常微分方程课件1.2 后面一些以后再看.ppt

1 2基本概念 定义1联系自变量 未知函数及未知函数导数 或微分 的关系式称为微分方程 例1 下列关系式都是微分方程 一 常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中 自变量的个数只有一个 则这样的微分方程称为常微分方程 都是常微分方程 1常微分方程 如 如果在一个微分方程中 自变量的个数为两个或两个以上 称为偏微分方程 注 本课程主要研究常微分方程 同时把常微分方程简称为微分方程或方程 2偏微分方程 如 都是偏微分方程 定义2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数 是一阶微分方程 是二阶微分方程 是四阶微分方程 二 微分方程的阶 如 n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程 三 线性和非线性 如 1 如果方程 是非线性微分方程 如 2 n阶线性微分方程的一般形式 不是线性方程的方程称为非线性方程 四 微分方程的解 定义4 例2 证明 1显式解与隐式解 相应定义4所定义的解为方程的一个显式解 隐式解 注 显式解与隐式解统称为微分方程的解 例如 有显式解 和隐式解 2通解与特解 定义5如果微分方程的解中含有任意常数 且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 则称这样的解为该方程的通解 例如 n阶微分方程通解的一般形式为 注1 例3 证明 由于 故 又由于 注2 注3 类似可定义方程的隐式通解 如果微分方程的隐式解中含有任意常数 且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 则称这样的解为该方程的隐式通解 以后不区分显式通解和隐式通解 统称为方程的通解 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解 例如 定义6 3定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解 必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件 称为定解条件 求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件和边值条件 见附录I n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件 当定解条件是初始条件时 相应的定解问题称为初值问题 注1 n阶微分方程的初始条件有时也可写为 注2 例4 解 且 解以上方程组得 五 积分曲线和方向场 1积分曲线 一阶微分方程 称为微分方程的积分曲线 2方向场 在方向场中 方向相同的点的几何轨迹称为等斜线 所规定的方向场 例5 积分曲线的每一点 x y 上的切线斜率为f x y 若方向场已描绘好 求微分方程经过点 x0 y0 的一条积分曲线就是在区域D内求一条曲线经过 x0 y0 并使得其上每一点处的切线向量与方向场在该点的方向向量共线 例6 积分曲线 方向场 积分曲线y y x 的极值点与拐点应满足 方向场示意图 积分曲线 例7 programmain1IMPLICITREAL 8 A H O Z dimensionx 0 100 y 0 100 t 2 0 100 0 100 open 600 file ex dat write 600 variables x y u1 u2 write 600 zonei 33 j 33 F POINT doi 0 32doj 0 32x i 2 0 4 0 dble i dble 32 y j 2 0 4 0 dble j dble 32 t 1 i j 1 0t 2 i j x i 2 y j write 600 x i y j t 1 i j t 2 i j enddoenddoclose 600 end 注意 n阶微分方程可化为一阶微分方程方程组 如 六 微分方程组 向量形式为 其中 7 驻定与非驻定方程 如果方程组右端不含自变量t 则称为驻定 自治 的 右端含t的微分方程 1 49 称为非驻定 自治 的 8 相空间 奇点和轨线 不含自变量 仅含有未知函数组成的空间称为相空间 积分曲线在相空间的投影称为轨线 为平衡解 驻定解 常数解 又称为奇点 平衡点 对驻定方程组 1 50 方程组 表示为相空间的点 它满足微分方程 故称 自治系统 或驻定方程组 右端不显含t 相平面是xy平面 例1 方程组有特解 它在 的积分曲线是一条螺旋线 如图 a 三维空间中 为了画出方程组在相平面上的相图 我们求出方程组通解 其中 于是 方程组的轨线就是圆族 图 b 为任意常数 a b 相平面上的所有轨线 1 求通解 一阶微分方程 2 求定解 初值问题 分析论证解的存在唯一性 及微分方程解析理论 3 庞加莱定性理论 分析解的大范围性态分布 周期性等 4 李雅普诺夫稳定性理论 5 解的动力系统理论 非线性系统震动理论等 6 最新进展 研究特殊的解和方程 如混沌 孤立子和分形 1 2 3常微分方程的发展历史 学习 常微分方程 的目的是用微积分的思想 结合线性代数 解析几何等的知识 来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题 学会和掌握常微分方程的基础理论和方法 为学习其它数学理论 如数理方程 微分几何 泛函分析 非线性系统理论等后续课程打下基础 同时 通过这门课本身的学习和训练 学习数学建模的一些基本方法 初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣 做好准备 教材及参考资料教材 常微分方程 第二版 97年国家教委一等奖 王高雄等编 中山大学 高教出版社 参考书目 常微分方程 东北师大数学系编 高教出