MATLAB在复变函数中的应用

MATLAB 在复变函数中的应用任宏伟 何雯 屠佳丽 胡柯庭 王丹丹 张燕 主要内容1复数和复矩阵的生成2复数的运算1 复数实部和虚部 共轭复数 复数的模和辐角2 复数的乘除法 复数的平方根 复数的幂运算3 复数的指数和对数运算 复数的三角运算 复数方程求根3复变函数的极限 导数与积分4复变函数的Taylor展开5Laplace变换及其逆变换 Fourier变换及其逆变换6留数7复变函数的图像 2 1复数的和复矩阵的生成 3 复变函数和实变函数有很深的联系 很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推广 明白了这一点对于学习复变函数有很大的帮助 但是复变函数又有它自身的特点 某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推广 但又有明显不同于实变函数的特征 本章讲述的是Maltab在复变函数中的应用 正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系 所以大多数处理复变函数的Matlab命令和处理实变函数的命令是同一个命令 1 1复数的生成 复数可以由z a b i语句生成 也可以简写为z a bi 另一种生成复数的语句是z r exp i theta 也可以简写为z r exp thetai 其中theta为复数辐角的弧度值 r为复数的模 4 1 2创建复矩阵 创建复矩阵有两种方法 1 同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如 A 3 5 i 2 3i 9 exp i 6 23 exp 33i 2 可将实矩阵和虚矩阵分开创建 再写成和的形式例如 re rand 3 2 im rand 3 2 com re i im结果为 com 0 9501 0 4565i0 4860 0 4447i0 2311 0 0185i0 8913 0 6154i0 6068 0 8214i0 7621 0 7919i 2复数的运算 5 2 1复数实部和虚部 共轭复数 复数的模和辐角1 复数实部和虚部real X 返回复数X的实部imag X 返回复数X的虚部2 共轭复数conj X 返回复数X的共轭复数3 复数的模和辐角abs X 返回复数X的模angle X 返回复数X的辐角例1求下列复数的实部与虚部 共轭复数 模和辐角 6 complex01 ma 1 3 2i 1 i 3i 1 i 3 4i 2 5i 2i i 9 4 i 21 i R real a M imag a Con conj a Abs abs a Ang angle a 计算结果a 0 2308 0 1538i1 5000 2 5000i 3 5000 13 0000i0 2 0000iR 0 23081 5000 3 50000M 0 1538 2 5000 13 0000 2 0000con 0 2308 0 1538i1 5000 2 5000i 3 5000 13 0000i0 2 0000iabs 0 27742 915513 46292 0000ang 0 5880 1 0304 1 8338 1 5708 7 2 2复数的乘除法 复数的平方根 复数的幂运算1 复数的乘除法运算由 和 实现 2 复数的平方根sqrt X 返回复数X的平方根值3 复数的幂运算 X n 2 3复数的指数和对数运算 复数方程求根 复数的三角运算1 复数的指数和对数运算exp X 返回复数X的以e为底的指数值log X 返回复数X的以e为底的对数值2 复数的方程求根复数方程求根或是方程的复数根求解也由函数solve实现 例2求方程x3 8 0的所有根 roots solve x 3 8 0 roots 2 1 i 3 1 2 1 i 3 1 2 8 3 复数的三角运算复数的三角函数运算参见下面的复数三角函数表 3复变函数的极限 导数和积分 9 3 1复变函数的极限求复变函数的极限仍然使用命令limit 只是复变函数的极限存在条件比实变函数更加苛刻 复变函数极限存在要求复变函数的实部和虚部同时存在极限 命令格式如下 limit F x a 例3z为复数 有复变函数f z z 1 z 求极限 complex02 mclearsymszf z 1 z limit f z 1 5 i 10 3 2复变函数的导数 计算复变函数导数的命令仍然是diff 具体格式为 diff function varriable b 例4求ln 1 sinz 在z i 2处的导数 在z 3 i 2处的导数 complex03 mclearsymszf1 log 1 sin z f2 sqrt z 1 z 2 df1 diff f1 z df2 diff f2 z vdf1 subs df1 z i 2 vdf2 subs df2 z 3 i 2 11 3 3复变函数的积分 复变函数的定积分在形式上和实变函数的定积分没有什么不同 只是积分限由原来的仅仅是实数变为可以是复数的情况了 具体格式为 int function varriable a b function为被积分的复变函数表达式 varibale为积分变量 a和b为积分下上限 例5计算定积分 complex04 mclearsymszf1 z cos z f2 log z 1 z 1 inf1 int f1 z 0 i inf2 int f2 z 0 i 计算结果inf1 cosh 1 sinh 1 1Inf2 1 2 log 1 i 2 1 2 log 2 2 4复变函数的Taylor展开 12 4 1复变函数的Taylor展开 Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位 比如复变函数的解析性等 函数f x 在x x0点的Taylor级数展开如下 在Matlab中可由函数Taylor来实现 具体格式为 例6将后面的函数展开为复数变量z的幂级数 complex05 mclearsymszf 1 1 z 2 F taylor f 10 z 0 计算结果F 1 2 z 3 z 2 4 z 3 5 z 4 6 z 5 7 z 6 8 z 7 9 z 8 10 z 9 f为需要展开的函数表达式 n声明输出展开式的前n项 varibale声明展开变量 a表示变量求导的取值点 taylor f n varriable a 5Laplace变换及其逆变换Fourier变换及其逆变换 13 1 Laplace变换L laplace F 返回默认独立变量t的符号表达式F的拉普拉斯变换 函数返回默认为s的函数 如果F F s 则Laplace函数返回t的函数L L t 其中L L s int F t exp s t 0 inf L laplace F t 以t代替s的拉普拉斯变换 函数返回t的函数 其中L L t int F s exp t s 0 inf L laplace F w z 以z代替s的拉普拉斯变换 相对于w的积分 函数返回t的函数 其中L L z int F w exp z w 0 inf 5 1Laplace变换及其逆变换 14 complex06 mclearsymsastwzL1 laplace x 5 L2 laplace exp a s L3 laplace sin w x t L4 laplace cos x w t L5 laplace x sym 3 2 t 计算结果L1 120 s 6L2 1 t a L3 w t 2 w 2 L4 t t 2 x 2 L5 3 4 pi 1 2 t 5 2 15 2 Laplace逆变换F ilaplace F 返回默认独立变量s的符号表达式L的拉普拉斯变换 函数返回默认为t的函数 如果F F t 则iLaplace函数返回x的函数F F x 这里F L t int L s exp s t s c i inf c i inf 其中c为选定的实数使得L s 的所有奇点都在直线s c的左侧 F ilaplace L y 以y代替默认的t的函数 且有ilaplace L y F y int L y exp s y s c i inf c i inf F ilaplace L y x 以x代替t的函数 有ilaplace L y x F y int L y exp x y y c i inf c i inf 16 complex07 mclearsymsstwxyF1 ilaplace 1 s 1 F2 ilaplace 1 t 2 1 F3 ilaplace t sym 5 2 x F4 ilaplace y y 2 w 2 y x F5 ilaplace sym laplace F x x s s x 计算结果F1 exp t F2 sin x F3 4 3 pi 1 2 x 3 2 F4 cos w x F5 F x 17 5 2Fourier变换及其逆变换 1 Fourier积分变换F fourier f 返回默认独立变量x的数量符号f的fourier变换 返回默认为w的函数 如果f f w 则fourier函数返回t的函数F F t 其中F F w int f x exp i w x inf inf F fourier f v 以v代替默认变量w的fourier变换 且fourier f v F v int f x exp i v x x inf inf F fourier f u v 以v代替x且对u积分 且有fourier f u v F v int f u exp i v u u inf inf complex08 msymssvwxF1 fourier 1 t F2 fourier exp x 2 x t F3 fourier exp t sym Heaviside t v F4 fourier diff sym F x x w 计算结果F1 i pi Heaviside w Heaviside w F2 pi 1 2 exp 1 4 t 2 F3 1 1 i v F4 I w fourier F x x w 18 2 Fourier逆变换f ifourier F 返回默认独立变量w的符号表达式F的fourier逆变换 返回x的函数 如果F F x 则ifourier函数返回t的函数f f t 一般地f x 1 2 pi int F w exp i w x w inf inf f ifourier F u 以u代替x 且ifourier F u f u 1 2 pi int F w exp i w u w inf inf f ifourier F v u 以v代替w的fourier逆变换 且有ifourier f v u f u 1 2 pi int F v exp i v u v inf inf complex09 msymstuwxf1 ifourier w exp 3 w sym Heaviside w f2 ifourier 1 1 w 2 u f3 ifourier v 1 w 2 v u f4 ifourier sym fourier f x x w w x 计算结果f1 1 2 pi 3 i t 2f2 1 2 exp u Heaviside u 1 2 exp u Heaviside u f3 i 1 w 2 Dirac 1 u f4 f x 6留数 19 6 1留数的定义 留数在复变函数中有着重要地位 利用它可以来计算复变函数的积分 下面对于复变函数的分子和分母都是多项式的情形 给出留数的计算方法 称为f z 在a点的留数或残数 记作Res f z a 6 2留数的计算 设a是f z 的孤立奇点 C是a的充分小的邻域内一条把a点包含在其内部的闭路 积分 20 Matlab提供了计算留数的命令residue 这个命令用来处理分子和分母都为多项式形式的复变函数 计算留数的命令的格式如下 r p k residue B A 参数B是由复变函数的分子的系数组成的向量 参数A是由复变函数的分母的系数组成的向量 参数r返回留数 是由在不同奇点的留数组成的向量 参数p返回奇点 也是一个向量 参数k是个向量 由B A的商的多项式系数组成 如果length B length A 则k为空向量 否则 length k length B length A 1 另外命令residue 还可以根据已知的奇点p 奇点的留数r和k来计算分式复变函数的系数B和A 格式如下 B A residue r p k 这个命令的各个参数的意义和上面的是完全一样的 21 complex10 mclearB 1 0 A 1 0 0 0 1 R P K residue B A B A residue r p k 例7计算下面复变函数的留数 然后根据计算的结果反求复变函数的分式 计算结果R 0 25000 2500 0 2500 0 0000i 0 2500 0 0000iP 1 00001 00000 0000 1 0000i0 0000 1 0000iK B 00 00001 00000 0000A 1 0000 0 0000 0 00000 0000 1 0000 22 例8计算下面复变函数的留数 complex11 mclearB 1 3 0 2 A 1 6 1 R P K residue B A 计算结果R 18 67060 3294P 6 16