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优化设计 伞红军主讲昆明理工大学机电工程学院机械工程及自动化系联系电话mail sanhjun6 1 主要教材及参考书 1 机械优化设计 孙全颖 赖一楠 白清顺主编哈尔滨工业大学出版社 2007年7月2 机械优化设计 孙靖民 梁迎春主编机械工业出版社 2006 12 2 绪论 优化设计是60年代以来发展起来的一门新学科 它是将最优化方法和计算机技术结合 应用于设计领域而产生的一种现代设计方法 利用优化设计方法可以从众多的设计方案中寻找最佳方案 加快设计过程 缩短设计周期 从而大大提高设计效率和质量 因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域 优化设计方法目前已经在机械工程 结构工程 控制工程 交通工程和经济管理等领域得到了广泛应用 3 一 优化设计的含义 防洪堤坝的设计 4 优化是在规定的范围内 或条件下 寻找给定函数取得最优值的条件 优化的目的就是在完成某一任务时所作的努力最少 付出最小 而使其收益最大 效果最好 优化的过程其实就是一种决策的过程 机械优化设计即把机械设计与优化设计理论及方法相结合 借助电子计算机 自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数 5 二 传统设计与优化设计 人工试凑和定性分析的比较过程 被动的重复分析产品的性能 6 图2 现代优化设计过程框图 利用电子计算机主动的设计产品参数 获得最优方案 7 优化设计具有传统设计所不具备的特点 主要表现在以下两个方面 优化设计能使各种设计参数自动向更优的方向进行调整 直到找到一个尽可能完善的或最合适的设计方案 优化设计的设计手段是采用电子计算机 可以在较短的时间内从大量的方案中选出最优的设计方案 减少设计时间 缩短设计周期 8 工程案例 利用一化工优化系统 对一化工厂进行设计 根据给定数据 在16小时内 进行16000个可行性设计的选择 从中选择一成本最低 产量最大的方案 并给出必须的精确数据 传统设计 一组工程师 一年时间 仅仅3个方案 且并非最优 美国BELL飞机公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构优化问题 一个机翼质量减轻35 9 优化设计的作用 优点 使传统机械设计中 求解可行解上升为求解最优解成为可能 使传统机械设计中 性能指标的校核可以不再进行 使机械设计的部分评价 由定性改定量成为可能 大大提高了产品的设计质量 从而提高了产品的质量 提高生产效率 降低产品开发周期 10 三 机械优化设计发展概况 1 古典优化思想 17世纪 利用微分学和变分学的解析解法 仅能解决简单的极值问题2 经典优化方法 20世纪40年代 数学规划方法 可求解包含等式约束和不等式约束的复杂优化问题 3 现代优化设计 20世纪80年代出现许多现代优化算法 模拟退火算法 遗传算法 人工神经网络算法 蚁群优化算法等 并从狭义优化设计 零部件参数 转向广义优化设计 面向产品的全系统 设计全过程 全寿命周期 例如 针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化 11 四 本课程的目的和任务 了解机械优化设计的基本概念 掌握常用优化方法的基本原理 算法及应用特点 树立正确的机械优化设计观点 扩大视野 并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质 12 五 本课程的主要内容 机械优化设计工作包括以下两部分内容 用数学表达式来描述实际机械设计问题 即建立数学模型选择适当的优化方法及其程序 通过电子计算机来求解数学模型 从而获得最优设计方案 13 优化设计主要讲解内容 优化设计概述优化设计的数学基础一维搜索方法无约束优化方法约束优化方法机械优化设计实例 14 优化设计概述 15 第一节人字架的优化设计 一 问题 求 在钢管压力不超过许用压力和失稳临界压力的条件下的人字架高度h和钢管平均直径D 使钢管总质量最小 16 人字架的优化设计问题可归结为 17 二 钢管满足的强度与稳定条件 钢管所受压力 二力杆 钢管所受压应力 强度约束条件 18 压杆失稳时临界力 钢管失稳的临界应力 稳定约束条件 19 三 解析法 人字架的总质量表示为 则有 可以将设计变量D用设计变量h表示 代入m D h 得到 20 若函数m h 存在极值 则必有 得到 代入稳定性条件演算 可得满足条件 最优方案确定 21 四 作图法 设计平面D h上 可行域 22 m D h c 一系列常数 质量等值线 可行域内无中心点 可行域边界与等值线切点处 23 五 讨论 若将许用应力由420提高到703Mpa 可行域变化 虚线 强度曲线 解析法得到 等值线与强度曲线的交点 但不是最优解 不满足稳定约束条件 实际最优点 两约束交点处 过x1点的等值线 24 最优点的三种情况 1 最优点的等值线在可行域内中心点 约束不起作用 无约束问题 2 最优点在可行域边界与等值线切点处 一个起作用约束3 多个约束交点处 多个起作用约束 25 机械优化设计首先要求将设计问题转化为优化设计的数学模型 设计问题 优化设计数学模型 1 目标函数与各设计参数的关系 方程组 2 约束条件与各设计参数的关系 等式或不等式 优化方法 小结 利用力学 机械或其它专业知识 求解优化问题得到设计结果 26 第二节机械优化设计问题示例 在优化设计中 建立数学模型 通常是根据研究对象的设计要求 应用有关专业的基础理论知识进行推导来建立相应的方程或方程组 对机械产类的产品对象来说 主要是根据力学 机械设计基础知识和各专业机械设备的具体知识来推导方程或方程组 这些方程或方程组必须能够反映各设计变量之间的内在联系 通过它可以研究各设计变量对设计对象工作性能的影响 27 一 平面四杆机构的优化设计 已知此曲柄摇杆机构的曲柄的长度 机架的长度 许用传动角在之间 设计此曲柄摇杆机构 要求当曲柄从位置转到时 摇杆的输出角最优的实现一个给定的运动规律 即 28 设计变量 目标函数 29 约束条件 1 30 约束条件 2 31 曲柄摇杆机构的优化数学模型 最终得到最优方案 32 二 薄板包装箱的优化设计 设计一个体积为5m3的薄板包装箱 如图所示 其中一边的长度不小于4m 要求使薄板材料消耗最少 试确定包装箱的尺寸参数 即确定包装箱的长 宽和高 33 设计变量 包装箱的长a 宽b和高h 目标函数 约束条件 1 2 34 包装箱尺寸设计的优化数学模型 最终得到最优方案 35 三 圆形等截面销轴的优化设计 如图所示是一个圆形等截面销轴 轴的一端作用载荷P 1000N 扭矩M 100N m 轴长不得小于8cm 材料的许用弯曲应力 w 120MPa 许用扭剪应力 80MPa 许用挠度 f 0 01cm 密度 7 8t m 弹性模量E 2 105MPa 要求 设计此销轴 在满足上述条件的同时 轴的质量应为最轻 36 目标函数 约束条件 1 2 设计变量 销轴的长度和截面直径 37 约束条件 3 4 38 销轴尺寸设计的优化数学模型 39 四 生产计划的优化示例 已知 某电线电缆车间生产电力电缆和电话电缆两种产品 每生产电力电缆1m需用材料9kg 3个工时 消耗电能4kw h 可得利润60元 每生产电话电缆1m需用材料4kg 10个工时 消耗电能5kw h 可得利润120元 若每天材料可供应360kg 有300个工时 电能200kw h可利用 如要获得最大利润 每天应生产电力电缆 电话电缆的长度各为多少 40 目标函数 约束条件 1 2 设计变量 电力电缆和电话电缆的数量和 3 4 41 包装箱尺寸设计的优化数学模型 42 五 路径优化问题 例如 一个越野赛在湖边举行 安排出发点在陆地A处 终点在湖心岛B处 A处与B处南北相距5km 东西相距7km 湖岸位于A点南侧2km处 是一条东西走向的笔直长堤 比赛中运动员可自行选择路线 但必须先从A出发到达长堤 再从长堤处下水游泳到达终点B 已知运动员甲跑步速度v1 18km h 游泳速度为v2 6km h 问甲运动员应该在长堤的何处下水才能使比赛用时最少 43 目标函数 跑步耗时 游泳耗时 全程耗时 44 约束条件 优化设计的数学模型 通过优化求解 最终求得此问题的最优解为 45 建立数学模型的方法和步骤 1 根据设计要求 应用专业范围内的现行理论和经验等 对优化对象进行分析 必要时 需要对传统设计中的公式进行改进 并尽可能反映该专业范围内的现代技术进步成果 2 对结构的各个参数进行分析 以确定设计的原始参数 设计常数和设计变量 3 根据设计要求 确定并构造目标函数和相应的约束条件 有时要构造多个目标函数 4 必要时对数学模型进行规范化 以消除各组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响 46 六 机械优化设计方法解决实际问题的步骤 通过前面的几个例子 我可以总结出应用机械优化设计方法解决实际问题的步骤 1 分析实际问题 建立优化设计的数学模型 分析 设计的要求 目标 准则 设计的限制 约束 条件 设计的参数 确定设计变量 建立 机械优化设计方法相应的数学模型 2 分析数学模型的类型 选择合适的求解方法 优化算法 3 编程上机求数学模型的最优解 并对计算的结果进行评价分析 最终确定是否选用此次计算的解 47 第三节优化设计的数学模型 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容 变量关系 有关设计条件和意图的数学表达式 它反映了物理现象各主要因素的内在联系 是进行优化设计的基础 机械优化设计数学建立模型的三个基本要素 设计变量 约束条件 目标函数 48 1 基本参数 机械设计中的一个零件 部件 机构或是一台工艺装备的设计方案 可以用一组基本参数的数组来表示 在设计中 选用哪些参数表示一个设计方案 需要依据各种设计问题的性质而定 有的可能用到几何参数 有的可能用到某些物理参数 有的还可能用到一些代表工作性能的导出量 总之 基本参数是一些对该项设计性能指标好坏有直接影响的量 一 设计变量 49 注意 设计变量之间必须相互独立 设计常量和设计变量不是一成不变 50 2 设计变量的表示形式 x称为设计向量 每个设计向量代表一个设计方案 51 52 设计空间是所有设计方案的集合 设计空间内每一点都代表一个设计方案 但是 实际上这些设计方案 并不是在工程实际中都是可行的 因为机械设计中的设计变量的值不能任意选取 一般总要受某些条件的限制 这些限制条件就是设计的约束条件 每个约束条件用设计变量或它的函数表示 固又称为约束函数 即设计约束 二 约束条件 53 1 约束条件的形式 b 等式约束 54 2 可行域与非可行域 在优化设计中 由于引入了约束条件 因此 只有满足约束条件的设计方案 才是可行的设计方案 55 或 凡不满足其中任一约束条件的设计变量区域称为非可行域 凡满足不等式和等式约束方程的设计点活动区域称为可行域 记为 56 优化设计要把设计变量与某种衡量标准的关系用函数式来表达 追求该函数值最小 或最大 以求得一组设计变量值 从而获得一个最优设计方案 这里的函数就称为目标函数 它是以设计变量为自变量 以所要求的某种目标为因变量 按一定关系所建立的用以评价设计方案优劣的数学关系式 三 目标函数 57 在优化设计中 若追求目标函数值最小 则写成 在优化设计中 若追求目标函数值最大 则写成 58 四 优化设计的数学模型 59 在机械优化设计问题中 多数是约束非线性规划问题 一般说来 一个实际问题常常是比较复杂的 想要将它用数学模型正确表达出来 往往需要从两个相矛盾的情况中做出决策 一方面希望建立一个复杂的数学模型 以便将设计问题精确地描述出来 另一方面又希望建立一个比较容易处理的数学模型 要想恰当地处理这两方面 就需要有丰富的建模技巧 建模技巧 就是对问题能做出正确分析判断 善于抓住主要矛盾 体现问题实质的能力 60 例 如下图所示为承受纯扭载荷的空心传动轴 设传递的扭矩为M 轴的外径为D 内径为d 试在满足强度和扭转稳定的条件下 求用料最节省的设计方案 建立空心扭转轴优化设计的数学模型 61 设计变量 目标函数 约束条件 1 扭转的最大工作剪切应力 62 约束条件 2 扭皱稳定的临界剪应力 3 外径D和内径d要满足一定的边界条件 63 优化数学模型 64 综上所述 优化设计的数学模型实际上是优化设计的数学表达形式 它反映了优化设计问题中各个主要因素之间的内在联系 因此 工程技术人员运用掌握的专业技术理论和数学知识 正确地从实际工程优化设计问题中抽象出数学模型 是进行工程优化设计的关键 也是优化设计必须解决的首要问题 65 五 优化设计问题的几何解释 1 等值面 线 目标函数的值是评价设计方案优劣的指标 n维变量的目标函数 其函数图象只能在n 1维空间中描述出来 当给定一个设计方案 即给定一组的值时 目标函数必相应有一确定的函数值 但若给定一个值 却有无限多组值与之对应 也就是当时 在设计空间中对应有一个点集 通常这个点