证明三点共线问题的方法.doc

证明三点共线问题的方法1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ABC为不等边三角形，过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB于、，求证：、三点共线。解：记，易知又易证.则. 同理.故.由梅涅劳斯定理的逆定理，知、三点共线。2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2 、如图，以锐角ABC的一边BC为直径作O，过点A作O的两条切线，切点为M、N，点H是ABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数) 证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。记AB与O的交点为E，易知C、H、E三点共线。联结OM、ON、DM、DN、MH、NH，易知，A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，此时，因为（B、D、H、E四点共圆），即；又，所以，故同理，。因为，所以，M、H、N三点共线。3、利用面积法如果，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。例3 、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示，由可知，点O必在内，此时，同理，。因此。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。 注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。4、利用同一法尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。例4 、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与MN交于S，证明：A、S、C三点共线。证明：如图4(b)，令PQ与AC交于，易证互补。而，则，故。再令MN与AC交于。同理可得但，所以。利用合比性质得，。因此，可断定与必重合于点S，故A、S、C三点共线。注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。5、利用位似形的性质如果与是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、O；B、O；C、O分别三点共线，而且、的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。例5、如图,内部的三个等圆、两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与的一边相切,已知O、I分别是的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。证明：联结、。由已知得 、。可断定与是一对位似三角形，且易知的内心I是两者的位似中心。因为、为等圆，即,所以点P是的外心。又点O是的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。6、 利用反证法有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。例6、如图，梯形ABCD中、DC/AB，对形内的三点、，如果到四边距离之和皆相等，那么，、三点共线，试证之。证明：先看两点，设直线分别交AD、BC于M 、N，于，于，于，于。因为DC/AB，则点到AB、CD的距离之和等于点到AB、CD的距离之和。由已知可得。过点作AD的平行线、过点作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记交于G，交于H。观察上式有。所以，。因为有两条高，所以，是等腰三角形，则。故。再用反证法证明点一定在上：假设点不在上，联结并延长分别交AD、BC于，易知点在MN的异侧；因为点到AD、BC的距离之和等于点到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有。事实上，观察图形只能得到，矛盾，这说明点必在上，即MN上，因此、三点共线。7、 用塞瓦定量的逆定理变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若，则AD、BE、CF三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影。例7、如图7，凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P，作PE、PF切圆于E、F，又AC与BD交于K，证明：E、K、F三点共线。解：联结AE、ED、CF、FB