N-P准则课件

第八讲假设检验 一 基本概念 二 Neyman Pearson引理 三 一致最优势检验 一 基本概念 在自然科学和社会科学等中 常常要对某 些重要问题做出回答 是或否 如月球比地球 早形成吗 一种新药对某种病有效吗 某种 股票会张吗 新推出的电视节目收视率高吗 等等 为了回答这些问题 我们需要对感兴趣 的问题进行试验或观察获得相关数据 根据这 在这节 给出一般的Neyman Pearson假设 检验构架 原假设和备择假设 布或关于参数的推测 称为 假设 其中是的非空真子集 在一个假设检验中 常涉及两个假设 所 要检验的假设称为原假设或零假设 记为 而与不相容的假设 称为备择假设或对立 假设 记为 对参数统计模型而 言 原假设和备择假设这对矛盾的统一体 称为假设检验问题 在假设检验问题中 不相交的非空子集 一定成立 保留这个的灵活性 不仅是理论的 需要 也有其实际意义 则称 为简单假设 SimpleHypothesis 否则称为复 合假设 CompositeHypothesis 对备择假设也有 简单假设和复合假设 拒绝域 接受域 检验统计量和检验函数 检验一个假设 就是根据某一法则在原 假设和备择假设之间做出选择 而基于样本 做出拒绝或接受所依赖的法则称为检验 这样一个检验就等同于将样本空间分成 两个互不相交的子集和 绝 称 为接受域 AcceptanceRegion 这样检验和拒绝 域就建立起一一对应关系 为了确定拒绝域 往往根据问题的直观背 景 寻找合适的统计量 要 能由统计量确定出拒绝域 这样的统 计量称为检验统计量 TestStatistic 为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要 有必要引入函数 它是拒绝于上的示性函数 称其为检验函数 种检验函数也称为非随机化的 而随机化的检 验函数的定义是 这 在随机化检验时 有了样本后 计算 若 两类错误 功效和功效函数 由于样本时随机的 进行检验时可能犯 两类错误 其一是当为真时 却拒绝 称为第一类错误 其概率为 其二是当为假时 却接受 称为第二类 错误 其概率为 定义8 1 一个检验的功效 Power 定义为当假 时拒绝的概率 即 而第一类错误和功效可以看成函数 的不同取值 检验的水平 当样本容量固定时 要减少犯第一类错 误的概率 就会增大犯第二类错误的概率 反 之 若要减少犯第二类错误的概率 就会增大 犯第一类错误的概率 即就是说当样本容量固 定时 不可能同时减少犯两类错误的概率 这 是一对不可调和的矛盾 Neyman Pearson检验原理就是控制犯第一 类错误的概率在给定的范围内 寻找检验使得 犯第二类错误的概率尽可能的小 即就是使检 验的功效尽可能的大 这样就是在给定一个较 小的数 一般取为0 01 0 05 0 1等 在满足 的检验函数类中 寻找使得功效 尽可能大的检验函数 则称是一个水 平 Level 为的检验 根据这个定义 水平不唯一 若是水平 为的检验 则对任何满足的 也是水平为的检验 称 为检验的大小 Size 或真实水平 实用上当提到一个检验的水平时 一般是 指它的真实水平 二 Neyman Pearson引理 设统计模型为 考虑检验问题 比检验 LikelihoodRatioTest 对较大拒绝原假设的检验称为似然 定义似然比 LikelihoodRatio 为 是统计 量 在这节 我们先讨论简单原假设对简单备择 假设的检验问题 设统计模型为 下节讨论较复杂的检验问题 即参数空间仅包含两个参数 所考虑的检验问 题为 比较两个检验的优劣的一个自然 1 的准则就是比较它们功效的大小 若 根据这点我们有所谓最优的 检验定义如下 定义8 2 在检验问题 1 中 的检验 有 成立 简记为MPT 对于检验问题 1 下面的N P引理不但彻底解决了检验问题 1 的 而且还给出了构造MPT检 验的方法 虽然这个引理仅针对检验问题 1 但它对解决复合假设检验问题最优检验的存在 起到非常重要的作用 似然比为 MPT的存在问题 规定 就检验问题 1 1 满足 2 3 2 注 1 MPT的 检验统计量可取为非随机化的形式 这说明此种情形下 引理的证明可参看 高等统计学 郑忠国 2 MPT的 检验统计量具有形式 由于没有给出N P引理的证明 关于 具有这种形式的原因解释如下 5 MPT的检验 统计量未必具有形式 如果对给定的 存在k恰有 6 则MPT的检验统计量具有形式 6 即具有形 为的拒绝域 的分布函数是阶梯函数 但由于 故可能不存在k使得 成立 却只能找到k有 就有必要改变 可令 注意这样的做法是合适的 仍具有N P引 理中MPT的形式 从而可得所待定的r为 由于 即 因此此时的水平为的MPT是随机检验 检验 统计量具有式 5 由于当时 所以式 5 更具一般性 包括了式 6 例8 1 的简单样本 求检验问题 解 由N P引理知 MPT的拒绝域具有形式 似然比统计量为 由于 故 有 这样 拒绝域为 注意这个例子的MPT仅与水平有关 而与 备择假设中的具体取值无关 只要 作为课后练习 试求原假设不变而备择假设 改为时的MPT 例8 2 样本 试求检验问题 解 似然比统计量为 调减函数 根据N P引理 水平为的MPT为 例如取 若给定 则由Poisson分布表