4三角与向量专题(答案文).doc

第四讲 向量与三角 sdzxyjm 1已知向量（ ）A30B60C120D1502已知a,b是非零向量且满足（a2b）a，（b2a）b，则a与b的夹角是（ ）A B C D3点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）设开始时点的坐标为（，），则秒后点的坐标为（）A（-2，4）B（-30，25）C（10，-5）D（5，-10）4已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（）A B () C () D ()()5ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则C度数是：A600 B450或1350 C1200 D3006已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30)的值为（）A0B1C1D7 的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 9将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A BC D10函数y=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为（）ABC7D811O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（ ）AB CD13函数y=2x24x5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且ab，c=(1,1)，bc=4，则b= 14三点A、B、C满足|=3,|=4，|=5,则的值等于.15 设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_ 16.（1）求的值；（2）已知：，求：的值.17.已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.18已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.19设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.20.椭圆的中心是原点O，短轴长为，相应于焦点F（c, 0）(c0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.()求椭圆的方程及离心率；()设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：21.设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.1已知向量（ ）A30B60C120D150 C提示：设，则，又，所以，得，2已知a,b是非零向量且满足（a2b）a，（b2a）b，则a与b的夹角是（ ）A B C D B 提示：a22ba0且b22ab0，相减得ab，代入其中一式即可.3点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）设开始时点的坐标为（，），则秒后点的坐标为（）A（-2，4）B（-30，25）C（10，-5）D（5，-10） C提示：设5秒后点P运动到点A,则,=(10,-5).4已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（）A B () C () D ()() C提示：由|t|得|t|2|2，展开并整理得,得,即.5ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则C度数是：A600 B450或1350 C1200 D300 B提示：由a4+b4+c4=2c2(a2+b2)得：a4+b4+c42a2c2-2b2c2+2a2b2=2a2b2,即(a2+b2-c2)2=2a2b2a2+b2-c2=ab，6已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30)的值为（）A0B1C1D C提示：7（2006年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) B提示：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B.9（2006年安徽卷）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A BC D C提示：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以.10函数y=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为（）ABC7D8 C提示：y=3sin(x+20)+5sin(x+80)3sin(x+20)+5sin(x+20)6011O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（ ）ABCD D提示： ， 当即时，面积最大. 12在ABC中，若，其中a,b分别是A，B的对边，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形D提示：由正弦定理得：，或或AB或AB9013把函数y=2x24x5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且ab，c=(1,1)，bc=4，则b= (3, 1) 14已知平面上三点A、B、C满足|=3,|=4，|=5,则的值等于.提示：25因ABBC，所以原式09162515 设()，(0，)，cos()=，sin(+)=，则sin(+)=_ 提示 (),(0, ),又cos()= 16.（1）求的值；（2）已知：，求：的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7、15、8，发现它们之间的关系是1578，故可将7拆成158；同理在第（2）题中可以拆成两角差，即.解：（1）tan15=(2) =tan()=tan点评：进行三角变换的技巧常常是变角注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.17.已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.解： =.所以，最小正周期为上单调增加，上单调减少.18已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.19设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）20.椭圆的中心是原点O，短轴长为，相应于焦点F（c, 0）(c0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.()求椭圆的方程及离心率；()设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：解： () 椭圆方程为,离心率 ()证明：设P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程组：； 注意1，消去x1、y1和y2 得， 因F（2 , 0）, M（x1,y1），故而.所以 .点评：运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多.21.设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到