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余角和补角 1 学习目标 1 认识一个角的余角和补角 并会求一个角的余角和补角 2 掌握余角和补角的性质 并能用它解决相关问题 3 通过余角 补角性质的推导和应用 初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化 学习重点 互余 互补的概念及其性质 1 2 比萨斜塔 2 互为余角 互余 如果两个角的和是90 直角 那么这两个角叫做互为余角 其中一个角是另一个角的余角 即 1是 2的余角或 2是 1的余角 图中给出的各角 那些互为余角 10o 25o 65o 80o 44o 46o 考考你 3 4 比萨斜塔 4 互为补角 互补 如果两个角的和是180 平角 那么这两个角叫做互为补角 其中一个角是另一个角的补角 即 3是 4的补角或 4是 3的补角 图中给出的各角 那些互为补角 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 考考你 创设情境 引出新知 如果两个角的和等于90 直角 就说这两个角互为余角 即其中每一个角是另一个角的余角 如果两个角的和等于180 平角 就说这两个角互为补角 即其中一个角是另一个角的补角 1 定义中的 互为 是什么意思 2 把下图中 1与 ADF分离并多次变换位置 如图 这两角还是互为补角吗 理解定义 巩固运用 即每一个角都是另一个角的余角 补角 互余和互补是两个角的数量关系 与它们的位置无关 我来试一试 27 37 117 37 85 175 58 148 45 135 103 13 180 x 同一个锐角的补角比它的余角大 90 练习一 填空1 70 的余角是 补角是 2 90 的余角是 它的补角是 110 20 90 180 重要提醒 如何表示一个角的余角和补角 锐角 的余角是 90 的补角是 180 3 图中给出的各角中 哪些互为余角 哪些互为补角 例1 若一个角的补角等于它的余角的4倍 求这个角的度数 解 设这个角是x 则它的补角是 180 x 余角是 90 x 根据题意得 180 x 4 90 x 解得 x 60 答 这个角的度数是60 练习 1 一个角的补角是它的3倍 这个角是多少度 解 设这个角为x 则它的补角为 180 x 得 180 x 3x 解之得 x 45 答 这个角是45 1 已知 1与 2 3都互为补角 那么 2和 3的大小有什么关系 推导性质 理解运用 由 1与 2和 3都互为补角 那么 2 180 1 3 180 1 所以 2 3 2 已知 1与 2互补 3与 4互补 若 1 3 那么 2和 4相等吗 为什么 由 1与 2互补 得 1 2 180 所以 2 180 1 由 3与 4互补 得 3 4 180 所以 4 180 3 又因为 1 3 180 1 180 3 所以 2 4 推导性质 理解运用 等角的余角相等 等角的补角相等 对于余角是否也有类似性质 同角 同角 如图 1与 2互余 与 互余 如果 1 那么 2与 相等吗 为什么 探究 余角的性质 猜想 同角或等角的余角相等 探究 余角的性质 如图 1与 2互余 与 互余 如果 1 那么 2与 相等吗 为什么 解 1 2 90 3 4 90 2 90 1 4 90 3 1 3 90 1 90 3 即 2 4 余角性质 同角或等角的余角相等 如图 AOB 90 COD 90 则 1与 2是什么关系 答 1 2因为 1 BOD 90 2 BOD 90 所以 1 2 A O B C D 同角的余角相等 1 2 推导性质 理解运用 推导性质 理解运用 所以 COD COE AOC BOC 解 因为A O B在同一直线上 所以 AOC和 BOC互为补角 又因为射线OD和射线OE分别平分 AOC BOC AOC BOC 90 所以 COD和 COE互为余角 同理 AOD BOE AOD COE COD BOE也互为余角 如图 已知AOB是一直线 OC是 AOB的平分线 DOE是直角 图中哪些角互余 哪些角互补 哪些角相等 A O B E C D 1 2 3 4 探索研究 EOD 90 图中互余角有4对 互补角有5对 检测 1 90度的角叫余角 180度的角叫补角 3 如果一个角有补角 那么这个角一定是钝角 一 判断题 4 互补的两个角不可能相等 5 钝角没有余角 但一定有补角 6 互余的两个角一定都是锐角 两个锐角一定互余 7 如果 2 若 8 如果 1 120 1与 2互补 3与 2互余 则 3 2 O为直线AB上的一点 OD平分 AOB COE 90 则 BOC COD 检测 DOE AOE 30 课堂小结 自我完善 1 2 90 1 2 180 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 余角和补角 2 探究 你知道方位角吗 有时以正北 正南方向为基准 描述物体运动的方向 表示方向的角 方位角 在航行 测绘等工作中经常用到 推导性质 理解运用 例 如图 是表示北偏东 方向的一条射线 仿照这条射线 画出表示下列方向的角 南偏东 北偏西 东 西 北 南 A 例2 如图 货轮O在航行过程中 发现灯塔A在它南偏东60 的方向上 同时 在它北偏东40 南偏西10 西北 即北偏西45 方向上又分别发现了客轮B 货轮C和海岛D 仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B 货轮C和海岛D方向的射线 射线OA的方向就是南偏东60 即灯塔A所在的方向 射线OB的方向就是北偏东40 即客轮B所在的方向 射线OC的方向就是南偏西10 即货轮C所在的方向 射线OD的方向就是北偏西45 即海岛D所在的方向 A B D C 1 如图 OA表示北偏东32 方向线 OB表示南偏东43 方向线 则 AOB等于 2 A看B的方向是北偏东30 那么B看A的方向是 A 南偏东60 B 南偏西60 C 南偏东30 D 南偏西30 本节课你学到了哪些知识 请你说一说 1 互余和互补 1 2 90