面法 可得AB段和BC段的扭矩分别TI 22kN m TII 14kN m扭矩图如图所示 53 Example 3 对AB段 因此 该阶梯圆轴满足强度要求 对BC段 t 80MPa 54 Example 4 例图示圆柱形密圈螺线弹簧 密圈螺线弹簧是指螺旋升角a 50 沿弹簧的轴线承受拉力F的作用 设弹簧的平均直径为D 弹簧丝的直径为d 分析弹簧的应力 并建立相应的强度条件 55 Example 4 解利用截面法 以通过弹簧轴线的平面将弹簧丝切断 选择上部为研究对象 由于螺旋升角a很小 此切面可视为弹簧丝的横截面 56 Example 4 假设与剪力Fs相应的切应力t 沿截面分布均匀 则 57 Example 4 由叠加原理可得截面上的最大切应力tmax 可见 弹簧丝处于纯剪切状态 所以其强度条件为 58 Example 4 当D d 10时 最大切应力tmax可近似为 当D d 10时 则应考虑剪应力t 和弹簧丝曲率的影响 此时 最大切应力tmax可修正为 59 圆轴扭转的变形 60 物理意义长度为dx的微元段 其两端横截面的相对转角为d 公式 圆轴扭转的变形 62 从而 抗扭刚度 单位长度的扭转角 等截面常扭矩公式 轴两端面之间的相对扭转角与轴长 扭矩成正比 与抗扭刚度成反比 圆轴扭转的变形 63 圆轴扭转的变形 1 阶梯轴 2 变截面 3 变扭矩 4 变截面变扭矩 64 等直圆轴刚度条件 65 对于等截面常扭矩圆轴 单位长度扭转角 圆轴扭转的变形 66 圆轴扭转的刚度条件 刚度条件在考虑刚度问题时 通常限制圆轴的最大单位长度的扭角qmax不超过许用扭角 q 即 67 Example 1 例阶梯轴横截面B和C上的外力偶矩分别为MB 4200N m MC 1200N m 圆轴直径d1 50mm d2 75mm 长度l1 500mm l2 750mm 剪切弹性模量G 80GPa 许用单位扭角 q 2o m 求截面C相对截面A的扭转角 AC 并校核该轴的刚度条件 68 Example 1 解阶梯轴在BC段和AB段内的扭矩分别为T1 MC 1200N mT2 MB MC 3000N m 截面B相对于截面A的扭转角 AB为 69 Example 1 截面C相对于截面B的扭转角 BC为 故截面C相对于截面A的扭转角 AC为 负号何意 70 Example 1 AB段的单位长度的扭转角qAB为 BC段的单位长度的扭转角qBC为 故满足刚度要求 q 2o m 71 Example 2 例传动轴所承受的扭矩M 200N m 轴的直径d 40mm 材料的许用应力 t 40MPa 剪切模量G 80GPa 许用单位长度转角 q 1o m 校核该轴的强度和刚度 解该轴的扭矩T M 校核轴的刚度校核轴的强度该轴满足强度和刚度的要求 M 72 Example 3 例一汽车主传动轮 受到最大转矩M 1800N m的作用 轴由内径d 82mm 外径D 90mm的无缝钢管支撑 材料的剪切弹性模量G 80GPa 单位长度的许用扭角 q 1o m 校核该轴刚度 若改用刚度相同的实心轴 求实心轴的直径 比较空心和实心轴的重量 73 Example 3 满足刚度要求 空心轴的单位长度的扭角为 解1 校核空心轴的刚度 74 Example 3 2 改用实心轴 由q 0 645o m得 3 比较重量在长度 材料相同的条件下 其重量比就是相应的面积比 75 结论 空心轴比实心轴具有优越性原因 由于切应力为线性分布的 所以 即使外圆周的切应力t达到许用切应力 t 时 在圆心附近的切应力仍然较小 不利于材料的充分利用圆心附近的切应力由于力臂较小 因而抵抗材料所承受的扭矩也较小 圆轴扭转的刚度条件 76 因此 设计时应将材料外移至离圆心较远处 在面积保持不变的条件下 做成空心截面 以提高材料的承载能力 同时 由于极惯性矩Ip的相应增加 也提高了抵抗扭转变形的能力 设计时需要注意的是 管壁不能过薄 因为管壁过薄 受扭变形时 可能出现皱褶现象 局部失稳尽量减少截面尺寸的急剧变化 以减缓应力集中 圆轴扭转的刚度条件 77 扭转静不定问题 78 扭转静不定问题 如果支座处的约束反力偶矩不能仅由静力平衡方程确定 扭转静不定问题 79 解设轴A B两端的支座反力偶矩分别为MA和MB 方向如图所示 物理方程 由静力平衡方程 有MA MB M截面C相对于截面A的转角 AC为 扭转静不定问题 80 扭转静不定问题 截面B相对于截面C的转角 CB为 由此得 几何方程截面B相对于截面A的转角 AB为 AB AC CB 0 即 81 例有一空心圆套A套在实心圆杆B的一端 两杆在同一横截面上各有一直径相同的贯穿孔 但两孔的中心线的夹角为b 现在杆B上施加一外力偶 使其扭转到两孔对准的位置 并在孔中装上销钉 求在外力偶除去后两杆所承受的扭矩 装配应力 扭转静不定问题 82 解当除去外力偶后 由于内管和外管通过销钉联结 并相互作用 所以 作用在杆A B上的扭矩MA MB必然大小相等 方向相反 组成平衡力系 因此 这是一个一次静不定问题 扭转静不定问题 83 由平衡关系 有TA TB T 由几何关系 有 A B b 由物理关系 有 两杆件的转角分别为 由此 解得 扭转静不定问题 84 非圆截面杆的扭转 85 例如矩形截面直杆的扭转 变形特征 横截面周线在扭转后变为非平面曲线 平截面假定不成立 横截面变形后变为曲面 翘曲现象 翘曲 非圆截面杆的扭转 86 非圆截面直杆的扭转分类 自由扭转 横截面可自由翘曲的扭转相邻两横截面的翘曲程度完全相同 两横截面间纵向纤维没有伸长横截面上只存在切应力 没有正应力 非圆截面杆的扭转 87 约束扭转 横截面的翘曲受到限制的扭转相邻两横截面的翘曲程度不相同 伴随着两横截面间纵向纤维的伸长或压缩截面上不仅有切应力 而且有附加正应力对非圆实心轴 通常附加正应力很小 可忽略不计对非圆薄壁杆 有时附加正应力很大 必须考虑其效应 此时 横截面上不仅有切应力 扭转切应力和弯矩切应力 而且有附加正应力 薄壁结构力学 非圆截面杆的扭转 88 下面仅讨论矩形截面和狭长矩形截面的等直轴的自由扭转矩形截面等直轴的自由扭转问题必须用弹性力学理论才能解决 这里只简单的介绍弹性力学解的相应结果 以便应用 非圆截面杆的扭转 89 非圆截面杆的扭转 横截面上的切应力分布横截面周边各点的切应力方向必与周边平行截面凸角处切应力的值为零最大切应力tmax发生在矩形截面长边的中点处截面短边中点处的切应力数值也相当大 T 90 非圆截面杆的扭转 横截面上切应力沿径向不再是线性分布横截面长边中点处的最大切应力为 Wt ahb2为横截面抗扭截面模量 a为与截面长宽比有关的系数 91 非圆截面杆的扭转 横截面短边中点处切应力为 g为系数 92 非圆截面杆的扭转 当h b 10时 狭长矩形截面直杆 有即 93 例材料 横截面面积和长度均相同的两根轴 其横截面分别为圆形截面和正方形截面 若两端作用的扭矩M也相同 计算两轴的最大切应力和扭转变形 解设圆截面的直径为d 矩形截面的边长为a 则由于两截面的面积相等 有 EXAMPLE 94 对于圆形截面轴 最大切应力和扭转角分别为 对于矩形截面轴 查表可得a 0 208 b 0 141 最大切应力和扭转角分别为 EXAMPLE 95 从而 无论是扭转强度或是扭转刚度 圆形截面轴比正方形截面轴具有更好的力学性能 EXAMPLE 96 薄壁杆的自由扭转 97 薄壁杆件 横截面的厚度远小于其它两个尺寸的杆件 即 薄壁杆的自由扭转 98 横截面的厚度平分线称为截面中线开口薄壁杆件 横截面中线不是一条封闭曲线 闭口薄壁杆件 横截面中线是一条封闭曲线 薄壁杆的自由扭转 99 开口薄壁杆件 开口薄壁杆件的自由扭转分析表明 对于由若干个矩形组成截面的开口薄壁杆件的自由扭转 采用以下近似假设 100 开口薄壁杆件 切应力在每个小矩形上的分布与矩形截面杆扭转时相同 即切应力沿壁厚线性分布 在边界上达到最大值 并沿边界的切线方向 101 开口薄壁杆件 每个小矩形截面的扭转角相等 而且等于薄壁杆件的整个扭转角 即 1 2 每个小矩形截面上的扭矩总和等于整个截面上的扭矩 即T1 T2 T 102 开口薄壁杆件 对于由狭长矩形组成的截面 最大剪应力将发生在厚度最大的窄矩形截面的长边上 扭转角为 103 闭口薄壁杆件 闭口薄壁杆件的自由扭转对于其它形状的闭口薄壁杆件的自由扭转 与薄壁圆筒相似 由于壁厚很小 可以假定切应力t沿壁厚均匀分布 其方向沿着截面中线的切线而形成环流 104 在此假设下 用相距dx的两个横截面以及垂直于截面中线的两个纵截面切去一个单元体 由单元体的轴向 x方向 平衡得t1t1dx t2t2dx 0于是 t1t1 t2t2 const 闭口薄壁杆件 tt const称为剪力流 105 闭口薄壁杆件 O ttds r 106 最大