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文档简介

一 复系数多项式 二 实系数多项式 1 8复系数与实系数多项式的因式分解 1 代数基本定理 一 复系数多项式 若则在复数域 上必有一根 推论1 使 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式 即 则可约 2 复系数多项式因式分解定理 若则在复数域 上可唯一分解成一次因式的乘积 推论1 推论2 若则在 其中是不同的复数 上具有标准分解式 复根 重根按重数计算 若 则有n个 二 实系数多项式 命题 若是实系数多项式的复根 则的共轭复数也是的复根 若为根 则 两边取共轭有 也是为复根 证 设 实系数多项式因式分解定理 若 则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 证 对的次数作数学归纳 时 结论显然成立 假设对次数 n的多项式结论成立 设 由代数基本定理 有一复根 若为实数 则 其中 若不为实数 则也是的复根 于是 设 则 即在R上是一个二次不可约多项式 从而 由归纳假设 可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积 由归纳原理 定理得证 在R上具有标准分解式 推论1 其中 且 即为 R上的不可约多项式 推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 例1求在上与在上的标准分解式 1 在复数范围内有n个复根 次不可约多项式 所有次数 3的多项式皆可约
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