杨辉三角浙教版七下数学.ppt

杨辉三角的奥秘及应用 11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691 这个表就称为杨辉三角 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6 1a 1b 1a2 2ab 1b2 1a3 3a2b 3ab2 1b3 1a4 4a3b 6a2b2 4ab3 1b4 1a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 1b5 1a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 1b6 11121133114641151010511615201561 与二项式展开系数的关系 a b n展开式的系数就是杨辉三角的第n行 杨辉三角 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 在这本书里 记载着类似下面的表 杨辉 中国南宋末年数学家 数学教育家 大约在13世纪中叶至后半叶活动于苏 杭一带 字谦光 钱塘 今杭州 人 其生卒年及生平无从详考 杨辉的数学著作甚多有 日用算法 杨辉算法 等 杨辉三角 出现在杨辉编著的 详解九章算法 一书中 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右 杨辉三角基本性质 1 三角形的两条斜边上都是数字1 而其余的数都等于它肩上的两个数字相加2 杨辉三角具有对称性 对称美 与首末两端 等距离 的两个数相等3 每一行的第二个数就是这行的行数4 所有行的第二个数构成等差数列5 第n行包含n 1个数 11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691 与数字11的幂的关系 与数字2的幂的关系 杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n 1次幂 斜行和水平行之间的关系 n行中的第i个数是斜行i 1中前n 1个数之和 111121133114641151010511615201561 斐波那契数列 1 1 2 3 5 8 换一角度 斜 向看 斜线的和依次为 1 1 2 3 5 8 13 21 34 a1 1 a2 1 a3 2 有 an an 1 an 2 n 3 斐波那契数与植物花瓣3 百合和蝴蝶花 5 蓝花耧斗菜 金凤花 飞燕草 毛茛花 8 翠雀花 13 金盏和玫瑰 21 紫宛 34 55 89 雏菊 第2k行的数字特征 所有数的和是偶数 第行的数字特征 行数整除所有的数 第5行 第7行 第3行 第2行 都是质数 行数为质数的数都能被行数整除 在弹球游戏中的应用 弹球游戏 小球向容器内跌落 碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物 再向两侧跌落第三层阻挡物 如此一直下跌最终小球落入底层 根据具体地区获的相应的奖品 AG区奖品最好 BF区奖品次之 CE区奖品第三 D区奖品最差 ABCDEFG 在弹球游戏中的应用 杨辉三角的实际应用 纵横路线图 是数学中的一类有趣的问题 图1是某城市的部分街道图 纵横各有三条路 如果从A处走到B处 只能由北到南 由西向东 那么有多少种不同的走法 A 图1 B 我们把图顺时针转45度 使A在正上方 B在正下方 然后在交叉点标上相应的杨辉三角数 B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系 结论 有趣的是 B处所对应的数6 正好是答案 6 一般地 每个交点