Vysdzd数学竞赛题.doc

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔数学竞赛题一、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1 函数在闭区间1,2上具有二阶导数，则在开区间(1,2)内 ( B )（A） 没有零点； （B）至少有一个零点；（C） 恰有两个零点； （D）有且仅有一个零点。2 设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题， 若，则； 若，则。则（ A ）（A）两个命题均不正确； （B）两个命题均正确；（C）命题正确，命题不正确； （D）命题不正确，命题正确。3 设常数，在开区间内，恒有，记，则（ C ）(A) I 0； (D) I非零，且其符号不确定。4 ，则在x=a处（ D ）（A）导数存在，且； （B）导数不存在；（C）取得极小值； （D）取得极大值。5 累次积分可以写成（ D ）（A）； （B）；（C）； （D）。二、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1 3 。2设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为 。3设函数连续，则 。4设函数f和g都可微，则 。5 。三、求由参数方程所确定的函数的二阶导。（本题6分）解：，。四、设在上可导，其反函数为，若，求：。（本题6分）解：命，则，于是。将等式两边同时对x求导，同时注意到，于是有，当时，有。对上式两端积分，得到由在x=0处连续，可知；又，解得C=0，于是。五、计算。（本题6分）解：方法一方法二六、设闭区域D：。为D上的连续函数，且，求：。（本题7分）解：设，于是有，等式两边计算区域D上的二重积分，得，即 ，于是，所以。故。七、求函数在区域D：上的最大值与最小值。（本题7分）解：方法一先求函数在区域D内的驻点：，驻点为。由于，所以为函数的最小值。再求函数在区域D的边界上的驻点：命，则由、得x=y，代入得到或。计算，所以后者为函数在区域D的边界上的最大值，同时也是在区域D上的最大值。方法二由于区域D为，所以其边界曲线的参数方程为。故求函数在边界曲线上的驻点时，可化为求的驻点。，命，得驻点。计算，于是可知，当，即时，函数在区域D的边界上取得最大值，同时也是在区域D上的最大值。（省略处同方法一）八、设函数在点(1,1)处可微，且，求。（本题7分）解：，九、证明。（本题8分）证明：方法一（利用积分估值定理）命，对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命，由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得十、设正值函数在闭区间a,b上连续，证明：。（本题8分）证明：化为二重积分证明。记，则原式十一、设函数在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，证明：存在(a,b)，使得。（本题7分）证明：将函数在点处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到；。两式相加得到。由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得，即 。十二、设函数在闭区间-2,2上具有二阶导数，且，证明：存在一点(-2,2)，使得。（本题8分）证明：在区间-2,0和0,2上分别对函数应