第5章 弯曲变形.doc

93第五章 弯曲变形第五章 弯曲变形5.1 挠度和转角 梁变形基本方程图5.1梁发生弯曲变形时，其轴线由直线变成曲线。梁变形后的轴线，称为挠曲线。在平面弯曲中，挠曲线是一条位于载荷平面（梁的纵向对称面）内的光滑连续曲线（图5.1）。研究表明，对于细长梁，剪力对变形的影响一般可忽略不计，梁的各个横截面保持为平面。横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，称为挠度，用y或w表示；横截面在xy平面内的角位移，称为转角，用表示。在小变形的条件下，截面形心的轴向位移远小于其横向位移（挠度），可忽略不计。 挠度y随截面位置x变化的函数关系称为梁的挠曲线方程，即由于是小变形，挠曲线极为平坦，故梁任一横截面的转角很小，有因此，只要知道梁的挠曲线方程，就能确定梁的各截面处的挠度和转角。在图5.1所示的坐标系中，一般规定向上的挠度为正，反之为负；逆时针转向的转角为正，反之为负。图5.2 在推导梁的正应力公式时，已得到曲率与弯矩之间的关系，即式（4-8）对于细长梁的横力弯曲，上式仍然适用，只不过和都是x函数，即 （a）从数学分析可知，曲率 （b）上式后一步用到了小变形条件：。在图5.2所示的坐标系下，曲率与的符号一致，所以将上式右端取正号代入到式（a），得到梁变形的微分方程 （5-1）由于忽略了剪力对变形的影响，并在式（b）中略去了项，所以上式是挠曲线的近似微分方程，只适用于线弹性细长梁的小挠度分析。若将以上方程求导两次，并结合微分关系（式（4-3），得到梁微分方程的又一形式 （5-2）如果是匀质等直梁（），可将EI提到微分算符之外。为了求出挠曲线，将式（5-1）积分两次，得， （c，d）式中，和是积分常数。根据梁的约束状况，积分常数可由梁上某些截面（一般在梁的边界）的已知位移来确定。如在固支端，截面的挠度和转角都为零（）；在铰支端，截面的挠度为零（）。梁截面的已知位移条件，称为梁位移的约束条件。积分常数确定后，代回到式（c，d），就得到梁的挠度（挠曲线）方程与转角方程；当弯矩方程需要分段建立，或梁各段具有不同的弯曲刚度时，各段梁的挠度方程、转角方程也将不同，但在相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度和转角，即满足连续、光滑条件。分段处挠曲线应满足的位移条件，称为梁位移的连续条件。梁位移的约束条件和连续条件统称为梁的边界条件。实质上，都是弯曲位移中的变形相容条件。例5.1 求图示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角。解：由截面法，求得梁的弯矩方程代入式（5-1），并连续积分两次得 （a） （b） （c）利用固定端的两个边界条件：，代入式（b）、（c），可求得代入到式（b）和（c），得到梁的挠曲线方程和转角方程分别为， 以x=l代入以上方程，得到自由端的挠度和转角分别为（），（P）这种利用梁的边界条件，直接积分而求得挠曲线方程的方法，称为计算梁位移的积分法。例题5.1图例题5.2图例5.2 图示简支梁受横力F作用，试求梁的挠度方程和转角方程，并求最大转角、最大挠度和跨中点的挠度。设。解：（1）求挠度方程和转角方程。梁的支反力为，梁的弯矩方程需要分段建立，积分也要分段进行。AC段： （a） （b）CB段（） （c） （d）由梁的约束条件：，和连续条件：，可以确定4个积分常数。经运算后得到 将以上结果代入式（ad），得到两段梁的挠度方程和转角方程 （e） （f）（2）求、和梁的挠曲线是一条光滑连续的曲线。当时，有极值。梁两端截面的弯矩等于零，所以在A、B两端取极值。（P）， （Q）当a b时，最大转角为令，解得 （i） 可见，挠度的极值出现在AC段内，其值为 （j）跨中点的挠度 （k）若，即F作用在跨中，跨中的挠度为 （l）若考虑极端情况，让F的作用点无限靠近梁的右端，即在式（j）和（k）中让，有两者相差不到3%。故只要简支梁的挠曲线无拐点，可以用跨中挠度代替最大挠度。也可以采用奇异函数（见下面的注释*）。将弯矩方程统一写为 （a）运用奇异函数的微积分（见下面的注释*），得 （b） （c）由梁的边界条件：，直接由式（c）确定常数C和D。 最后得到以奇异函数表示的挠曲线方程： （d）显然，上式包含了式（e）和（f）给出的结果，而且解题的方法简单了许多。*注：奇异函数（singular function）: .奇异函数的微积分:5.2 叠加法求梁的变形材料力学一般研究小变形情况下的线性弹性构件，因此可应用叠加原理求梁的挠度。例如对图5.3所示的梁，若载荷、和单独作用时截面A的挠度分别为、和，则它们同时作用引起的A端的挠度为。图5.3几种基本情况下的变形列于附录C中，以便运用叠加法时查用。例5.3 求图示外伸梁截面C的挠度。解截面C的挠度可以看成是B截面的转角对C端产生的牵连位移（这时把BC段当作刚杆）与C截面的弹性位移（这时把BC段当作悬臂梁）之和。在横力F的作用下，悬臂梁（图b）BC自由端的挠度为例5.3图求，将力F平移到B处，有一附加力偶Fa（图b），查附录C得 （顺时） 截面C的牵连挠度为 将两者叠加得截面C的总挠度5.3 梁的刚度条件 合理刚度设计在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要求梁的变形不能超过允许的限度，即梁的刚度条件 （5-3） （5-4）式中、分别为构件的许可挠度和许可转角，它们的取值与梁的工作要求有关，可以查相关的设计手册，例如， 对跨度为的起重机梁， 对于一般用途的轴， 在安装齿轮或滑动轴承处的轴， =（0.0010.002）rad（弧度）。梁的弯曲变形与梁的受力、支持条件及截面弯曲刚度有关。所以，前述提高弯曲强度的某些措施，例如合理安排梁的约束、改善梁的受力情况等，对于提高梁的刚度仍然是非常有效的。但是，提高梁的刚度与提高梁的强度，毕竟属于两种不同性质的问题，因此，解决的方法不尽相同。在实际中，常有以下几种做法来合理设计梁的刚度：（1） 合理选择截面形状影响梁强度的截面几何性质是抗弯截面系数，而影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩。所以，从梁的刚度方面考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大惯性矩的截面。（2） 合理选择材料影响梁强度的材料性能是极限应力，而影响梁刚度的材料性能则是弹性模量。所以，从提高梁的刚度方面考虑，应以弹性模量的高低来确定材料的选择。要注意的是，各种钢材（或各种铝合金）的极限应力虽然差别很大，但它们的弹性模量却十分接近。例如，低碳钢Q235与合金钢30铬锰硅的强度极限分别为与，而它们的弹性模量则分别为与。因此，在设计中，若选择普通钢材已经满足强度要求，这时，如果只是为了进一步提高梁的刚度而改选优质钢材，显然是不明智的。（3） 梁的合理加强梁的最大弯曲正应力取决于危险截面的弯矩与抗弯截面系数；而梁的位移，则与梁内所有微段的弯曲变形均有关。因此，对于梁的危险区采用局部加强的措施，即可提高梁的强度，但是，为了提高梁的刚度，则必须在更大范围内增加梁的弯曲刚度。（4） 梁跨度的选取为了提高梁的刚度，一个值得特别注意的问题是关于梁跨度的选取。由例5.2可以看出，在集中力作用下，简支梁的最大挠度与其跨度的三次方成正比。这表明，梁跨度的微小改变，将引起弯曲变形的显著改变。例如，将跨度缩短20%，最大挠度将相应减少48.8%。所以，如果条件允许，尽量减小梁的跨度将能显著提高其刚度。（5） 合理安排梁的约束与加载方式提高刚度的另一重要措施是合理安排梁的约束与加载方式。例如，图5.4a所示跨度为的简支梁，承受横力F作用，如果将梁的中央增加一个辅助梁，或者分为两个载荷F/2作用，如图5.4b所示，则最大挠度将仅为前者的一半.又如，对于在跨度中点承受横力的简支梁，如果将该载荷改为均布载荷在同一梁上，则梁的最大挠度将仅为前者的62.5%。图5.4 这些实例说明，合理安排约束与加载方式，将显著减少梁的弯曲变形。例5.5 一工字钢简支梁，跨中承受横力。已知，跨度，许用应力，许用挠度，弹性模量，试选择工字钢型号。解：梁的最大弯矩为根据弯曲正应力强度条件要求由例5.2与式（5-3）可知，梁的刚度条件为由此得由型钢表中查得，22a工字钢的抗弯截面系数，惯性矩，可见，选择22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。5.4 简单超静定梁前面所研究的梁均为静定梁。在工程实际中，为了提高梁的强度与刚度，或由于构造上的需要，往往给静定梁再增加约束，于是，梁的反力（含反力偶）的数目，将超过有效平衡方程的数目，即成为超静定梁。图5.5在超静定结构中，凡是多于维持平衡所必须的约束称为多余约束，与其相应的约束反力或反力偶统称为多余反力。例如，图5.5a和b所示的分别为一次和两次超静定梁。分析超静定梁，仅依靠平衡方程显然不行，还必须利用梁的变形协调条件以及物理关系，建立足够数量的补充方程与平衡方程联立求解。下面以例题讨论简单超静定梁的求解方法。例5.6 试求图示梁的约束反力。解：显然这是一次（约束）超静定梁。为了求解，设将支座B的约束解除，以反力代替其作用，于是得一承受横力F与未知反力的悬臂梁（图b），多余约束解除后，所得受力与原超静定梁相同的静定梁，称为原超静定梁的静定基（或基本结构）。静定基在载荷F与多余反力作用下发生变形，为了使其变形与原超静定梁相同，多余约束处的位移，必须符合原结构在该处的约束条件，即应满足变形协调条件，即 （a）例5.6图利用叠加法或奇异函数法，得截面B的挠度为将上代入到式（a），得变形补充方程为由此得所得结果为正，说明所设反力的方向正确。多余反力确定后，由平衡方程与，得固定端处的反力和反力偶，（Q）应该指出，只要不是限制梁刚体位移所必需的约束，均可作为多余约束。因此，对于图a所示超静定梁，也可将固定端处限制截面A转动的约束当作多于约束。于是，如果将该约束解除，并以支反力偶代替其作用，则原超静定梁的静定基如图c所示，而相应的变形协调条件为由此求得的约束反力与反力偶与上述解答完全相同。以上分析表明，求解约束超静定梁的关键一般是确定多余反力。其分析要点和步骤如下：（1）根据待求反力与有效平衡方程的数目，判断梁的超静定次数；（2）解除多余约束，并以相应地反力代替其作用，得静定基；（3）计算静定基在解除约束处的位移，并根据原结构相应的变形协调条件和物理关系建立补充方程，由此即可求出多余反力。多余反力求出后，作用在静定基上所有的外力均为已知，由此即可通过静定基计算原超静定梁的内力、应力与位移等。例5.7图a所示两端固定梁，承受均布载荷q作用。试画梁的弯矩图及求出梁的最大挠度值。设弯曲刚度EI为常数。解：对于小挠度问题，本题为二次超静定。当然可以用上题的方法求解。考虑到本题的特殊性，可以直接求解梁的微分方程。由式（5-2），注意到本题的q0（向下），有对上式积分四次，有 （a）例5.7图 （b） （c） （d）由梁的边界条件（约束条件）：，可确定四个积分常数的值代入到式（a）、（b）、（c）和（d），分别得到剪力方程、弯矩方程、转角方程和挠度方程 （e） （f） （g） （h）由式（f），画出梁的弯矩图（图b）；由式（g）和（h），求得梁的最大挠度值例5.8 已知长度为l的等直单跨梁的挠度方程为 （1）试求梁内绝对值最大的弯矩和剪力值；（2）分析在端点x = 0和x = l处的支承状况。解：（1） 根据梁的近似挠曲线微分方程及梁的微分关系，有 （a） （b）令 得，代入式（a），经比较得而由式（b），可得（2） 确定支承状况。由于是单跨梁，故梁的两端必有约束，但支承形式并不唯一。由，可知，左端（x=0）可能是铰支或固定。由，可知， 右端（x=l）可能是固定或铰支。例5.8图如果梁仅受均布载荷作用（不含反力），则梁的支承形式如下图所示。思 考 题5-1 同一根悬臂梁，若分别采用两种不同的坐标系，一个y坐标的正向朝上，而另外一个y坐标的正向朝下，由直接积分求得的挠度和转角的正负号都相同吗？5-2 为什么说梁挠曲线微分方程是近似的？5-3对于受均布载荷作用的简支梁、外伸梁和悬臂梁，若用积分求其挠曲线方程时，分别需要用几个边界条件确定积分常数？写出这些边界条件。5-4 当圆截面梁的直径增加一倍时，梁的强度增加了几倍?梁的刚度又增加了几倍？5-5 什么条件下可以用叠加法求梁的变形?在线弹性和小变形条件下，叠加法是否适合求梁的内力和应力？5-6 推导梁的近似挠曲线微分方程时，忽略了剪力产生的剪切变形作用。通过一个矩形悬臂梁的简单的例子，比较一下剪力产生的变形和弯矩产生的变形的绝对大小。5-7 分别讨论提高粱的强度和刚度的措施。若采用弹性模量E大一倍的材料，对静定梁的强度和刚度分别有什么影响？习 题5-1 画出图示各梁挠度曲线的大致形状（提示：根据式（5-1）确定挠曲线的凹凸性、拐点位置，或是直线）。5-2 试用积分求图示各梁的挠度和转角方程，并计算各梁截面A的挠度与转角。已知各梁的EI为常量。5-4 滚轮在图示两种梁上滚动。若要求滚轮在梁上恰好走一条水平路径，试问梁的轴线预先应弯成怎样的曲线？已知梁的EI为常数。5-5 一简支圆木梁，跨长为l = 4m，受均布载荷q =1.82kN/m的作用。已知松木的许用应力为，弹性模量E=1GPa，许可挠度，试确定梁截面的最小直径。习题5-1图5-6 图示由两根横截面均为的正方形的所组成的简单结构。已知a = 51mm，F = 2.20kN，E = 200GPa。试用叠加法求截面E的挠度。5-7 图示两端分别作用有力偶矩、的简支梁。若欲使挠曲线的拐点位于距A端的l/3处，则和有何种关系