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不定积分的求解方法论文正稿 当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法”求解。 但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进行变换，使其满足公式再计算。 “分项积分法+因式分解法”通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。 当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。 “第一类换元积分法”通过为复合函数的中间变量“凑微分”达到解题目的。 “第二类换元积分法”多用于当第一类无法实行时，但“第二类换元积分法”的换元形式比较不容易看出来，真正做到灵活运用需要累积许多经验。 当被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，我们多考虑用“分部积分法”。 “分部积分法”有着明显特征，并十分容易上手，是一种很好的解题方法。 而“有理函数的积分法”与“第二类换元积分法”一样，没有特别固定的套路，多凭借经验和灵活运用。 所以一般拿到题目可先考虑用别的方法。 在拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述六种解题类型的哪一类。 排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进行进一步筛选，直到留下两种或两种以下的解题方法后，再进行尝试。 若用某种方法解题时，无论怎么解都解不出答案，那么可先检查自己有没有运算的错误，或者是否选错了方法。 总之，不定积分虽然有很多题型，但是解题的方法离不开上述六种，只要掌握了上述六种任何不定积分都不再是难题！关键词不定积分；基本公式法；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分法The methodof calculatingthe indefinite integral LINXiang-qun(Gradexx,Mathematics andApplied Mathematics,College ofMathematics andComputer Science,Chongqing ThreeGorges University,Wanzhou,Chongqing404000)Abstract:The methodof indefinite integral inthe undergraduatestage canbe classifiedinto sixcategories:basic formula method,ponent integrationmethod&factorization method,collect可版Word完美格式differential method(the first kind ofchange ofvariable inan indefinite integral),the secondkind ofchange ofvariable inan indefinite integral,integration byparts method,primitives ofrational functionsmethod.When wesee forindefiniteintegralhas correspondingformula inthe table,we useformulamethod.But theactual problemis moreplicated,so weall shalltransfer theindefiniteintegralthrough other methods tomake itmeet the formula inthe end.ponent integrationmethod&factorization methodusing forthe polynomialinto monomialthen findindefiniteintegralrespectively,and binedwith trigonometricidentity,we canhandle hightime trigonometric function todrop power,thus easy to integrate.When theintegrand isposite function,we considerchanging thevariable.The firstkind ofchange thevariableworking bythe giventhe middlevariable of the positefunction tosolving the problem.The secondkind ofchange ofvariable inan indefiniteintegralis workingwhen the firstkind of failingto solvethe problem.Butthe secondis lesslikely tosee immediatelybecause thatquestion istruly flexibleand needto aumulatemany experiences.When theintegrand ismixing bypower function,trigonometricfunction,exponential functionand logarithmicfunction ofany two,we considerusing theintegration byparts method.Integration byparts method”has obviouscharacteristic andis veryeasyto use,is akind ofgood methodto solveproblems.Andprimitives ofrational functionsmethodis similartothe secondkindofchange ofvariable inan indefiniteintegralmethod:there isno specialcharacteristic,all weneed ismore experiencesand flexibleinsights.So we can considertouseothermethodsfirst whenwe get the problem,then analysisthe kindofthesix typesto findwhich typeis nothelpful andwhich isuntil leavesone ortwo possiblemethods forfurther trying.If nomatter howto solvethe questionall wasfail,wecancheck ifthefirstoperation iserror orif wechoose thewrong way.All inall,indefiniteintegralquestion althoughhave manytype,theproblemsolving methodis not far awayfrom thesemethod above.As longas tomaster thesix kinds,any indefiniteintegral isno longera problem!Keywords:Indefinite Integral;Basic FormulaMethod;Change theVariable;Integration byParts;Primitives ofRational Functions可版Word完美格式1引言函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作?,?dx x f(1.1)其中称?为积分号，?dx x f为被积表达式，x为积分变量。 若?x F是?x f的某一个原函数，则不定积分可记为?,C xF dx x f?(1.2)其中C为任意常数。 定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完论还未形成。 直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进程做出了巨大的贡献。 在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。 20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题的解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。 所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。 不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的方法是非常重要的。 现下学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路，最后若能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是若只求结题，事后不总结，那么就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对数学的学习热情。 本文针对一些常见的函数不定积分的方法进行归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和基本素质。 2不定积分的求解方法常见的不定积分求解方法有基本公式法、分项积分法、因式分解法、“凑”微分法（第一类换元积分法）、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法等。 2.1基本公式法我们将一些常见函数的积分归纳成一个积分公式表，如下1)?C kx kdx（k是常数），?Cxdx x11?（1?），?C xxdxln，?Caadx axxln；2)?C x xdx cos sin，?C x xdx sin cos，可版Word完美格式C x xdx?cos lntan，?C x xdx sinln cot，?Cxdxx2tancos11，?Cxdxx42tansin11?，?C x x xdx tan secln sec，?C x x xdx cot cscln csc，?C x xdx tan sec2，?C x xdxcot csc2，?C x xdx x sec tan sec，?C x xdx xcsc cot csc；3)?Caxx adxarcsin22（?C xxdxarcsin12），?Caxa x adxarctan122（?C xxdxarctan12），?C a x xa xdx2222ln，?C ax xaxdx2222ln，?Ca xaxa axdxln2122，C x axax adx x a?232222arcsin2。 2.2分项积分法、因式分解法分项积分法和因式分解法是基于不定积分两大性质而得。 根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质性质1设函数?x f及?x g的原函数存在，则?.dx x g dx x f dx x g x f(2.2.1)性质2设函数?x f的原函数存在，k为非零常数，则?.dx x f kdx xkf(2.2.2)利用不定积分的这两个性质，可以将复杂积分分解为几项，通过求出每一项的不定积分达到解题的效果。 如可版Word完美格式?.32572555523272125212521252C x xdx x dx xdx x dx xdx xx dx xx?2.3“凑”微分法（第一类换元积分法）如果函数?xg可以化为?xx f xg?的形式，那么有?,)(C xF dx xx f dx xg?(2.3.1)其中F是f的原函数。 这种第一类换元积分法即通过变量代换?x u?，将积分?dxxx f?化为积分?du uf进行计算。 若复合函数中间变量的微分显然存在于被积函数中，如?xdx2cos2的被积函数中，“x2cos”是一个复合函数，“2”恰好是中间变量“x2”的微分，那么就有?.2sin22cos22cos22cos2cos2C xx xddx xxdx xxdx?若复合函数中间变量的微分并没有存在于被积函数中，但可以添加，我们就可以通过“凑”微分的方式进行换元积分。 如?dxx231中间变量x23?的微分为2，但并没有作为因式存在于被积函数中，这时我们可以乘进一个2，再通过乘以一个21的方法求解?.23ln212323121231221231C xx dxdxxdxx?第一类换元积分法又叫做“凑”微分法的原因为是，我们总是在解题过程中，为被积复合函数的中间变量凑一个微分，从而达到换元解题的目的。 可版Word完美格式2.4第二类换元积分法将积分?dxx f中的x适当地选择变量代换为?t x?，则有?,1C x dt tt fdxx f?(2.4.1)其中?师?的原函数。 这公式的成立是需要一定条件的。 首先，?ttf?有原函数；其次，?dt ttf?求出后必须用?t x?的反函数?xt1?代回去，为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函效?t x?在t的某一个区间（这区间和所考虑的x的积分区间相对应）上是单调的、可导的，并且?0?t?。 第二类换元积分法与第一类不同的是，我们换的元通常没有那么明显的逻辑性，换元的选择需要凭借个人的经验。 例2.4求).0(22?a dxx a解令t ax sin?，22?t，则?.21arcsin21241arcsin21cos sin241212sin412122cos41212cos2121coscos cossin2322222222222222222222C xa xaxaCaxaaxaaxaC tt at aCt at attd aatdt adt atdt atdt at adt t aa dxxa?2.5分部积分法分部积分法是一种经常用到的积分法。 设函数?x uu?及?x vv?具有连续导数，那么可版Word完美格式?.vdu uv udv dxv u(2.5.1)例2.5求?xdx xcos。 解（将u看作x，v看作x sin）.cos sinsinsinsin cosC xx xxdx xxx xdxdx x?2.6有理函数的积分利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，例如.141213222224?xxxx x对子真分式?x Qx P，如果分母可分解为两个多顶式的乘积?,21x Qx Qx Q?且?x Q1与?x Q2没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和?,2211x Qx Px QxPx QxP?如果多项式还可再分拆成更简单的部分分式，就按上述方法继续分。 最后，有理函数的分解式中只出现多项式、?k axx P? 1、?lq pxxx P?22等三类函数（这里042?q p，?xP1为小于k次的多项式，?xP2为小于l2次的多项式），根据(2.2.1)和(2.2.2)，多项式的积分可容易求得。 3各种方法所对应的题型3.1基本公式法当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条（如?3xdx可以化成?dxx3用公式?Cxdx x11?（1?）求解，?dxx2可以用公式?Caadx axxln求解），此时我们便用公式法求解。 在实际问题中，一般并不如此简单，都需将原题通过其他方法进行变换，从而满足公式表再计算。 可版Word完美格式例3.1求?3xxdx。 解?dx xxxdx343.33134331134CxC xCx?3.2分项积分法、因式分解法这一方法通过把多项式分解成单项式求积分，如将?dxxx52分解成为?dxx dxx21255。 不过这一方法的更高价值在于对带有三角函数的积分求解，借助三角恒等式，可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。 所以我们在碰到两个因式相乘除、高次三角函数积分时，就要考虑用这种方法。 例3.2.1求?dxxx231。 解?dxxx xxdxxx223231331.1ln33233133222Cxx xxxdxxdxdx xdxdxx xx?例3.2.2求?xdx2tan。 解先利用三角恒等式化成表中所列类型的积分，然后再逐项求积分?.tansec1sec tan222C xxdx dxxdx xxdx?一般的，对于x xlk22c ossi n（k、?l）型函数，总可利用三角恒等式可版Word完美格式?xx2cos121sin2?，?xx2cos121cos2?化成cos2x的多项式，进而得出积分结果。 3.3“凑”微分法（第一类换元积分法）当被积函数为复合函数时，首先考虑这种方法，因为我们可以为复合函数的中间变量“凑微分”达到解题目的。 一般我们都是根据构成被积函数的复合函数中的中间变量，“凑”一个微分，从而达到解题的目的。 下面介绍几种常见的“凑”微分题型1)?b ax d bax fnadxx bax fn nnn11，?x dx fdxxx f2，?xdxf dxxfx11112，?xxx xed efdxefe，?x dx fdxxx flnlnln；2)?x dx fdxxx farcsinarcsin1arcsin2，?x dx fdxxx farctanarctan1arctan2，?x dxfxdx xf sinsincos sin，?xdxfxdx xf coscossincos，?xdxfxdx xf tantansectan2，?xdxfxdx xf cotcotcsot2，?xdxfxdxxxfsec sectansecsec，?xdxfxdxxxfcsc csotcssc。 上述几个题型只是将比较常见的“凑”微分题型进行展现，不难看出这些题型都是中间变量的微分已经存在于被积函数中的类型，但是有时也需进行一定变形才能发现，如.tan1111111122222Caxacraaxdaxadxaxadxx a?对于中间变量的微分未存在于题干中的题目，我们可以通过乘以因式。 再除以因式的方法“凑”出微分，如2.3中的?dxx231。 可版Word完美格式3.4第二类换元积分法在我们碰到被积函数是复合函数时，有很大一部分的中间变量的微分是无法用用第一类换元积分法“凑”出来的，这时我们就要用第二类换元积分法。 第二类换元积分法的换元形式十分多变，真正做到灵活运用需要累积许多经验。 当我们碰到下面这些情况时，要先想到用第二类换元积分法1)当被积函数中含有22xa?时，令t ax sin?；当被积函数中含有22ax?时，令t ax tan?；当被积函数中含有22ax?时，令taxsec?。 （注意当进行完三角函数换元后，通常要画一个如例2.4般的三角形，方便将“元”换回来）2)当被积函数中含有无理函数时，转换为有理函数，如令t x?。 第二类换元积分法相较于第一类换元积分法用到较少，只要找准代换关系，题目便会迎刃而解。 例3.4.1求?dxx x311。 解被积函数中出现了两个根式x及3x。 为了能同时消去这两个根式，可以令6t x?。 于是dttdx56?，从而所求积分为?.arctan6arctan6111616161662223253C xxC ttdttdtttdtt ttxxdx?3.5分部积分法当被积函数是幂函数、三角函数、指数函数、对数函数中任意两个的乘积时，首先考虑用分部积分法。 选择u、v时要注意，要使?vdu相对于?udv较为好求。 下面对常见的u、v选择进行呈现v uexax k、u vxxkln、vu v ubxx bxxk k/cos/sin、u vu vaxx axxk k/arctan/arcsin、可版Word完美格式uvu vbxe bxeax ax/cos/sin上述关系可以理解为，在选择u时的考虑顺序为对反三幂三指。 例3.5.1求?xdx aros。 解设x uaros?，dx dv?，那么?.1aros11121aros1arosaros arosaros222122C xxxxdxx xdxxxxxxxdxxxdx?3.6有理函数的积分有理函数的积分与第二类换元积分法一样，没有固定的套路，多凭借经验和灵活运用。 一般来说，这种方法较前5种用到的比较少，所以拿到题目可先考虑用别的方法。 虽然如此，但是还是有些特别类型的题目需要用到这种方法，当遇到类似下面的题目时，即用有理函数的积分方法。 例3.6.1求?dxx xx6512。 解被积函数的分母分解成?23?xx，故可设,236512?xBxAx xx其中A、B为待定系数。 上式两端去分母后，得?,321?x Bx A x即?.321B A x B Ax?比较上式两端同次幂的系数，即有?,132,1B AB A从而解得.3,4?BA于是.23346512dxx xdxx xx?.2ln33ln4Cxx?可版Word完美格式例3.6.2求?dxxxx1132。 解被积函数分母的两个因式1?x与12?x有公因式，故需再分解成?112?xx。 设?,1111322?xCxB Axxxx则?,1132?x Cx BAx x即?,232C Bx CBAx CAx?有?,3,12,0C BCB ACA解得?.1,2,1CBA于是?.