圆锥曲线焦点、焦点三角形类.doc

圆锥曲线焦点 焦点三角形问题 13 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 答案 B 20 2009 湖南卷文 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 答案 B 29 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与 抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 l 的方程为 解析 抛物线的方程为 2 4yx 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有 两式相减得 直线l 的方程为y 2 x 2 即y x 答案 y x 39 2009 年上海卷理 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 答案 3 40 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭圆 G 上一点到 1 F和 2 F的距离之和为 12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圆心为 点 k A 1 求椭圆 G的方程 2 求 21F FAk 的面积 3 问是否存在圆 k C包围椭圆 G 请说明理由 解解 1 设椭圆 G 的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为 c 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求椭圆 G 的方程为 22 1 369 xy 2 点 K A的坐标为 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V 3 若0k 由012152101206 22 可知点 6 0 在圆 k C外 若0k 由01215210120 6 22 可知点 6 0 在圆 k C外 不论 K 为何值圆 k C都不能包围椭圆 G 62 2009 陕西卷文 本小题满分 12 分 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1 0 0 yx ab ab 离心率 5 2 e 顶点到渐近线的距离 为 2 5 5 1 求双曲线 C 的方程 2 如图 P 是双曲线 C 上一点 A B 两点在双曲线 C 的两条 渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 1 2 3 APPB 求AOB 面积的取值范 围 方法一方法一 解解 由题意知 双曲线C的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 由 知双曲线 C 的两条渐近线方程为2yx 设 2 2 0 0A mm Bnn mn 由 APPBP uu u ruur m n 2 m n 得点的坐标为 1 1 将 P 点的坐标代入 22 2 1 1 44 y x 化简得m n 因为2 AOB 14 tan 2 tan sin2 225 又5 5OAm OBn 所以 111 sin22 1 22 AOB SOAOBmn 记 111 1 2 23 S 则 2 11 1 2 S 由 01S 得 又 S 1 2 189 2 334 SS 当1 时 AOB 面积取到最小值2 当当 1 3 时 AOB 面积取到最大值 8 3 所以AOB 面积范围是 8 2 3 方法二方法二 由题意知 双曲线 C 的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 设直线 AB 的方程为 ykxm 由题意知2 0km 由 2 222 ykxm mm A yxkk 得点的坐标为 由 2 222 ykxm mm B yxkk 得点的坐标为 121 122122 mm APPBP kkkk 得点的坐标为 uu u ruur 将 P 点的坐标代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4 1 4 m k 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点 则 Q 点的坐标为 0 m AOB S AOQBOQ SS 2 2 111 222 114 2222 4 11 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 65 2009 湖北卷文 本小题满分 13 分 如图 过抛物线y2 2PX P 0 的焦点 F 的直线与抛物线相交于M N两点 自M N向准线L作垂线 垂足分别为M1 N1 求证 FM1 FN1 记 FMM1 FM1N1 FN N1的面积分别为S1 S2 S3 试判断 S22 4S1S3是否成立 并证明你的结论 1 证明证明 方法一方法一 由抛物线的定义得 11 MFMMNFNN 1111 MFMMM FNFNNN F 如图 设准线 l 与 x 的交点为 1 F 111 MMNNFFQ 111111 FFMMM FFFNNN F 而 0 111111 180FFMMFMFFNN FN 即 0 1111 22180FFMFFN 0 1111 90FFMFFN 故 11 FMFN 方法二方法二 依题意 焦点为 0 2 p F准线 l 的方程为 2 p x 设点 M N 的坐标分别为 1122 M x yN xy 直线 MN 的方程为 2 p xmy 则有 11121112 22 pp MyNyFMp yFNp y 由 2 2 2 p xmy ypx 得 22 20ympyp 于是 12 2yymp 2 12 y yp 222 1112 0FMFNpy ypp 故 11 FMFN 解解 2 213 4SS S 成立 证明如下 方法一方法一 设 1122 M x yN xy 则由抛物线的定义得 1112 22 pp MMMFxNNNFx 于是 111111 11 222 p SMMFMxy 212112 11 22 SM NFFp yy 311122 11 222 p SNNFNxy 22 213121122 111 4 4 22222 pp SS Sp yyxyxy 2 22 1212121212 1 4 424 pp pyyy yx xxxy y 将 11 22 2 2 p xmy p xmy 与 12 2 12 2yymp y yp 代入上式化简可得 22222222 pm pppm pp 此式恒成立 故 2 213 4SS S 成立 方法二方法二 如图 设直线MNM 的倾角为 12 MFrNFr 则由抛物线的定义得 1113 MMMFrNNNFr 111 11 MMNNFF FMMFNN 于是 222 11322 111 sin sin sin 222 SrSrr 在 1 FMM 和 1 FNN 中 由余弦定理可得 22222222 11111222 22cos2 1 cos 22cos2 1 cos FMrrrFNrrr 由 I 的结论 得 211 1 2 SFMFN 22222222 211121213 11 4 1 cos 1 cos sin4 44 SFMFNrrr rS S 即 2 213 4SS S 得证 10 2014 全国 2 高考理第 10 题 设 F 为抛物线 C 的焦点 过 F 且倾斜角为 2 3yx 30 的直线交 C 于 A B 两点 O 为坐标原点 则 OAB 的面积为 A B C D 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 答案 D 解析 由题意可知 直线 AB 的方程为 代入抛物线的方程可得 33 34 yx 设 A B 则所求三角形的面积为 2 412 390yy 11 x y 22 xy 故选 D 1212 13 4 24 yyy y 9 4 考点 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系 考查两点间距离公式等基础知识 考 查同学们分析问题与解决问题的能力 2010 浙江文数 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的 1 F 2 F 22 22 xy 1 ab 焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 P 60 OP 则该双曲线的渐近线 1 F 2 F7a 方程为 A x y 0 B x y 033 C x 0 D y 02y2x 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 2010 安徽理数 5 双