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基于课程目标的命题 初中毕业生学业考试评价课题组数学学科组章飞 0框架 知识技能数学思考解决问题数学活动过程 1知识技能 1 1 基础知识考什么 关注核心数学知识的掌握情况如何考 分析其起源与教育价值 从而确定该知识的考查方式 函数等 例1下列各表达式表示函数关系的有 x2 5x 6 x2 y2 1 y 2x 1 例2 观察下列方程 2x2 1 0 2x2 5xy 6y2 0 7x2 6x 0 x 1 2 x2 4 其中是一元二次方程的共有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 例3为了考察学校八年级学生的视力状况 小明拟对八年级所有学号是5的倍数的同学进行调查 在这个调查过程中 样本是 例4某次歌唱比赛中 六位评委对某选手的打分如下 单位 分 9 6 9 4 9 2 9 6 9 5 9 4 1 求这六个分数的平均分 2 如果规则规定 去掉一个最高分和一个最低分 余下的分数的平均值为选手的最后得分 求这位选手的最后得分 具体考查的一些方式 1 在现实问题的数学表示中考查学生对数学知识的理解水平例5在一条东西走向的马路上 有青少年宫 学校 商场 医院四家公共场所 已知青少年宫在学校东300米 商场在学校西200米 医院在学校东500米 若将马路近似的看成一条直线 以学校为原点 向东方向为正方向 用1个单位长度表示100米 1 在数轴上表示出四家公共场所的位置 2 列式计算青少年宫与商场之间的距离 2 在知识意义的自我建构中考查学生对知识的理解水平例6如图 最小正方形的边长是1 试在图中标注出3条长度为有理数的线段和三条长度是无理数的线段 3 在迁移运用中考查学生对知识的理解水平例7 04海口卷第2题 如图 如果士所在位置的坐标为 1 2 相所在位置的坐标为 2 2 那么 炮所在位置的坐标为 1 2基本技能 以课程标准为依据 关注核心技能的考查例8解一元二次方程3x2 14x 8 0 1 2 1运算技能内容包括 数与式的运算 解方程 不等式 求函数值等 精确计算 估算和利用计算器计算等技能 1 以选择 填空 计算 化简求值等方式直接命制有关问题考查学生运算技能 2 在具体背景中考查学生运算技能的运用情况例9在NBA常规赛中 我国著名篮球运动员姚明在一次比赛中22投14中得22分 若他投中了2个三分球 则他还投中了几个两分球和几个罚球 罚球投中一次记1分 3 将运算技能的考查蕴含于辨析 说理等类型的解答题中 4 针对当地实际 精心设计问题进行估算以及利用计算器运算等技能的考查计算器 例10如图 某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形 D是AB的中点 中柱CD 1米 A 27 求跨度AB的长 精确到0 01米 估算 对于没有条件在学业考试中统一使用计算器的地区 可以命制一些无法获得精确结果 如结果为无理数 或者无需进行精确计算的试题 考查学生的估算能力 例11下列各数最接近 13 95的是 A3 5 B3 6 C3 7D3 8例12一个长为10米的梯子斜靠在墙上 梯子的顶端距地面的垂直距离为8米 如果梯子的顶端下滑1米 那么梯子的底端滑动多少米 误差小于0 1米 对于允许带计算器进入考场的地区 例13已知方程x3 2x 15 0恰有一个正根 请利用计算器估计该根的大小 要求误差小于0 05 并写出你的估算过程 例14按照图中方式 将边长为20cm的正方形纸片剪去四个角可以折成一个无盖长方体形的盒子 如果设所剪去正方形的边长为x 则盒子的容积为x 20 2x 2 已知x在3 4之间某个值时 盒子的容积最大 试借助计算器估算x的值 要求误差小于0 005cm 1 2 2 数学表示的技能科学计数法的考查 可以联系学生的生活实际 编制有关实际问题情境 要求学生阅读有关材料并根据材料解题 如 例15粤海铁路是我国第一条横跨海峡的铁路通道 设计年输送货物能力为11000000吨 用科学记数法表示应记为 A 11 106吨B 1 1 107吨C 11 107吨D 1 1 108吨 1 2 3 统计相关技能数据表示 可以呈现一些杂乱无章的数据 要求学生通过适当的方法进行整理例16在一次人口抽样统计中 从某小区随机抽取的100个人的年龄如下 1 3 7 5 3 4 7 9 6 10 13 15 16 12 13 14 16 18 19 14 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 23 25 26 28 29 21 24 28 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 34 36 38 32 32 35 36 30 40 42 41 43 44 45 46 47 48 49 42 43 46 47 44 42 45 50 51 52 53 54 55 56 58 59 55 53 52 69 60 67 62 66 65 63 63 72 74 76 78 78 70 80 85 已知该小区有2000人 为关注人口老龄化问题 请估算该地区60岁以上 含60岁 的人口数 呈现初步整理的结果或比较规范的图表 要求学生阅读图表提取信息 例17 04南宁22 以下资料来源于2003年 南宁统计年鉴 1 分别指出南宁市农民人均纯收入和城市居民人均可支配收入 相对于上一年哪年增长最快 2 据统计 2000 2002年南宁市农民人均纯收入的平均增长率为7 5 城市居民人均可支配收入的平均增长率为8 7 假设年平均增长率不变 请你分别预计2004年南宁市农民人均纯收入和城市居民人均可支配收入各是多少 精确到1元 3 从城乡年人均收入增长率看 你有哪些积极的建议 写出一条建议 表示南宁市农民人均纯收入 元 表示南宁市城市居民人均可支配收入 元 呈现不完整地图表 要求学生根据题干中其他信息补全相应的图表 例18 04青岛14 在青岛市政府举办的 迎奥运登山活动 中 参加崂山景区登山活动的市民约有12000人 为统计参加活动人员的年龄情况 我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本 进行数据处理 制成扇形统计图和条形统计图 部分 如下 1 根据图 提供的信息补全图 2 参加崂山景区登山活动的12000余名市民中 哪个年龄段的人数最多 3 根据统计图提供的信息 谈谈自己的感想 不超过30字 可以呈现多个图表 要求学生从不同的图表中提取不同的信息解决问题 关注对统计图表特点以及选择使用技能的考查 例19 04贵阳18 下面两幅统计图 如图8 图9 反映了某市甲 乙两所中学学生参加课外活动的情况 请你通过图中信息回答下面的问题 1 通过对图8的分析 写出一条你认为正确的结论 2 通过对图9的分析 写出一条你认为正确的结论 3 2003年甲 乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少 统计数据的分析 例20 04鹿泉20 在某旅游景区上山的一条小路上 有一些断断续续的台阶 图11是其中的甲 乙段台阶路的示意图 请你用所学过的有关统计知识 平均数 中位数 方差和极差 回答下列问题 1 两段台阶路有哪些相同点和不同点 2 哪段台阶路走起来更舒服 为什么 3 为方便游客行走 需要重新整修上山的小路 对于这两段台阶路 在台阶数不变的情况下 请你提出合理的整修建议 参考答案的开放性 例21 04湟中24 为了从甲 乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛 每个月对他们的学习水平进行一次测验 图 4 是两人赛前5次测验成绩的折线统计图 1 分别求出甲 乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差 2 如果你是他们的辅导教师 应选派哪一名学生参加这次数学竞赛 请结合所学统计知识说明理由 2数学思考 2 1推理能力推理能力包括 演绎推理能力 逻辑推理 和合情推理能力 如归纳 类比 统计推断等 具体的 其内容包括 能通过观察 实验 归纳 类比等活动获得数学猜想 能对所做出的猜想进行适当的佐证 能进行一些简单的严密的逻辑论证 并有条理地表达自己的证明 与他人交流 能对他人结论进行合理的质疑等 1 在归纳 类比等活动过程中考察学生的合情推理能力 背景 呈现 例22如图 四边形ABCD中 AC 6 BD 8且AC BD顺次连接四边形ABCD各边中点 得到四边形A1B1C1D1 再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点 得到四边形A2B2C2D2 如此进行下去得到四边形AnBnCnDn 1 证明 四边形A1B1C1D1是矩形 2 写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积 3 写出四边形AnBnCnDn的面积 4 求四边形A5B5C5D5的周长 影响难度的因素 归纳过程的明晰程度 所归纳结论的外在特征 学生对归纳背景的熟悉程度 2 使用多种形式多角度考查逻辑推理能力 形式 例23同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗 如果是 请给出证明 要求画出图形 写出已知 求证 证明 如果不是 请给出反例 只需画图说明 例8若梯形ABCD为等腰梯形 面积不变 请设计一种花坛图案 即在梯形内找到一点P 使得 APB DPC且S APD S BPC 并说出你的理由 背景 呈现 完整的 寻求结论 构造命题等例24如图 AB AC D E分别是线段AC AB上的点 且AD AE BD交CE于F 试在图中找出3对全等三角形和3个等腰三角形 并对其中一个结论给出证明 例25 04南宁21 如图 下面四个条件中 请你以其中两个为已知条件 第三个为结论 推出一个正确的命题 只需写出一种情况 AE AD AB AC OB OC B C已知 求证 证明 呈现一定的活动过程 要求对活动过程中的现象进行解释 或者对所得到的结论进行证明 例26如图 D E F分别是 ABC三边的中点 线段DE EF FD将 ABC分成4个小三角形 小明说利用这个图形可以证明三角形的内角和定理 你估计他是怎么想的 试写出相应的证明过程 例27借助没有刻度的直尺 小明按照下图的顺序作出了角A的平分线AB 请写出其作图顺序 并说明他这样做的道理 3 借助对已有现象或推理过程的质疑 考查学生的推理意识和评判质疑能力例28有人这样证明三角形的内角和是180 如图 D是三角形ABC内一点 连接AD BD CD 它们将三角形ABC分成了3个小的三角形 因此有 三个小三角形内角和的和比 ABC的内角和多360 如果设三角形的内角和是x 则有 x x x x 360 易解得x 180 你认为这个证法正确吗 说说你的理由 2 2 空间观念 能够由实物的形状想象出几何图形 由几何图形想象出实物的形状 进行几何体与其三视图 展开图之间的转化 能根据条件做出立体模型或画出图形 能从较复杂的图形中分解出基本的图形 能描述实物或几何图形的运动 变化 能采用适当的方式描述物体间的相互关系 如向其他人描述你所见到的几何形体等 能运用图形形象地描述问题 利用直观进行思考 如能根据照片判断拍摄照片的大致时间以解决实际问题等 侧重于三维实物与平面图形的转化 强调的是一种基于观察 实验操作基础上的实践能力 考查这些课程目标时 建议多从学生的生活实际出发 一方面让学生感受到数学来自现实生活 同时也易于体现对不同学生的公平性 以视图为例 物 图之间的匹配 想象 想象基础上的思考 则属于 空间观念 在分析 抽象层面上的表现 对于这个课程目标的考查 建议将其放置到一定的情景中 在具体情景中进行 让学生感受到图形分解与组合 描述位置或者相对运动的必要性 例29等腰梯形与等腰三角形有着密切的联系 1 试从下图的等腰三角形ABC中切割出一个等腰梯形 从等腰梯形DEFG中切割出一个等腰三角形 2 请利用等腰三角形的有关定理证明 等腰梯形DEFG同一个底上的两个底角相等 例30请画出一个只有两条对称轴的六边形 对称在对称图形的识别 构造等活动中考查学生对概念的理解 例31 04南山4 下列轴对称图形中 只有两条对称轴的图形是 在对称图形的操作 思考等活动中考查学生对对称本质的理解 例32 1 用一条直线可以将一个正方形分成两个全等的部分 如下图 将正方形分成两个全等的图形的直线还有很多 试在图上另作出两条以上这样的直线 2 将圆分成两个全等的图形的直线有多少条 试在图上作出几条这样的直线 3 将长方形分成两个全等图形的直线又有多少条呢 在这些直线有什么共同的特征呢 对于平行四边形是否有类似的特征呢 对于等腰三角形 等腰梯形呢 拓广 4 在上面的图形中 有一些图形具有无数条直线可以将其分成两个全等的部分 请在下面的方格纸上再设计出一个具有这样性质的图形 例33你能设计出一个中心对称的七边形吗 如果能 请在下面的方格纸 图略 上作出这个七边形 如果不能 请说明理由 例34取两块完全重合的正方形纸片 将上面的一块绕正方形的中心O旋转 那么旋转时两个正方形的公共部分构成一个多边形 如图的公共部分是一个八边形 那么在旋转过程中公共部分可能是七边形吗 说说你的理由 在具体问题的解决活动中考查学生对称观念的运用能力 2 3统计观念 包括 能意识到做一个合理的决策需要借助统计活动去收集信息 面对数据时能对它的来源 处理方法和由此而得到的推测性结论做合理的质疑等 对于统计意识的考查 一般可以设计一个任务 要求学生自主解决 从学生的解答中观察学生是否能主动地从统计的角度思考问题 例35国庆期间 某商场采取 买50送10 的抽奖活动进行促销 具体办法是 每购买50元商品 就可以从一个装了若干红球和黑球的盒子中摸一个球 如果摸到红球就可以得到一张50元的购物券 商场称有20 的机会摸到红球 假设你是一个购物者 请提出一个方案 判断商场的宣传是否真实 例36据国家统计局数据分析表明 2004年底我国大陆人口达到129988万 平均每天净增人口约2 08万 1 你能据此预测我国大陆哪一天达到13亿人口吗 说说你是如何估计的 2 据报道 1月6日0时02分 北京妇产医院出生了一名男婴 有关部门向其颁发我国大陆第13亿个公民证书 你如何看待这件事情 你能从统计的角度提出几个问题吗 例37通过学习 小明知道随机地抛掷一枚均匀的硬币 落地后国徽朝上和朝下的概率相等 可是小明做了100次实验 发现其中52次国徽朝上 48次国徽朝下 因此 他认为这枚国徽不均匀 你的观点如何 说说你的理由 例38某公司2001年的利润是2100万元 2002年的利润是2400万元 在2002年底召开的股东大会上 该公司提供给广大股民的财务报表中选用了1 1的一幅条形图来说明盈利情况 1 公司绘制的条形图希望说明什么 它的画法是否合理 为什么 2 画一幅你认为合理的条形图 3 比较两幅不同的条形图产生的视觉效果 如果你是股民更希望看到哪一幅条形图 为什么 3解决问题能力 1 呈现一定的问题情境 考查学生发现问题 提出问题的能力例39如图 两张全等的正方形纸片完全重合地叠放在一起 中心是点O 按住下面的纸片不动 将上面的纸片绕O点顺时针旋转 请针对这个旋转过程提出3个问题 并选择其中一个进行解答 例40如图 已知 ABC DCE FEG是三个全等的等腰三角形 底边BC CE EG在同一直线上 且AB 3 BC 1 连结B 分别交AC DC DE于点P Q R 1 求证 BFG FEG 并求出BF的长 2 观察图形 请你提出一个与点P相关的问题 并进行解答 根据提出问题的不同层次和解答水平评分 例41 如图是两张全等的正方形纸片完全重合地叠放在一起 中心是点O 按住下面的纸片不动 将上面的纸片绕O点顺时针旋转0 90 1 旋转时露出的 ABC的面积 S 随着旋转角度 n 的变化而变化 下面表示S与n关系的图象大致是 2 当旋转90度或者旋转45度时 图形都既是轴对称图形也是中心对称图形 那么旋转后所得的新图形一定既是轴对称图形又是中心对称图形吗 如果是 请说明其对称中心 并在一个草图上画出它们的对称轴 如果不是 请说明理由 3 请针对旋转过程提出两个以上的问题 2在具体问题的解决过程中考查学生知识运用的能力例42如图 A1B1C1与 A2B2C2关于某条直线对称 你能确定其对称轴吗 请写出两种方法 只要画出草图 并写明作法即可 3 在问题解决方案的自主设计中考查学生解决问题的能力例43 1 给你一个带有刻度的直尺 你能作出下图中角A的角平分线吗 请写出三种方法 只要写出作法或者画出草图即可 并以其中一种作法为例 说说道理 2 如果只有一个没有刻度的直尺 你又如何作角平分线呢 4 在问题的反思与迁移运用中进行学生解决问题策略与反思能力的考查例44 1 请画出一个只有两条对称轴的六边形 并写出你是怎样逐步得到这个图形的过程 根据你所得到图形的正确情况和你的思维过程的清晰程度给分 2 根据你的思维过程 编制一个类似的问题 并说明这个问题的解决与上面问题解决过程之间有什么联系 例45在测量旗杆的高度活动中 小明是这样测量的 小明手持测角器 测出旗杆顶端的仰角为350 同时用皮尺测得站立地点与旗杆底段的直线距离为15米 从而算出旗杆的高度是21 4米 可实际上旗杆的高度是23米 小明的结果与实际情况存在一定的偏差 请找出其中的原因 例46在测量底面为圆形的古塔 图略 时 小明手持测角器 测出古塔顶端的仰角为350 同时用皮尺测得站立地点与古塔边沿的最短距离为15米 测角器距离地面的高度是1 6米 从而算出古塔的高度是23米 可实际上古塔的高度是28 8米 小明的结果与实际情况存在一定的偏差 请找出其中的原因 例47 1 在测量旗杆的高度活动中 小明是这样测量的 小明手持测角器 测出旗杆顶端的仰角 同时测得站立地点与旗杆底段的直线距离l和测角器的距离地面的高度h 请写出计算旗杆高度的计算方法 2 用同样的方法测量一个底面为圆形的古塔 图略 高度时 可能遇到什么困难 你认为可以怎样解决 如果测量一个底面是正六边形的古塔 图略 呢 例48在测量旗杆或某个建筑物高度的活动中 你的测量结果可能与实际情况有一些误差 你是如何测量的 你认为在你的测量方案中可能引起误差的原因有哪些 你认为可以怎样减少这些误差 例49你测量过某些建筑物的高度吗 你是如何测量的 请写出你的测量方案 在你的方案中存在哪些困难 你是如何克服的 4数学活动过程 1 设置多层次的问题 暴露 数学活动过程例50为了了解高度与温度之间的关系 某班同学在同一时刻测量了某地不同高度处的温度 数据如下表 1 建立适当的坐标系 并在坐标系中描出表格