理解傅里叶级数.ppt

高等数学 第十章无穷级数 10 5傅里叶级数 10 5 6小结 10 5 1三角级数与三角函数系的正交性 10 5 2以为周期的函数的傅里叶级数 10 5 3区间上函数的傅里叶级数 10 5 4正弦级数和余弦级数 10 5 5以为周期的函数的傅里叶级数 10 5 1三角级数与三角函数系的正交性 函数项级数 称为三角级数 其中 是常数 称函数族 为三角函数系 三角函数系的正交性是指 三角函数系中 任何两个不同的函数的乘积在区间 上 的积分等于零 即 10 5 2以为周期的函数的傅里叶级数 通常 由下述公式确定的 称为函数 的傅里叶系数 将傅里叶系数值代入展开式的右端 得到的三角级数 称为函数 的傅里叶级数 定理1 收敛定理 狄利克雷充分条件 设 是周期为 的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则 的傅里叶级数收敛 并且 1 当 是 的连续点时 级数收敛于 2 当 是 的间断点时 级数收敛于 例1设 是周期为 的周期函数 它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数 解所给函数 满足收敛定理的条件 函数在点 处不连续 在其它点处连续 从而由收敛定理知道 的傅里叶级数收敛 并且当 时收敛于 当 时级数收敛于 傅里叶系数计算如下 于是 的傅里叶级数展开式为 10 5 3区间上函数的傅里叶级数 例2将函数 展开成 傅里叶级数 解将函数 延拓成以 为周期的函数 易知 函数 满足收敛定理的条 件 傅里叶系数为 所以 函数 的傅里叶级数展开式为 10 5 4正弦级数和余弦级数 一 正弦级数和余弦级数 定理2对于周期为 的奇函数 其傅里叶 级数为正弦级数 即傅里叶系数为 周期为 的偶函数 其傅里叶级数为 余弦级数 即傅里叶系数为 例3将周期函数 展开成傅里叶 级数 其中 为正常数 解不妨将 看成是 为周期的函数 满足 收敛定理 先计算傅里叶系数 从而函数 的傅里叶级数是一个余弦级数 二 区间上的函数的傅里叶级数 将一个定义在上的函数 进行拓展 这样构造的函数 在 上是一个奇 函数 按这种方式拓展函数定义域的过程 称为奇延拓 同理 构造函数为 按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓 例4将函数 分别展开成 正弦级数和余弦级数 解先展开成正弦级数 对函数 作奇延拓 再作周期延拓 满足收敛定理的条件 按公式计算傅里叶系数 从而可得正弦级数 其中在端点 处 级数的和为0 再把函数展开成余弦级数 对函数 作奇 延拓 再作周期延拓 满足收敛定理的条件 按公式计算傅里叶系数 从而可得余弦级数 10 5 5以为周期的函数的傅里叶级数 定理3设周期为 的周期函数 满足收敛 定理条件 则它的傅里叶级数当 是 的连 续点时 有 其中 例5设 是周期为4的周期函数 它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数 其中 为非零 常数 解这里 于是 且在点 处 的傅里叶级数 收敛于 例6将函数 展开成 1 正弦级数 2 余弦级数 解 1 将 先作奇延拓 再作周期 延拓 计算傅里叶系数得 从而可得正弦级数 2 将 先作偶延拓 再作周期延拓 计算傅里叶系数得 从而可得余弦级数 10 5 6小结 1 三角级