谈反证法在分析学中的应用文献综述.doc

谈反证法在分析学中的应用XXX（莆田学院数学学院 指导教师: XXX）一、 研究背景及动态反证法的应用是分析学中的一个非常重要的课题，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的解题基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据.目前国内外已经有很多学者研究反证法在分析学中的应用这个课题。 一般而言，在现在的大学学习阶段，对于反证法的应用提及的不少，但只是说到一些表面的应用，而且没有针对反证法的应用进行分类归纳。而现行的数学专业教材中则很少对此作出总结，文献综述也较为分散，本课题是在前人学者研究的基础之上针对教材相关知识点的概括和升华。对以后解决相关的命题可能会起到不可替代的作用，为我们进一步学习和掌握相关内容提供了更好更全的方法。二、 评述从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。反证法是一种十分重要的数学证明方法，它的使用可以上溯到毕达哥拉斯学派，与无理数的发现密切相关。法国数学家阿达玛（J.Hamdamard,18651963）对反证法的实质做过概况：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。英国数学家牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。正是由于前人学者对于反证法的重视和研究，也是由于反证法的重要性，以至于现在我们不得不重新审视反证法，对于反证法的应用再次进行归纳总结和推广。陈艳凌、陈继龙、张锐梅几位学者在“关于数学分析中宜用反证法证明的问题”一文中指出，运用反证法证明的习题类型及规律是：1.证明“函数某个特定常数”；2.在已知极限存在货易证出极限存在的前提下，证明“极限等于零”或“极限等于某个特定常数”；3.证明有关“不存在”的题目；4.证明“至少有一点”的题目，对于题设中函数不具连续条件者，有时适宜用实数理论找点，再用反证法证明为所求；5.证明集合个数为“有限个”；6.证明“函数有界限”；7.证明“最多只有”的题目；8.证明“唯一性”。徐秀娟在“反证法在高等数学证明题中的应用”中通过对于具体例题的分析，归纳出一些多采用反证法证明的命题，如命题结论涉及“否定”含义；命题结论涉及“无限”；命题结论出现“至少”、“至多”、“仅有”形式等，采用反证法证明较易的问题。我国学者郭建在“分析学中的逻辑方法”一文中指出，分析学中，关于唯一性的各种命题的论证，多用反证法。并阐述了反证法的两种形式归谬法和穷举法。在数学逻辑的角度对反证法的应用进行了说明。学者殷堰工在“数学分析中的反证法”一文中指出反证法对于那些抽象程度高而且用直接证法难于达到目的的数学命题常常奏效。同时通过对大量的反证法处理的命题进行分析、归纳、总结出一些适用反证法的规律性问题。孟红玲、赵远在“反证法在高等数学中的应用举例”中说明了反证法的含义，及用反证法证明的严密性，反证法的证明步骤，及适宜用反证法证明的问题。同时本文的一些经典例题参考自孙涛的“数学分析经典习题解析”以及李明振的“数学方法与解题研究”。参考了大量的关于此类命题研究的文章，选取了对笔者启发比较大比较有代表性的一些文章进行参考。随着历史的车轮时间的脚步，通过前人学者的研究我们可以发现，反证法的定义大致上没有什么改变，但是在对于细节上日臻完善。同样在对反证法在分析学中的应用，前人学者也都各自有着自己的看法和见解。总结分类方面也不尽相同，笔者就是在前人的研究基础之上，进行了再一次的探究和论证，希望对以后的学者在对反证法在分析学中的应用方面有着更好的认识，能够抓住要点，掌握精髓。三、 结论总体上来看，在分析学中宜用反证法证明的命题形式分为几种：1、结论为否定形式的命题；2、结论为以“至少”、“至多”、“任一”、“惟一”、“无一”、“全部”等形式出现的命题；3、结论以“无限”的形式出现或涉及“无限”性质的命题；4、关于存在性的命题；5、已知条件少或从已知出发所能推出结论甚少的命题，以及其他的一些方面等，笔者就是从前人学者的基础上进行再次总结，并对接触到的关于反证法在分析学中应用的新的形式或题型进行了总结和例举。由于水平知识有限，所以文章存在着这样那样的漏洞和缺点，希望大家能帮忙改正。参考文献：1陈艳凌,陈继龙,张锐梅. 关于数学分析中宜用反证法证明的问题J. 齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2007,03:125-126.2徐秀娟. 反证法在高等数学证明题中的应用J. 河北理工学院学报(社会科学版),2005,04:115-117.3孟红玲,赵远. 反证法在高等数学中的应用举例J. 洛阳大学学报,2002,04:110-112.4郭健. 分析学中的逻辑方法J. 商洛师专学报,1995,0