不等式问题中含参问题.ppt

例1 关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0的两根 一个小1 一个大于1 求实数k的取值范围 审题指导 本题考查一元二次方程根的分布问题 因为此方程有两根 所以2k 0 即k 0 另外要注意对k的讨论 规范解答 关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两个不同实根 2k 0 又 一个小于1 一个大于1 设f x 2kx2 2x 3k 2 则当k 0时 f 1 4 k 0 当k0 即2k 2 3k 2 0 整理得k 4 k 4 综上所述 当k 4 0 时 方程2kx2 2x 3k 2 0的两根 一个小于1 一个大于1 例2 已知函数f x log3的定义域为R 值域为 0 2 求m n的值 审题指导 定义域为R等价于 0恒成立 值域为 0 2 可转化为 1 9 求解 规范解答 令y 函数f x 的定义域为R 对任意实数x R y 0恒成立 即mx2 8x n 0恒成立 当m 0时 不等式化为8x n 不可能恒成立 当m 0时 必有由y 得 m y x2 8x n y 0 x R 82 4 m y n y 0 即y2 m n y mn 16 0 由题意知f x 0 2 则y 1 9 即关于y的不等式 的解集为 1 9 此时满足故所求m 5 n 5 例3 已知f x x2 2ax 2 a R 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 审题指导 解答此类题要正确理解好f x a恒成立的意义 一是可转化为f x min a 二是重新构造新函数F x f x a 0恒成立 规范解答 方法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 1 方法二 令g x x2 2ax 2 a 由已知 得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 即 4a2 4 2 a 0或解得 3 a 1 即所求a的取值范围为 3 1 例4 设函数f x x 0 1 当a 2时 求函数f x 的最小值 2 当0 a 1时 求函数f x 的最小值 审题指导 解答此题要明确a 2与0 a 1的区别 在利用基本不等式求最值时 要注意等号是否取到 若取不到 应怎样求最值 规范解答 1 把a 2代入f x 得f x x x 1 1 x 0 x 1 0 0 x 1 当且仅当x 1 即x 1时 f x 取最小值 此时 f x min 1 2 当0 a 1时 f x x 1 1若x 1 则当且仅当x 1 时取等号 此时x 1 0 不合题意 因此 上式等号取不到 设x1 x2 0 则f x1 f x2 x1 1 x1 x2 0 x1 x2 0 x1 1 1 x2 1 1 x1 1 x2 1 1 而00 f x 在 0 上单调递增 f x min f 0 a 例5 已知实数x y满足求w x2 y2的最大值和最小值 审题指导 可知x y的约束条件是线性的 w x2 y2 x 0 2 y 0 2 w为可行域内动点 x y 到原点O 0 0 的距离的平方 规范解答 画出不等式组表示的平面区域 如图所示的 ABC 包括边界及其内部 w x2 y2 x 0 2 y 0 2表示的是可行域内的动点M x y 到原点O 0 0 的距离的平方 当点M在边AC上滑动 且OM AC时 w取得最小值 于是wmin d2 当点M与点B 2 3 重合时 w取得最大值 即wmax 故wmin wmax 13 例6 已知不等式ax2 bx c 0的解集为 且0 求不等式cx2 bx a 0的解集 审题指导 审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系 以及根与系数的关系的应用 规范解答 由已知不等式可得a 0 且 为方程ax2 bx c 0的两根 由根与系数的关系可得 方法一 a0 得由 得 为方程的两根 又 0 即不等式cx2 bx a 方法二 a0 即 x 1 x 1 0 0 例7 已知函数f x 在定义域 1 上是减函数 是否存在实数k 使得f k sinx f k2 sin2x 对一切x R恒成立 并说明理由 审题指导 对条件f k sinx f k2 sin2x 的处理 一是要去掉符号f 二是要注意有意义 规范解答 f x 在 1 上是减函数 k sinx k2 sin2x 1 假设存在实数k符合题设 k2 sin2x 1 即k2 1 sin2x对一切x R恒成立 且sin2x 0 k2 1 0 1 k