第3讲概率的加法公式与乘法公式(1).ppt

概率论与数理统计 第三讲概率的运算法则 经济数学基础 第三节概率的运算法则 一 概率的加法公式二 条件概率三 概率的乘法公式 设E是随机试验 W是它的样本空间 对E的每一个事件A 将其对应于唯一实数 记为P A 称为事件A的概率 如果集合函数P 满足下列条件 一 概率的公理化定义 1非负性 2规范性 3可列可加性 二 概率的加法法则 性质1 性质2 有限可加性 性质3 性质4 性质3 证明 证明性质3 证明 证明性质4 例1设有一批产品共100件 其中5件是次品 任取3件 求 至少有一件是次品的概率 解法一 设A为 任取三件至少有一件次品 Bi表示 任取 三件恰好有i件次品 则 法二 表示 任取三件全是正品 而 例2袋中有红 黄 白色球各一个 每次任取一只 有放回地抽三次 求三次抽取 颜色全同 至少一只红球 的概率 解 定理1 加法公式 证明 因为 且 故 若A B互不相容 有 一般地 定理1可以推广到多个事件的情形 推论1 若A1 A2 A3为任意三个事件 则 例3在例2中 求 取到的三个球里没有红球或没有黄球 的概率 解 例4设 为两事件 且设 求 解 而 所以 于是 解 因为A B C都不出现的概率为 1 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC 1 1 4 1 4 1 4 0 1 6 1 6 0 1 5 12 7 12 例5P A P B P C 1 4 P AB 0 P AC P BC 1 6 求A B C都不出现的概率 前面讲的概率问题没有什么附加条件 但实际中可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如 1 已知某人艾兹检查为阳性 求他患艾兹的概率 2 在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖 求第二人摸到一等奖的概率 3 人寿保险中常常会考虑 已知某人已经活了x岁 求他能再活y岁的概率 二 条件概率 例6 E 将一枚硬币抛二次 观察正反面出现的情况 HH HT TH TT A 至少有一次为H HH HTTH B 两次为同一面 HH TT 已知事件A发生的条件下 求事件B发生的概率 解 1 事件A发生这个条件告诉我们 试验的结果 TT 不能出现 而只出现 HH HT TH 这时B要发生只能出现结果 HH 从而 P 事件A发生的条件下事件B发生 1 3 P 事件A发生的条件下事件B不发生 2 3 2 如果没有事件A发生这个条件则事件B发生的概率为 3 事件A与事件B同时发生的概率为 从而有公式 3 可以验证 条件概率P A 满足概率公理化定义中的三条公理 定义1 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 1非负性 2规范性 3可列可加性 由此可知 前面推出的概率的性质对条件概率同样适用 例如 概率P B A 与P AB 的区别与联系 联系 事件A B都发生了 区别 1 在P B A 中 事件A B发生有时间上的差异 A先B后 在P AB 中 事件A B同时发生 2 样本空间不同 在P B A 中 事件A成为样本空间 在P AB 中 样本空间仍为 因而有 例7一袋中有10个球 其中3个黑球 7个白球 依次从袋中不放回取两球 试求 已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 解 记 因为 所以 例8考虑恰有两个小孩的家庭 若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率 若已知某家第一个是男孩 求这家有两个男孩 相当于第二个也是男孩 的概率 假定生男生女为等可能 于是得 所求的两个条件概率为 三 概率的乘法公式 定理1 乘法公式 则由归纳法可得 则由 可得 例8关于某产品的检验方案为从100件中任取一件 无放回 如为次品 认为不合格 如为正品 再抽一件 如此连续至多4次 如连续抽取4件正品 则认为这批产品合格 现假定这批产品中5 是次品 问产品被拒收的概率 解 设 则 因此 解 例9 据以往资料 某一3口之家 患某种传染病的概率有以下特点 设A 孩子得病 B