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2020 3 21 可编辑 扩频通信 第三章伪随机编码 2020 3 21 可编辑 3 1伪随机编码基本定理 一 伪随机编码的理论基础 1 香农的编码理论 只要信息速率Rb小于信道容量C 则总可以找到某种编码方法 在码周期相当长的条件下 能够几乎无差错地从受到高斯噪声干扰的信号中复制出发送信息 2 提出用具有白噪声统计特性的信号来编码 工程上常用的二元伪噪声码 具有以下特点 1 一周期内 出现 0 1 数目近似相等 2 一周期内 出现长度为n的游程个数比出现长度为n 1的游程个数多一倍 3 序列具有双值自相关函数 2020 3 21 可编辑 3 1伪随机编码基本定理 二 巴克码特点 是一种非周期序列 有良好的局部自相关特性 定义 xi xi 1 i 1 2 p 为一有限长度的序列 当1 p 1时 其部分自相关函数为 巴克码种类很少 且长度较短 已证明不存在p 13的奇数长度和16 p 11664 t 54 的长度偶数巴克码 偶数长度的巴克码可能长度为4t2 t为正整数 t 54的情况尚在研究中 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 在扩展频谱系统中 常使用伪随机码来扩展频谱 伪随机码的特性 如编码类型 长度 速度等在很大程度上决定了扩频系统的性能 如抗干扰能力 多址能力 码捕获时间 3 3m移位寄存器序列3 3 1m序列的定义1 移位寄存器序列移位寄存器序列是指由移位寄存器输出的 由 1 和 0 构成的序列 相应的时间波形是指由 1 和 1 构成的时间函数 如下图所示 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 图3 1 a 移位寄存器序列 b 移位寄存器波形 移位寄存器序列的产生如图3 2 主要由移位寄存器和反馈函数构成 移位寄存器内容为 i 1 2 n 其值取0或1 反馈函数为 反馈函数的输入端通过系数与移位寄存器的各级状态相联 Ci 0 断 1 通 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 输出通过反馈线作为的输入 移位寄存器在时钟的作用下把反馈函数的输出存入 在下一个时钟周期又把新的反馈函数的输出存入而把原来的内容移入下级 依次循环下去 不断输出 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 根据移位寄存器序列产生器的反馈函数 可分 线性反馈移位寄存器序列发生器 LFSRSG 如果为的模2加 2 非线性反馈移位寄存器序列发生器 NLFSRSG 如果不是的模2加 例1 LFSRSG n 4 例2 LFSRSG n 4 例3 NLFSRSG n 4 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 比较以上三例看出 LFSRSG 任一状态只来自一个前置态 NLFSRSG 有的状态来自不止一个前置态 对LFSRSG 例1中初态不同 则状态的转移路径也不同 例2中 对除 0 态以外的任一初态 状态转移路径均相同 且所经历的状态数为2n 1 即把除全 0 以外的所有状态全部穷尽 称此序列为最大长度的线性反馈移位寄存器序列 简称m序列 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 2 m序列的定义 当n级线性移位寄存器所产生的非零序列 an 的周期为2n 1时 称 an 为n级最长周期的线性移位寄存器序列 1 n级移位寄存器序列 2 线性 反馈逻辑是各反馈量的线性函数 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 3 周期最长的序列 n级SRG 每个状态是一个n位组 共有2n个组合状态将其全部串联输出共有2n个元素 除去全 0 态 序列最长为2n 1 3 m序列产生的结构 1 在设备中 m序列可以用硬件产生 也可以先用软件产生 然后存在ROM中 再通过地址变化依次输出 在硬件实现上 可使用移位寄存器 也可用声表面滤波器件等延迟线来产生 2 用移位寄存器产生m序列 从结构上又有两种方式 一种是简单线性码序列发生器 SSRG 另一种是模块式码序列发生器 MSRG 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 SSRG时钟 MRG时钟 前者参加反馈的各级输出经多次模二加后把最后结果送入第一级 后者每级的输出都可能与反馈信号模二和后送入下一级 因为n级码产生器是由几个相同模块构成 因而称为模块式结构 每个模块都是由包括一级触发器和一级模二加构成 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 4 移位寄存器序列的反馈多项式基本概念 1 域的定义 2 二元域GF 2 移位寄存器序列发生器中的反馈函数可表示为一个非退化的GF 2 上的n次多项式 D1 Dn D2 C1 C2 Cn 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 m序列 当n级线性移位寄存器所产生的非零序列 an 的周期为2n 1时的寄存器序列 它是n级线性移位寄存器所产生最长周期的序列 一个以f x 为反馈多项式的n级线性移位寄存器产生的序列是否为m序列与f x 密切相关 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 不可约多项式 若GF 2 上的n次多项式f x 不能被GF 2 上任意次数小于n且大于0的多项式除尽 则称f x 为GF 2 上的n次不可约多项式 本原多项式 若GF 2 上的任意n次不可约多项式f x 能除尽多项式则称f x 为本原多项式 产生m序列的多项式一定是不可约多项式中的本原多项式 2020 3 21 可编辑 3 2伪随机码分类及构造原理 5 m序列的性质 1 n级m序列的长度为 2 平衡性 在m序列中 1 的个数比 0 的个数多1 即为 0 的个数为 用宽度为n的窗口沿m序列滑动N次 每次移1位 除全 0 外 其它每种n位状态刚好出现一次 3 游程性 在m序列中定义连续相同的一组符号为一个游程 把该相同符号的个数称为游程长度 则对任一m序列有 1 的长度为n的游程只有1个 0 的长度为n的游程为0个 1 的长度为 n 1 的游程为0个 0 的长度为 n 1 的游程为1个 1 的长度为k 0 的长度为k的游程各为个其中1 k n 1 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 游程总数为 4 具有线性叠加性 5 具有平移等价性 一个m序列和它自身平移后的序列作模2和形成与原来两序列不同为位移的新序列 仍为原序列的平移等价 6 具有双值自相关特性 RAC归一化自相关 7 m序列的功率谱 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 m序列谱特点 谱是离散的 因为是周期性的 谱线间隔为 如p很大 则谱线间隔很小 近似为连续谱 第一个零点在处 主瓣宽度为 时 p很大时 2020 3 21 可编辑 自相关和互相关函数 在扩展频谱系统中 不管是通信系统还是测距系统 都非常注重研究扩频码的自相关和互相关特性 特别是在码分多址通信系统中 码序列的过大的自相关旁瓣和互相关峰值会使码捕获的虚警概率增加 对雷达系统 扩频方式 也是类似影响 2020 3 21 可编辑 3 3m序列 6 最大长度多项式的数目Zierler证明 最大长度序列的数目由下式给出 其中是欧拉数 它等于包括1在内的小于而与互质的正整数的个数 欧拉数的计算 任一大于1的正整数都可分解成质数连乘的形式 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 则 7 m序列反馈多项式的表示 1 抽头表示法 如n 7 有 7 3 2 八进制数表示法 211 八进制 若多项式f x 是产生m序列的反馈多项式则其反序列f 1 x 也是产生m序列的反馈多项式 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 1 复合码Gold码是Gold于1967年提出的 它是用一对优选的周期和速率均相同的m序列模二加后得到的 其构成原理如下图所示 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 m序列优选对定义 设A是n级本原多项式f x 所产生的m序列 B是n级本原多项式g x 所产生的m序列 若它们互相关函数的最大值满足下列条件 则f x 和g x 产生的m序列A和B构成一对优选对 两个m序列发生器的级数相同 即 如果两个m序列相对相移不同 所得到的是不同的Gold码序列 对n级m序列 共有个不同相位 所以通过模二加后可得到个Gold码序列 这些码序列的周期均为 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 2 Gold码的性质 1 个Gold码与产生该Gold码的两个m序列一起构成由个不同码序列组成的Gold码家族 周期均为 2 在一个Gold码家族中 Gold码序列的自相关旁瓣及任两个码序列之间的互相关值都不超过该家族中的两个m序列的互相关值 即 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 m序列优选对的最大互相关值 由上看出 n 7比n 6性能好 互相关同为17 n 11比n 10好 互相关同为65 3 同一码族内Gold序列具有三值互相关特性 其自相关旁瓣也同互相关一样取三值 只是出现位置不同 三值互相关特性见书表3 3不同码族Gold的互相关函数已不是三值的 而是多值的 其值也大大超过优选对的互相关值 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 3 平衡Gold码Gold码分平衡与非平衡两大类 平衡码序列中1和0之差为1 a 平衡码1比0多一位1的数目0数目相应Gold码数2n 12n 12n 1 1 约一半 n为奇数 直流分量比较大 b 非平衡码 多 2n 1 2 n 1 22n 2 2 n 3 2c 非平衡码 少 2n 1 2 n 1 22n 2 2 n 3 2 共计 2n 1例如n 9的Gold码族中 平衡码的数量为257个 非平衡码的数量为256个 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 4 平衡码的产生 1 特征相位的定义 每一个最大长度序列都具有特征相位 当序列处于特征相位时 序列每隔一位抽样与原序列一样 2 特征相位的求法 设序列 a 的特征多项式是一个n级线性移位寄存器产生m序列的本原多项式 其特征相位由之比来确定 是生成函数 它是一个次数等于或小于n的多项式 其求法如下 2020 3 21 可编辑 3 3GOLD序列族 能产生平衡码的初始条件归纳如下 1 选一参考序列A 序列 a 按上式求出生成函数 2 求出特征相位 使 a 处于特征相位上 3 置位移序列B 使序列 b 的初态第一级必须为0 以对准 a 序列的1 按此方法可产生平衡码 由于上述方法中 没有指出两个m序列哪个作基准 而另一个移位 因此产生的序列需要经计算机检查 有时按上述方法产生的并不一定是平衡码 所以此条件不是充分的 如 优选对45E 67H产生m序列 以67为基准 45移位可得到平衡序列 以45E为基准 67H移位可得到非平衡序列 2020 3 21 可编辑 3 5截短m序列 1 截短序列的定义 截短m序列的某一子段 以实现给定的任意长度的序列 2 截短序列的长度可在1 2n 1 截短序列不在是m序列 3 产生截取m序列的方法一 产生长度为P P 2n 1截短m序列的步骤 1 先求出m序列An和左移P 序列平移等价序列An p 再求它们的模2和得Bn An An p An 2 从 bn 序列中找到状态1000 0 0的个数为n 1 3 bn 序列的状态1000 0所对应的An p 的状态 即为跳跃点 此跳跃点即为检测器要检测的状态 在实现上 考虑到可靠性 可用跳跃点的前一个状态作为检测状态再经过延迟一个时钟的延迟电路 再送入模2加电路 2020 3 21 可编辑 3 5截断m序列 例 从长度为P 15的序列中截取得到P 11的截短序列原m序列的反馈多项式为f x 1 x3 x4求取m序列截短序列的方法不限于以上这种 但此方法要求跳跃点和初始状态之间的差别尽量小 对不同参考点 其跳跃点的选择是固定的 但产生的截短序列不同 方法二 n级m序列发生器 码长2n 1 共有2n 1个非零状态 若以某一状态作为参考点 截短长度为可P k 从参考点出发找出移位寄存器第k个状态 一旦m序列发生器检测到第k个状态 送出一个脉冲置位或复位相应的寄存器 使第k 1个状态回到参考点 2020 3 21 可编辑 3 6M序列 1 定义 它是由非线性移位寄存器产生码长为2n的周期序列 也称全长序列 2 M序列的产生方法之一 在m序列的基础上构造M序列 在m序列100 0状态之后插入全零状态 且使其后续的状态为000 01其反馈逻辑为 则序列从长度2n 1增长为2n 例 本原多项式f x 1 x x4产生15位的m序列 则产生M序列的反馈多项式为 2 搜索法M序列的长度为2r 它经历了r级移位寄存器所有的2r个状态 而且每个状态只能经历一次 考虑移位寄存器的移位寄存功能 可以从r级移位寄存器的某一个状态出发 进行状态的转移 转移过程中的状态没有重复 经过2r次转移后 又回到了出发的状态上 就可得到一个闭环 称为Hamiton回路 该环的状态数为2r个 由此可得一条M序列 不同的路径 可以得到不同的M序列 如r 3的情况 其状态转移过程如下图所示 3 6非线性序列 2020 3 21 南京航空航天大学信息科学与技术学院 图M序列状态转移图 2020 3 21 南京航空航天大学信息科学与技术学院 由此方法可产生出所有的r级移位寄存器产生的M序列 由图可见 只有两条通路组成一个2r 8的闭环 即 111 011 001 000 100 010 101 110 111 和 111 011 101 010 001 000 100 110 111 可得相应的M序列为11100010和11101000 3 6非线性序列 2020 3 21 南京航空航天大学信息科学与技术学院 2020 3 21 可编辑 3 6M序列 3 M序列的性质 1 一周期p 2n内 序列0 1元素各占一半 即为2n 1 2 一周期内 共有2n 1个游程 同样长度的0游程和1游程各占一半 1 k n 2时 长度为k的游程数等于2n k 1 长度为n 1的游程不存在 长度为n的游程有2个 3 M序列不具有移位相加性 4 周期p 2n的M序列的归一化自相关RM 为 2020 3 21 可编辑 3 6M序列 4 M序列的数目用n级移位寄存器构成M序列的数目为远大于M序列的数目 M序列由于序列数目多 在作跳频和加密码时具有极强的抗侦破能力 在通信中得到了广泛的应用 M序列产生的方法很多 由于其讨论涉及较多的数学内容在此不再介绍了 2020 3 21 可编辑 3 6快捕码 1 快捕码 虽然m序列具有很好的自相关特征 鉴别指数很大 为2n 但不管对于码分