第05讲 应力张量.ppt

金属塑性成型原理 机电工程学院王忠雷 第三章金属塑性变形的力学基础 第一节应力分析 第二讲应力张量 张量的概念 主应力 应力椭球体 主应力简图 应力分解 张量的概念 1 物理量的表示 3阶张量 33 三个方向面都有张量 2阶张量 32 三个方向面都有矢量 张量 1阶张量 31 大小 方向 矢量 0阶张量 30 大小没方向 标量 分量 性质 名称 张量的概念 2 张量的概念 标量 一个数 当坐标变换时 xi xi 即 不依赖于坐标 则 定义为标量 零阶张量 矢量 三个数的集合 当坐标变换时 根据式ai Mi iai 由a1 a2 a3变为a1 a2 a3 则此三个分量定义为矢量 一阶张量 张量 32个数的集合 当坐标变换时 根据式Ti j Mi iMj jTij 由Tij变为Ti j 则此九个分量定义为二阶张量 简称为张量 张量的概念 3 张量的性质 1 张量的分量一定可以组成某些函数f Tij 这些函数的值不随坐标而变 即 2 同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量 3 二阶张量T 若TT T 则称为对称张量 若TT T 则称为反对称张量 非对称张量可以化为一个对称张量和一个反对称张量之和 4 2阶对称张量存在三个主轴和三个主值 张量角标不同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴 三个角标相同的分量为值 张量的概念 4 应力张量 应力张量 代表一点应力状态的应力分量 当坐标变化时按一定的规律变化 其变换关系符合张量之定义 因此 表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量 称为应力张量 一点的应力状态可以借用矩阵以张量 ij表示 二阶对称张量 主应力 1 主应力的概念 表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴 但其9个分量相应改变 若选一特殊方向 使坐标面 0 此平面一定存在 这是应力张量的特性 主平面 切应力为零的微分面 主应力 主平面上的正应力 主方向 主平面的法线方向 主应力方向 主应力 1 主应力的求解 旋转坐标轴 使Q点的斜面ABC正好是主平面 0 则斜面上全应力S就是正应力 S S在三轴上的投影 以l m n为未知数的齐次线性方程组 其解有二 主应力 l m n 0 不满足l2 m2 n2 1的条件 此平面不存在 齐次线性方程级有非零解的充要条件是 系数行列式 0 即 主应力 应力状态特征方程 解得三个根即主应力 1 2和 3 解得三个根即主方向l m n 主应力 主应力 主应力 3 应力不变量 对于一个确定的应力状态 只有一组 三个 主应力数值 即J1 J2 J3是不变量 不随着坐标轴的变换而发生变化 所以J1 J2 J3分别被称为应力张量的第一 第二 第三不变量 主应力 4 主轴坐标系统 以主方向为坐标轴的坐标系统 应力椭球体 1 应力椭球体 椭球面方程 其主半轴的长度分别为 1 2 3 称应力椭球面 它是任意斜面全应力矢量S端点的轨迹 应力椭球体 2 应力状态的分类 a 若 1 2 3 0 三向应力状态 b 若 1 2 0 3 0 二向应力状态 d 若 1 2 3 圆柱应力状态 包括单向应力状态 1的方向均为主方向 e 若 1 2 3 球应力 静水应力 状态 0 各方向均为主方向 c 若 1 0 2 3 0 单向应力状态 主应力简图 受力物体内一点的应力状态 可用作用在应力单元体上的主应力来描述 只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图 一般 主应力图只表示出主应力的个数及正 负号 并不表明所作用应力的大小 应力张量的分解 平均应力 m为不变量 与坐标无关 三个正应力分量可写成 应力球张量 表示球应力状态 静水应力状态 只产生体积变形 不产生形状变形 任何切面上的切应力都为零 各方向都是主方向 应力偏张量 引起形状变形 不产生体积变形 切应力分量 主切应力 最大正应力及主轴