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随机前沿生产函数 随机前沿生产函数 1 生产函数概述2 随机前沿生产函数3 SFA与其他方法的比较4 Frontier4 1 1 生产函数概述 1 1发展进程1 2常用生产函数的具体形式 1 1发展进程 任何生产行为都是在特定的生产技术条件下进行的 这种特定的生产技术关系决定了一个生产过程投入和产出的数量上的对应关系 描述这种对应关系的工具就是生产函数 从20世纪20年代末 美国经济学Cobb和Doyglas提出生产函数这一名词 并用1899 1922年生产情况资料导出著名的Cobb Doyglas生产函数以来 不断有新的研究成果出现 使生产函数的研究与应用呈现常盛不衰的局面 生产函数研究的主要成果 1928年Cobb DoyglasC D生产函数1937年DylanerC D生产函数的改进1953年Shephard距离函数1957年SolowC D生产函数的改进1960年Solow体现型技术进步生产函数1961年Arrow等两要素CES生产函数 1967年Sato二级CES生产函数1968年Sato HoffmanVES生产函数1968年Aigner Chy确定性前沿生产函数1971年Christensen Jorgenson超越对数生产函数1971年Diewert广义列昂惕夫生产函数1979年Brown Caves Christensen多产出超越对数函数1980年Greene最大可能前沿生产函数 1 2常用生产函数的具体形式 把生产函数F X 具体化 可以得到多种常用生产函数的具体形式 其中较为常用的有柯布道格拉斯生产函数 C D生产函数 线性生产函数 列昂惕夫生产函数 固定替代弹性生产函数 CES生产函数 和超越对数生产函数 Translog生产函数 一般常见的函数形式 2 随机前沿生产函数 2 1相关理论知识2 2发展进程2 3随机前沿生产函数2 4估计参量2 5假设检验 2 1相关理论知识 1 生产率 Productivity 是指厂商所生产的产出与所需投入的比值 当生产过程只有单投入 单产出的时候 计算是相当简单的 当投入多于一个时 为了获得生产率 必须将这些多投入汇成一个单一的指数 当我们提及生产率的时候 生产率就是指全要素生产率 TotalFactorProductivity 它是一种包括所有生产要素的生产率测量 2 技术效率 TechnicalEfficiency 首先由Farrell 1957 提出的 具体定义如下 产出规模不变以及市场价格不变的条件下 按照既定的要素投入比例 生产一定量产品所需的最小成本与实际成本的百分比 当技术效率等于1时我们称之为技术有效 3 生产前沿面 ProductionFrontier 表示的是对于不同水平的投入可以获得的最大产出水平 也称生产边界 它可以用来定义投入和产出的关系 4 规模效率 ScaleEfficiency 是指资源投入规模对生产效能的影响 即衡量企业是否能够得当的要素投入比例 5 配置效率 AllocativeEfficiency 反映了一个公司合理划分投入成份 并合理安排对应价格和生产技术的能力 2 2发展进程 20世纪20年代 美国经济学家道格拉斯 P Douglas 与数学家柯布 C Cobb 合作提出了生产函数理论 开始了生产率在经济增长中作用的定量研究 1957年 美国经济学家罗伯特 索洛 R Solow 在 经济学与统计学评论 上发表了 技术变化与总量生产函数 一文 第一次将技术进步因素纳入经济增长模型 在定量研究中 索洛将人均产出增长扣除资本集约程度增长后的未被解释部分归为技术进步的结果称其为技术进步率 这些未被解释的部分后来被称为 增长余值 或 索洛值 也即为全要素生产率 TFP 的增长率 1977年 Aigner Lovell Schmidt和Meeusen VandenBroeck分别独立提出了随机前沿生产函数 之后逐渐发展起来的随机前沿生产函数法则允许技术无效率的存在 并将全要素生产率的变化分解为生产可能性边界的移动和技术效率的变化 这种方法比传统的生产函数法更接近于生产和经济增长的实际情况 能够将影响TFP的因素从TFP的变化率中分离出来 从而更加深入地研究经济增长的根源 利用随机前沿生产函数法 Schmidt 1980 1986 Kumbhakar 1988 1990 Bauer 1990 Kalirajan 1993 Batese和Coelli 1988 1992 1995 等对技术效率对TFP和产出的影响做了大量的实证研究 2 3随机前沿生产函数 传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之间的关系 称之为平均生产函数 测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法 SRA 其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产效率 从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结为技术进步 technologicalprogress 的结果 这部分索洛剩余后来被称为全要素生产率 但是1957年 Farrell在研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数 FrontierProdutionFunction 的概念 对既定的投入因素进行最佳组合 计算所能达到的最优产出 类似于经济学中所说的 帕累托最优 我们称之为前沿面 前沿生产函数 FrontierProdutionFunction 反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下 企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系 通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率 前沿生产函数的研究方法有 参数方法和非参方法 两者都可以用来测量效率水平 参数方法沿袭了传统生产函数的估计思想 主要运用最小二乘法或极大似然估计法进行计算 参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形式 然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算 而非参数方法首先根据投入和产出 构造出一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合 其中非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出 或以最小的投入生产出一定的产出 但非参数方法存在的最大局限是 该方法主要运用线性规划方法进行计算 而不像参数方法有统计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考 另外 非参数方法对观测数有一定的限制 有时不得不舍弃一些样本值 这样就影响了观测结果的稳定性 因此 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数的计算 在参数型前沿生产函数的研究中 围绕误差项的确立 又分为随机性和确定性两种方法 首先 确定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响 直接采用线性规划方法计算前沿面 确定性前沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一个误差项中 并将其称为生产非效率 确定性前沿生产函数模型如下 其中u大于等于0 因而exp u 介于0和之间 反映了生产函数的非效率程度 也就是实际产出与最大产出的距离 在确定了生产函数的具体形式后 可以计算或估计其参数 随机前沿生产函数 StochasticFrontierProductionFunction 在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机边界模型 其主要思想为随机扰动项 应由v和u组成 其中v是随机误差项 是企业不能控制的影响因素 具有随机性 用以计算系统非效率 u是技术损失误差项 是企业可以控制的影响因素 可用来计算技术非效率 很明显 参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性 也反映了样本计算的真实性 Aigner Lovell和Schmidt 1977 以及Meeusen和Broeck 1977 都分别提出了如下形式的随机前沿面生产函数 1 式中 代表第i家公司的产出 是包含投入对数的K 1向量 是待估参数的列向量 是与技术无效率相关的非负随机变量 为观测误差及其他随机因素 由式 1 确定的模式被称为随机前面生产函数 产出值的上界是随机变量 随机误差可以是正值也可以是负值 因此随机前沿面的产出对于前沿面模型的确定部分 是有偏差的 随机前沿面模型的这些重要特点可以通过图示说明 为了方便说明 首先要限定只有唯一的投入获得产出 在这个前提下的科布 道格拉斯随机前沿生产函数如下 或或 确定部分 噪声 无效率 图1表示的就是这样一个前沿生产函数 其中表示了两个公司A和B的投入和产出 同时也图示了随机前沿生产函数模型的确定成分 由此来反映其规模报酬递减的特性 横轴表示投入 纵轴表示产出值 公司A在投入水平的下得到产出 而公司B在投入水平下得到产出 如果没有技术无效率效应 例如如果和都等于0 则A和B两个公司的前沿生产函数产出分别为 图1随机生产前沿面 噪声影响 无效率影响 噪声影响 无效率影响 0 Y X 确定性前沿面 XA XB 从图1中可以很清楚的看到 公司A前沿面产出在生产前沿面的确定值的上方 这是因为噪声效应为正值 而公司B的前沿面产出在生产前沿面得确定值的下方 因为噪声效应为负值 同样可以看到 公司A的观测产出在前沿面得确定值的下方 这是因为噪声效应和技术无效率效应的总和为负值 2020 3 20 27 可编辑 这个前沿面模型的特点可以推广到公司具有多个投入的情形 特别是 未观测的 前沿面产出均匀分布在前沿面确定部分的上方和下方 技术效率可以用计算观测产出与相应的随机前沿面产出的比值 按照这种方法的技术效率取值为0 1 很明显可以看出 技术效率预测的第一步是估计随机前沿生产函数的参数 2 4估计参量 通常假设每个与互相独立分布 并且这两种误差与中的解释变量是不相关的 此外 期望为0 同方差 不相关 c为常数 同方差 不相关 基于这些假设 可以使用最大似然法 ML 或者修正的普通最小二乘法 COLS 估计参数和随机变量 进而得到技术效率 由于最大似然估计量具有很大令人满意的大样本特征 例如渐进性 它通常要优于其他估计 如COLS 1 正态 半正态模型的ML估计 Aigner Lovell和Schmidt 1977 基于以下假设得到了最大似然估计 1 2 式1表明是独立同分布 independentlyandidenticallydistributed 的正态随机变量 服从期望为0 方差为 式2表明是独立同分布的半正态随机变量 服从参数为 其中令且 如果 则不会有技术无效率效应 并且所有与前沿面的偏差都是由噪声造成的 利用这种参数定义法 对数似然函数为式中 是复合误差 是标准正态分布变量在x评价的累积分布函数 最后对似然函数求最大值 通常要对未知参量求一阶倒数 然后把它们设定为0 但是在上式的条件下 由于这些一阶条件是高度非线性的 并且不能得出 和 的解析解 因此必须利用逐步迭代最优化的方法来求似然函数的最大值 这一过程包括为未知参量选取起始值和系统地修正它们 直到给出参数 的ML估计以及技术效率的估计 详细过程如下 2 其他模型 利用以下形式来替代式 2 中的半正态假设也很常见 截断的正态分布 期望为 的指数分布 期望为 自由度为m的伽马分布 截断的正态分布前沿面模型是Stevenson 1980 提出的 而伽马分布是Greene 1990 提出的 这些模型同样需要逐步最优化来求最大值 2 5假设检验 在建立模型过程中 要对模型参数以及模型的各种假定条件作检验和判断 常用的检验方法主要有 t检验 F检验 Wald检验 似然比 LR 检验 拉格朗日乘子 LM 检验等 t检验 如果误差服从正态分布 或者当样本容量很大时 能够使用t检测来对单一的系数进行假设检验 令是向量 的第k个分量 c是一个已知常数 对于原假设与备选假设使用如下检测统计进行检验 式中 是的估计值 是标准差的估计 因此 如果检测统计的绝对值大于临界值时 在显著性为 100 下舍弃 如果备选假设是 当t统计量的值小于时则舍弃 如果备选假设是 当t统计量的值大于时则舍弃 3 SFA与其他方法的比较 生产率和效率的度量一般使用DEA和SFA StochasticFrontierAnalysis 方法 指数方法一般需要价格数据 其度量结果不仅与生产经营有关 还与外部市场环境有关 对度量结果 还需分析原始数据误差 环境因素 管理决策效率 长期最优化 以利企业找出差距 增强其核心竞争力 以下表格是对指数方法 DEA SFA三种方法的比较 SFA与DEA的比较 DEA方法数值计算简单 并且当不知道投入与产出的代数关系时 DEA方法依然能够应用 也就是说 无论产出与投入的关系时线性关系 二次关系 指数关系或者其他的函数关系 都能够估计前沿面 当假设投入和产出具有一定的函数关系时 前沿面估计可以采用随机前沿分析 SFA 当函数形式确定了 需要进一步使用计量经济学的方法确定函数的参量 这使得SFA比DEA需要更多的计算 然而 SFA具有两个明显的优势使得额外的计算负担也是值得的 第一 SFA方法具有统计特性 可以对模型中参数进行检验 t检验 还可以对模型本身进行检验 LR检验 而DEA方法不具有这一统计特性 第二 SFA方法可以建立随机前沿模型 使得前沿面本身是随机的 这对于跨时期的面板数据研究而言 其结论更加接近于现实 而DEA方法的前沿面是固定的 忽略了样本之间的差异性 没能考虑统计噪声 例如从生产模型中忽略了相关变量所带来的结果 使得研究结论不及SFA方法更加接近现实 但是SFA参数方法往往只处理单输出的情况 而对于多输入多输出的经济系统处理起来则十分复杂 对于无效单元 参数方法仅仅能说明无效程度即效率大小 而DEA在这点比它具有优越性 4 Frontier4 1 FRONTIER是一个最简单常用的随机前沿分析估计的计算机程序包 Coelli 1996a FRONTIER计算机程序与DEAP计算机程序的构造非常相似 它提供了大量随机前沿面和成本函数的最大似然估计 考虑的随机前沿面模型可以适应面板数据 并假定公司的效应为截断正态随机变量分布 程序也可以适用于横截面数据和面板数据 时变无效率和时不变无效率效应 成本函数和生产函数 半正态分布和截断正态分布 以及以对数或原单位的相关变量的函数形式 Frontier4 1简介 程序解包后 最主要的是4个文件 Front41 exe Front41 000 Front41 for Front41 eer 这是程序运行所必须的 程序还附带了有一个例子 原数据文件是Eg1 xls Front41进行一次运算需要有数据文件 命令文件和输出文件 当然 输出文件是程序自动生成的 但我们必须在程序文件中指定输出文件名 现在我们首先介绍一下数据文件 用记事本打开EG1 dta txt 会发现这是一个纯文本文件 数据文件的格式必须是3 k p 列 并且是按照以下顺序 1 评价体系的序号iDMU 1 N 2 期数t 1 T 3 因变量4 自变量 3 k 3 k 1 3 k p 注 z只在假定模型中服从 其中 是影响公司效率的p 1的向量