2.2.2反证法(市级获奖课件)李志清.ppt

2 2直接证明与间接证明 2 2 2反证法 民勤一中李志清 1 直接证明的两种基本证法 综合法和分析法 2 这两种基本证法的推证过程和特点 由因导果 执果索因 3 在实际解题时 两种方法如何运用 通常用分析法寻求思路 再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 一 复习回顾 小故事 中国古代有一个叫 路边苦李 的故事 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 有人问王戎为什么 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的 他运用了怎样的推理方法 假设 李子甜 树在道边则李子少 与已知条件 树在道边而多子 产生矛盾 假设 李子甜 不成立 所以 树在道边而多子 此必为苦李 是正确的 王戎推理方法是 二 引入思考 二 引入思考 A B C三个人 A说B撒谎 B说C撒谎 C说A B都撒谎 则C必定是在撒谎 为什么 分析 假设C没有撒谎 则C真 那么A假且B假 由A假 知B真 这与B假矛盾 那么假设C没有撒谎不成立 则C必定是在撒谎 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注 反证法是最常见的间接证法 一般地 假设原命题不成立 即假设在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这种证明方法叫做反证法 三 基本概念 反证法的思维方法 正难则反 反证法的证明步骤 假设 假设命题的结论不成立 即假设命题结论的否定成立 下结论 由矛盾结果 断定假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 找矛盾 从假设出发 经过一系列正确的逻辑推理 推出矛盾 与已知矛盾 与已知定义 公理 定理事实等矛盾 与出现的临时假设矛盾 在证明过程中出现自相矛盾等等 从而否定假设 简单记为 否定结论 推出矛盾 肯定结论 其中推出矛盾是反证法证明的关键 反证法是制造矛盾的专家 例1 求证 在个三角形中 至少有一个内角不小于60 注 结论中含 至多 至少 形式出现 直接证明难以下手的命题 改变其思维方向 从进行反面思考 四 例题选讲 分析 从条件出发很难入手去证 可以考虑从反面入手 证明 假设三角开有三个内角 A B C都小于60 则有 A B C 180 这与三角形内角和等于180 相矛盾 所以假设不成立 所以原结论成立 即在个三角形中 至少有一个内角不小于60 例2 已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 证 由于a 0 因此方程至少有一个根x b a 注 结论中的有且只有 有且仅有 形式出现 是唯一性问题 常用反证法 如果方程不只一个根 不妨设x1 x2 x1 x2 是方程的两个根 四 例题选讲 例3 设0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不可能同时大于 证明 设 1 a b 1 b c 1 c a 则三式相乘 1 a b 1 b c 1 c a 又 0 a b c 1 所以 同理 以上三式相乘 1 a a 1 b b 1 c c 与 矛盾 原式成立 反证法的一般步骤 假设命题结论不成立 假设不成立 即命题结论反面成立 与已知条件矛盾 假设 推理得出的结论 与定理 定义 公理矛盾 所证命题成立 练习1 证明不是有理数 证明 假定是有理数 则可设 其中p q为互质的正整数 两边平方得到 2q2 p2 式表明p2是偶数 所以p也是偶数 于是令p 2l l是正整数 代入 式 得q2 2l2 式表明q2是偶数 所以q也是偶数 这样p q都有公因数2 这与p q互质矛盾 因此是有理数不成立 于是是无理数 练习2 证明1 2不能为同一等差数列的三项 证明 假设1 2是某一等差数列中的三项 设这一等差数列的公差为d 则 1 md 2 nd 其中m n为某两个正整数 由上两式中消去d 得到n 2m n m 因为n 2m为有理数 m n 为无理数 所以n 2m n m 因此假设不成立 1 2不能为同一等差数列中的三项 1 直接证明有困难的一些命题 如有些基本定理的证明如平行线的传递性的证明 即正难则反 小结 1 哪些命题适宜用反证法加以证明 3 以否定性判断作为结论的命题 2 关于唯一性结论的命题 即结论中有有且只有 有且仅有等关键字眼 4 以至多 至少 不多于等形式陈述的命题 5 一些不等量命题的证明 2 常用的正面叙述词语及其否定 不等于 不大于 小于或等于 不小于 大于或等于 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有n 1个 某两个 至少有一个是 求证 在同一平面内 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 1 你首先会选择哪一种证明方法 2 如果选择反证法 先怎样假设 结果和什么产生矛盾 定理 平行线传递性 已知 如图 l1 l2 l2 l3 求证 l l l l l l 则过点p就有两条直线l l 都与l 平行 这与 经过直线外一点 有且只有一条直线平行于已知直线 矛盾 证明 假设l 不平行l 则l 与l 相交 设交点为p p 所以假设不成立 所求证的结论成立 即l l 五 课堂练习 2 证明 在 ABC中 若 C是直角 则 B一定是锐角 证明 假设 B不是锐角 则 B 90 又因为 A 0 C 90 所以 A B C 180 这与三角形内角和等于180 相矛盾 所以假设不成立 B一定是锐角 五 课堂练习 六 课堂小结