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均值 方差分析方法 1 一 均值 方差分析的一般性释义 一 问题的提出Markowitz 1952 发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的资产组合选择理论 均值 方差方法Mean Variancemethodology 马科维茨 H Markowitz 1927 证券组合选择理论 2 马科维茨投资组合选择理论的基本思想为 投资组合是一个风险与收益的trade off问题 投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险 Nothingventured nothinggained Foragivenlevelofreturntominimizetherisk andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn Don tputalleggsintoonebasket 一 均值 方差分析的一般性释义 3 一 马科维茨均值 方差组合理论1 基本内容 在禁止融券和没有无风险借贷的假设下 以资产组合中个别资产收益率的均值和方差找出投资组合的有效前沿 EfficientFrontier 即一定收益率水平下方差最小的投资组合 并导出投资者只在有效组合前沿上选择投资组合 欲使投资组合风险最小 除了多样化投资于不同的资产之外 还应挑选相关系数较低的资产 一 均值 方差分析的一般性释义 4 2 均值 方差组合选择的实现方法 1 收益 证券组合的期望报酬 2 风险 证券组合的方差 3 风险和收益的权衡 求解二次规划 一 均值 方差分析的一般性释义 5 首先 投资组合的两个相关特征 1 它的期望回报率 均值 2 可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量 其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的 其次 理性的投资者将选择并持有有效率投资组合 即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合 或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的投资组合 一 均值 方差分析的一般性释义 6 再次 通过对某种资产的期望回报率 回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系 用协方差度量 这三类信息的适当分析 辨识出有效投资组合在理论上是可行的 最后 通过求解二次规划 可以算出有效投资组合的集合 计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额 以便实现投资组合的有效性 即对给定的风险使期望回报率最大化 或对于给定的期望回报使风险最小化 一 均值 方差分析的一般性释义 7 3 几个基本概念 1 证券投资组合的选择 如何构筑各种有价证券的头寸 包括多头和空头 来最好地符合投资者的收益和风险的权衡 2 无差异曲线 对一个特定的投资者而言 任意给定一个证券组合 根据他对期望收益率和风险的偏好态度 按照期望收益率对风险补偿的要求 可以得到一系列满意程度相同的 无差异 证券组合 所有这些组合在均值方差 或标准差 坐标系中形成一条曲线 这条曲线就称为该投资者的一条无差异曲线 Return 一 均值 方差分析的一般性释义 8 二 均值 方差分析的含义一个随机变量的概率分布可以用一些数值特征 矩来描述 一阶原点矩 均值 数学期望 二阶中心矩 方差均值和方差是同一随机变量在同一时期运动轨迹的不同统计值 分别用于对金融活动收益与风险的衡量 一 均值 方差分析的一般性释义 9 均值 方差分析的含义是 投资者的效用函数由资产的收益和风险决定 用简化的数学方式表示即投资者的效用函数仅包括均值和方差两个自变量 期望收益率的衡量 以均值来衡量 是指在未来不确定情况下对投资收益率所有可能的取值的加权平均 其权数为相应的概率值 风险的衡量 以方差来衡量 是未来收益率的所有可能取值对期望收益率的偏离的加权平均 权数仍然为相应的概率值 标准差 也反映未来收益率的所有可能取值对期望收益率的偏离程度 一 均值 方差分析的一般性释义 10 1 均值的性质 1 均值的稳定性 以漂移率来衡量均值的固定性 2 均值的确定性 均值作为一阶矩 加总时不会相互抵消 具有确定性 3 均值的随机性 本身具有一定的随机性 4 均值的相关性 均值具有记忆效应 一 均值 方差分析的一般性释义 11 2 方差的性质 1 方差的相关性 协方差 2 方差的对称性 与均值发生相同幅度的正偏离或负偏离 方差是一致的 3 方差的稳定性 方差的固定性 在维纳过程或标准布朗运动中 方差率为1 方差的稳定变化 在一般维纳过程和普通布朗运动中 方差率为b 方差的非稳定变化 在伊藤过程中 方差率与其它资产价格和时间有关 随这两个因素而变动 Return 一 均值 方差分析的一般性释义 12 二 资产组合的风险与收益衡量 一 单项资产的投资风险与期望收益1 不确定条件下的期望收益 均值 各种可能结果的期望值 通常用E X 表示 即所有可能的收益值与其发生的概率的乘积 离散型概率分布的期望值 其中 Xi为随机事件的值 P Xi 为随机事件i发生的概率 13 例1 现有S和U两项资产收益率概率分布情况如下表所示 资产的收益状况资产的收益率经济状况概率SU繁荣0 20 250 05适度增长0 30 200 10缓慢增长0 30 150 15衰退0 20 100 20S U两资产的期望收益率分别为 E RS 0 2X0 25 0 3X0 20 0 3X0 15 0 2X0 10 17 5 E RU 0 2X0 05 0 3X0 10 0 3X0 15 0 2X0 26 12 5 二 资产组合的风险与收益衡量 14 2 单项资产的风险 被定义为实际现金流收益对其预期现金流收益的背离 用方差来描述和衡量风险 一个证券在该时期的方差是未来收益可能值对期望收益率的偏离 通常称为离差 的平方的加权平均 权数是相应的可能值的概率 即 二 资产组合的风险与收益衡量 15 上例 S U两资产收益率的方差分别计算如下 二 资产组合的风险与收益衡量 16 小结对于单个证券的持有者而言 收益指标 期望收益风险指标 标准差或方差Return 二 资产组合的风险与收益衡量 17 二 组合资产的风险与期望收益资产组合的期望收益是构成组合的每一资产收益率的加权平均 以构成比例为权重 每一资产对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率 以及它在组合初始价值中所占份额 而与其他一切无关 二 资产组合的风险与收益衡量 18 1 组合资产的收益 1 两种证券形成的投资组合的收益率的测定投资者将资金投资于A B两种证券 其投资比重分别为XA和XB XA XB 1 则两证券投资组合的预期收益率Rp等于每个预期收益率的加权平均数 即 E Rp XAE RA XBE RB 其中 Rp代表两种证券投资组合预期收益率 RA RB分别代表A B两种证券的预期收益率 二 资产组合的风险与收益衡量 19 例 下表是投资于国库券 股票两种证券的一个组合 假定其投资比例各占一半 计算两种证券投资组合的收益率 RP 1 2 10 1 2 10 10 二 资产组合的风险与收益衡量 20 2 多种证券投资组合收益率的测定证券投资组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数 权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例 即 Rp代表证券投资组合的预期收益率 Xi是投资于证i券的资金占总投资额的比例或权数 Ri是证券i的预期收益率 n是证券组合中不同证券的总数 二 资产组合的风险与收益衡量 21 例 用下表中的数据计算证券投资组合的预期收益率 二 资产组合的风险与收益衡量 22 解 1 各种证券的预期收益率如下 2 各种证券投资组合的预期收益率 Return 二 资产组合的风险与收益衡量 23 2 组合资产的风险 1 两种证券组合的风险测定 协方差 两种证券收益变动相互关系的指标若以A B两种证券组合为例 则其协方差为 其中 XA代表证券A的收益率 XB代表证券B的收益率 E XA 代表证券A的收益率的期望值 E XB 代表证券B的收益率的期望值 AB代表A B两种证券收益率的协方差 二 资产组合的风险与收益衡量 24 注 协方差 0 则两种证券的回报率正相关协方差 0 则两种证券的回报率负相关协方差 0 则两种证券没有任何互动关系 二 资产组合的风险与收益衡量 25 相关系数 测量两种股票收益共同变动的趋势 协方差的标准化相关系数的符号取决于协方差的符号 两个变量负相关 完全负相关 两个变量完全不相关 两个变量正相关 完全正相关 在 1和 1之间的相关性可减少风险但不是全部 二 资产组合的风险与收益衡量 26 两证券组合的方差 表示组合的实际收益率偏离组合期望收益率的程度 以此来反映组合风险的大小 其公式为 组合投资的风险不仅与组合中各个证券的风险有关 还与各证券在组合中所占的比重以及证券之间的相互关系有关 因而可以通过选择组合中的证券和调整组合中证券的比重来改变组合的风险状况 即资产组合选择理论 二 资产组合的风险与收益衡量 27 思考 1 不同的相关系数是否表明资产组合的风险大小 即资产组合的风险最大 资产组合的风险最小 资产组合的风险小于成分资产完全正相关时2 一个无风险资产与一个风险资产构成的组合的标准差有什么特征 该组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该组合投资于这部分风险资产的比例 二 资产组合的风险与收益衡量 28 例 利用前表的资料计算两种证券投资组合的风险 解 1 计算单一证券的标准差 2 计算两种证券投资组合的协方差 二 资产组合的风险与收益衡量 29 3 计算相关系数 4 计算两种证券投资组合的方差和标准差 国库券的收益率与股票的收益率之间存在着完全的负相关关系 二 资产组合的风险与收益衡量 30 小结 影响证券投资组合风险的因素 1 每种证券所占的比例 2 证券收益率的相关性当两种证券投资组合的相关系数为1时 证券组合能否达到组合效应的目的 如不是 则组合的相关系数应该为多少 3 每种证券的标准差组合后的风险如果还是等同于各种证券的风险 是否达到组合效应的目的 二 资产组合的风险与收益衡量 31 例 假设 投资于这两种证券的比例为XA XB 50 证券组合的方差为 1 完全正相关 2 完全负相关 二 资产组合的风险与收益衡量 32 3 完全不相关 当时 两证券组合风险最小 通过 令 XB 1 XA 可得A证券的最佳比例为 二 资产组合的风险与收益衡量 33 前例中 国库券的投资比例如果为 代入两种证券投资组合标准差的计算公式得 二 资产组合的风险与收益衡量 34 2 多种证券投资组合风险与收益多种证券投资组合的收益公式为 二 资产组合的风险与收益衡量 35 证券组合的风险 其中 代表第i种和第j种证券在证券投资组合中所占的比重 代表第i种和第j种证券的协方差 用矩阵表示为 其中称为方差 协方差矩阵 Return 二 资产组合的风险与收益衡量 36 三 资产组合的风险分散效应 通过资产组合减弱和消除个别风险对投资收益的影响 证明 假定资产1在组合中的比重是w 则资产2的比重就是1 w 它们的期望收益率和收益率的方差分别记为E X1 和E X2 21和 22 组合的预期收益率和收益率的方差则记为E X 和 2 那么 二 资产组合的风险与收益衡量 37 因为 1 12 1 所以有 w 1 1 w 2 2 2 w 1 1 w 2 2即组合的标准差不会大于标准差的组合 事实上 只要 12 1 就有 w 1 1 w 2 即资产组合的标准差就会小于单个资产标准差的加权平均数 这意味着只要资产的变动不完全一致 单个有高风险的资产就能组成单个有中低风险的资产组合 这就是投资分散化的原理 二 资产组合的风险与收益衡量 38 随着组合中资产数目的增加 组合收益的方差将越来越依赖于协方差 若这个组合中的所有资产不相关 即当随证券数目增加 这个组合的方差将为零 保险原则 风险分散的根本原因在于资产组合的方差项中个别风险的影响在资产数目趋于无穷时趋于零 当n趋于无穷时 方差项 风险不能完全被消除的原因是 二 资产组合的风险与收益衡量 39 风险不可能完全消除 系统风险存在 资产组合的方差项中的协方差 反映各项资产间的相互作用 项在资产数目趋于无穷时不趋于零 当n趋于无穷时 协方差项 二 资产组合的风险与收益衡量 40 相关结论 1 资产组合的方差是以协方差矩阵各元素与投资比例为权重相乘的加权平均总值 它与各资产的方差有关外 还与各资产间的协方差和相关系数有关 2 资产组合的期望收益可以通过对各种单项资产加权平均得到 但风险却不能通过各项资产风险的标准差的加权平均得到 这只是组合中成分资产间的相关系数为1且成分资产方差相等 权重相等时的特例情况 二 资产组合的风险与收益衡量 41 3 在资产方差或标准差给定下 组合的每对资产的相关系数越高 组合的方差越高 只要每两种资产的收益间的相关系数小于1 组合的标准差一定小于组合中各种证券的标准差的加权平均数 如果每对资产的相关系数为完全负相关即为 1且成分证券方差和权重相等时 则可得到一个零方差的投资组合 但由于系统性风险不能消除 所以这种情况在实际中是不存在的 二 资产组合的风险与收益衡量 42 例 给定三种证券的方差 协方差矩阵以及各证券占组合的比例如下 计算组合方差 XA 0 5 XB 0 3 XC 0 2 二 资产组合的风险与收益衡量 43 解 由上表可知 证券组合的方差