高中数学必修二空间中的平行关系.ppt

第一章立体几何初步 第二课时辽宁师范大学王晓桐 1 2点 线 面之间的位置关系 1 2 1平面的基本性质与推论 知识点一 立体几何中常用的数学符号 P23 例1 38 知识点二 基本性质一 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 注 证明直线在平面内的依据 P23 例1 39 知识点三 基本性质二 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 1 两个平面有公共点必有公共直线 2 公共点必在公共直线上 注 1 确定两平面是否相交 2 证明三点共线的依据 3 证明三线共点的依据 P23 例1 40 知识点四 基本性质三及其推论 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 注 确定平面的方法 P23 例1 41 共面直线的定义 空间中几条直线都在同一平面内 异面直线的定义 既不相交又不平行的直线 不在任意一平面内 知识点五 共面直线与异面直线 异面直线画法 a b a b是异面直线 一个 没有 没有 用定义 多用反证法 即证明两条直线既不相交又不平行 判定定理 与一平面相交于一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线 异面直线判定 P24 例1 42 当点在同一平面内 当点不在同一平面内分别讨论 例1 43 空间中的四点可以确定几个平面 重点 确定平面问题 分情况讨论 图形语言用文字语言表述 文字语言转化为符号语言 画图顺序 先画平面 再画点线 重点 三种语言的相互转换 P24 例1 44 证明三点共线常用方法 法1 找出两个平面 证明这三点都是这两个平面的公共点 法2 选择其中两点确定一条直线 然后证明另一点也在直线上 重点 多点共线问题 P24 例1 45 一个平面能把空间分成几部分 二个平面能把空间分成几部分 重点 例1 46 三个平面能把空间分成几部分 证明几点共面问题 可先取不共线的三点确定一个平面 再证明其余各点都在这个平面内 证明空间几条直线共面问题 可先取两条相交或平行直线确定一个平面 再证明其余直线均在这个平面内 重点 点线面共面问题 P24 例1 47课堂练习 P25 1 2点 线 面之间的位置关系 1 2 2空间中的平行关系 平行于同一条直线的两条直线互相平行 符号表述为 知识点一 基本性质4 a c b ca b 例1 48 已知AA1是正方体ABCD A1B1C1D1的一条棱 这个正方体中与AA1平行的棱共有 A 1条B 2条C 3条D 4条 C 定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行 并且方向相同 那么这两个角相等 知识点二 等角定理 已知 如图所示 BAC和 B1A1C1的边AB A1B1 AC A1C1 且射线AB与A1B1同向 射线AC与A1C1同向 求证 BAC B1A1C1 证明 对于 BAC和 B1A1C1在同一个平面内的情形 在初中几何中已经证明 下面证明两个角不在同一平面内的情形 分别在 BAC的两边和 B1A1C1的两边上截取线段AD A1D1和AE A1E1 因为 所以AA1D1D是平行四边形 所以 同理可得 所以DD1E1E是平行四边形 在 ADE和 A1D1E1中 AD A1D1 AE A1E1 DE D1E1 于是 ADE A1D1E1 所以 BAC B1A1C1 一组边的方向相同 而另一组边的方向相反 又如何 空间中任意的角通过平行移动 角度都不会改变 P26 例1 49 知识点三 空间四边形 1 顺次连结不共面的四点A B C D所构成的图形 叫做空间四边形 2 四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点 3 所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边 4 连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线 如图 空间四边形ABCD中 AC BD是它的对角线 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托 如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC P26 例1 50 空间直线与平面的位置关系有哪几种 知识点四 直线与平面平行 1 我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 用符号表示为2 直线与平面不相交 说明 直线与平面没有公共点 说明 注意 a 直线与平面平行的判定定理 1 文字语言 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 2 图形语言 3 符号语言 a b a b a a在平面外b在平面内ab平行可以用判定定理将直线与平面间的平行关系 转化为直线间的平行问题 重点 P26 例1 55 例1 51 已知空间四边形ABCD中 E F分别为AB AD的中点 求证 EF 平面BCD 证明 如图 连接BD 在 ABD中 因为E F分别为AB AD的中点 所以EF BD 例1 52 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E为DD1的中点 试判断BD1与平面AEC的位置关系 并说明理由 F 例1 53 如图 已知在三棱柱ABC A1B1C1中 D是AC的中点 求证 AB1 平面DBC1 P 例1 54 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱BC与C1D1的中点 求证 EF 平面BDD1B1 M N M P26 例1 56 问题1 命题 若直线a平行于平面 则直线a平行于平面 内的一切直线 对吗 b a 证明 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和两平面的交线平行 b a 简记 线面平行 则线线平行 例1 57 1 以下命题 其中a b表示直线 表示平面 若a b b 则a 若a b 则a b 若a b b 则a 若a b 则a b其中正确命题的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 A 2 下列命题中正确的个数是 若直线上有无数个点不在平面 内 则 若直线与平面 平行 则与平面 内的任意一条直线平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行 若直线与平面 平行 则与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 B 1 C 2 D 3 B 3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1六个表面中 与AB平行的直线有 与AB平行的平面有 A1B1 CD C1D1 平面A1C1 平面D1C P27 例1 57 小结 基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同 那么这两个角相等 直线和平面平行的性质定理 直线与平面平行的判定定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和两平面的交线平行 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 两平面平行 没有公共点 有一条公共直线 两平面相交 a 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 知识点五 平面与平面平行 面面平行 线面平行 一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面 那么这两个平面平行 平面与平面平行判定定理 a b 一个平面内两条直线分别平行于另一个平面 那么这两个平面平行 要证面面平行 想线面平行P27 例1 58 例1 59 平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 线线平行 面面平行 性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 已知两条直线和三个平行平面都相交 求证所截得的线段对应成比例 已知 求证 直线和分别交于点A B C和点D E F M P28 例1 60 1 下列结论正确的是 A 若两个角相等 则这两个角的两边分别平行B 空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C 空间四边形的两条对角线可以相交D 空间四边形的两条对角线不相交 D 练习题 2 下面三个命题 其中正确的个数是 三条相互平行的直线必共面 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 若四边形有一组对角都是直角 则这个四边形是圆的内接四边形A 1个B 2个C 3个D 一个也不正确 D 4 若空间四边形的对角线相等 则以它的四条边的中点为顶点的四边形是 A 空间四边形B 菱形C 正方