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精品文档Barbalat引理证明一、 Barbalat引理的基本形式：引理1 设为一阶连续可导，且当时有极限，则如果一致连续，那么。如果存在且有界，那么引理1中的一致连续性条件可用的有界性来代替，从而可以得到如下形式的引理。引理2 设为一阶连续可导，且当时有极限，则如果存在且有界，那么。可以得到如下推论。推论1 若一致连续，并且存在且有界，那么。其中引理1的证明如下：因为一致连续，所以：，对任意的有：另外由可知：对于给定的，当时有：同理：利用泰勒展开则：其中：所以：由此可知：则：显然：所以由的一致连续性可知：则： 即：对于，当时有：由此得证： 二、 Barbalat引理的集中变形形式：Barbalat引理的基本形式虽然在一定程度上能判断系统的渐近收敛性，但由于不易与Lyapunov理论相结合，故在实际应用中具有一定局限性。为此，对Barbalat基本形式进行延展和变形，得到如下集中Barbalat引理的表达形式。引理3 若一致连续，且存在，使得，那么。注：，且，。证明：当时，因，则由的一致连续性可知亦为一致连续的。令。则应用引理1易证，进而得到的收敛性。当时，用反证法证之。假设不成立，那么存在常数，对任意,存在，有。基于此，可以得到无限时间序列，使，。因为是一致连续的，故对给定的，存在，使得对任意的都有如下关系式：。由此知，对任意，都有，即。由的连续性可知在域内，恒为正或恒为负，所以，对所有的，有，这意味着。而已知当时，存在极限，记为，即，故这与上式相矛盾。引理4 设平方可积，即，则如果存在且有界，那么。引理5 设为，的，且有界，那么。引理6 设绝对连续，则如果，且对任意紧集一致局部可积，那么。引理7 设连续、非减，且仅当时，。则如果为一致连续且，那么，进而。引理8 如果连续可导的二元函数有下界，半负定，且关于时间t是一致连续的，那么。三、 Barbalat引理在系统渐进稳定性分析中的应用：考虑二阶系统：，其中w是一有界连续函数，分析系统的稳定性。分析：选取,则，由此可得，即是有界的。这意味着和是有界的，由此及和的有界性可知，是有界的，所以关于时间t是一致连续的，那么应用引理8可得，进而可得。此例仅可说明最终收敛于0，但是整个系统不是渐进稳定的，只能保证有界，而不能保证的渐进收敛性。欢迎您的下载，
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