02 数学模型 - 03非线性微分方程的线性化

第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型 第第3讲 非线性微分方程的线性化讲 非线性微分方程的线性化 王燕舞王燕舞 自动化学院自动化学院 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 2 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 为什么要进行线性化 严格的说 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程 即输入 输出和扰动等之间的关系都是非线性的 非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂 而线 性化后的模型可借助叠加原理的性质 简化系统分析 因此 研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价 值 为什么要进行线性化 严格的说 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程 即输入 输出和扰动等之间的关系都是非线性的 非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂 而线 性化后的模型可借助叠加原理的性质 简化系统分析 因此 研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价 值 什么是非线性数学模型的什么是非线性数学模型的线性化线性化 在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线 性模型的处理方法 在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线 性模型的处理方法 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 3 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 符合什么条件的系统可以进行线性化呢 符合什么条件的系统可以进行线性化呢 条件1 小偏差理论条件1 小偏差理论或或小信号理论小信号理论 在工程实践中 控制 系统都有一个额定的工作状态和工作点 当变量在工作点 在工程实践中 控制 系统都有一个额定的工作状态和工作点 当变量在工作点 附近作小范围的变化时 就满足这个条件 附近作小范围的变化时 就满足这个条件 条件2 条件2 在工作点附近存在各阶导数或偏导数 在工作点附近存在各阶导数或偏导数 如何进行线性化呢 如何进行线性化呢 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 4 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 假设微分方程模型中包含非线性函数假设微分方程模型中包含非线性函数f x 如图 所示 设 如图 所示 设y f x 假设系统在工作点 假设系统在工作点 x0 y0 y0 f x0 附近变化 且在该工作点处各阶导数 均存在 在 附近变化 且在该工作点处各阶导数 均存在 在 x0 y0 附近将附近将y展开成泰勒级数 展开成泰勒级数 0 0 0 xx x x xf xfxfy 若偏差若偏差 x x x0很小 可忽略级数中高阶无穷小项 上式化为很小 可忽略级数中高阶无穷小项 上式化为 000 0 0 xxKxfxx x x xf xfxfy K表示表示y f x 曲线在曲线在 x0 y0 处切线的斜率 因此非线性函数在工 作点处可以用该点的切线方程线性化 处切线的斜率 因此非线性函数在工 作点处可以用该点的切线方程线性化 y y f x y0 x0 x 2 0 0 2 2 2 1 xx x x xf xKxfxfyyy 00 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 5 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 如何进行线性化呢 如何进行线性化呢 小偏差法小偏差法 在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰 勒级数 忽略级数中的高阶项 得到只包含偏差的一次项 的线性方程 在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰 勒级数 忽略级数中的高阶项 得到只包含偏差的一次项 的线性方程 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 6 液位流体过程 如图 液位流体过程 如图 Q1为流入量 也是输入量 为流入量 也是输入量 Q2为流出量 为流出量 h为液 位高度 为系统输出 为液 位高度 为系统输出 C为液缸的 截面积 为液缸的 截面积 dt dh CQQ 21 消去中间变量消去中间变量Q2 则有 则有 hkQ 2 若节流阀开度固定 则若节流阀开度固定 则k为常数 为常数 g k 2 g为重力加速度 为液体密度 为流体系数 为重力加速度 为液体密度 为流体系数 1 Qhk dt dh C 这是一个一阶非线性微分方程 这是一个一阶非线性微分方程 线性化 例线性化 例1 解 解 根据物质守恒定律 因为流体不可压缩 有 由于通过节流阀的流体是紊流 由流量公式得 根据物质守恒定律 因为流体不可压缩 有 由于通过节流阀的流体是紊流 由流量公式得 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 7 线性化 例线性化 例1 1 3Qh dt dh C 将液位流体过程在工作点将液位流体过程在工作点 Q10 6 h0 4 处线性化 处线性化 解 解 设设 hF3 3 3 00 0 hhhhF h h h h h 4 0 0 2 3 3hh 75 03 0 1 75 0Qh dt hd C 平衡点处有平衡点处有 100 3Qh 将将F进行线性化 则 进行线性化 则 1100 0 75 03 QQhh dt hhd C 则则 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 8 线性化 例线性化 例2 SM M k u 两相伺服电机系统 其输入量两相伺服电机系统 其输入量uk 输出量 输出量 设 设J为电动机转动惯量 为电动机转动惯量 Mf为负载转矩 为负载转矩 M为 电机转矩 该系统的转矩平衡方程如下 其中 为 电机转矩 该系统的转矩平衡方程如下 其中负载转矩负载转矩是电动机角速度的非线性函数 电枢是电动机角速度的非线性函数 电枢uk驱动电机 转动而产生的电动机 驱动电机 转动而产生的电动机转矩转矩是电动机角速度和电枢电压的非线性 函数 平衡点 是电动机角速度和电枢电压的非线性 函数 平衡点 0时时uk uk0 Mf Mf0 M M0 解 解 两个非线性项均需要线性化 由于平衡点处 两个非线性项均需要线性化 由于平衡点处 0 dt d 000kf uMM kf uMM dt d J 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 9 线性化 例线性化 例2 SM M k u 当系统在平衡点附近变化时 当系统在平衡点附近变化时 uk uk0 uk 0 0 0 d dM MM f ff k k kk u u MM uMuM 0 0 00 转矩平衡方程 平衡点 转矩平衡方程 平衡点 0时时uk uk0 Mf Mf0 M M0 平衡点处平衡点处0 dt d 000kf uMM kf uMM dt d J k k k f f u u MM uM d dM M dt d J 0 0 00 0 0 0 dt d J 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 10 线性化 例线性化 例2 k k f u u MM d dM dt d J 0 0 0 k k f u u MM d dM dt d J 0 0 0 设参数设参数 0 00 0 0 M d dM u M K M d dM JT f k m f m kmm uK dt d T 线性化后的微分方程模型为 简化化后的线性微分方程模型 线性化后的微分方程模型为 简化化后的线性微分方程模型 华中科技大学自动化学院王燕舞华中科技大学自动化学院王燕舞 11 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 在处理线性化问题时 需要注意以下几点 在处理线性化问题时 需要注意以下几点 线性化必须首先确定线性化必须首先确定工作点工作点 在线性化过程中 忽略了泰勒级数中二阶以上的无穷小项 如 果实际系统中输入量 在线性化过程中 忽略了泰勒级数中二阶以上的无穷小项 如 果实际系统中输入量变化范围较大变化范围较大时 采用小偏差法建立线性 模型必然会带来 时 采用小偏差法建立线性 模型必然会