等差数列的前n项和性质

2 3等差数列的前n项和 第二课时 四川省平武中学 等差数列的前n项和公式 形式1 形式2 1 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 则Sn An2 Bn 令 例3已知数列 an 中求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是吗 他的首项和公差分别是什么 得到 例3已知数列 an 中求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是吗 他的首项和公差分别是什么 解 所以首项为1 5 公差为2 1 1 1 例4已知数列 an 的前n项和为 求使得最大的序号n的值 等差数列的前n项的最值问题 分析 数列为等差数列 首项为 公差d 0 显然 数列的前几项为正数 到某一项就开始为负 所以数列的前n项和最大 也就是所有的正数项相加 例4已知数列 an 的前n项和为 求使得最大的序号n的值 等差数列的前n项的最值问题 思路1 数列为等差数列 首项为 于是 当n取与对称轴最接近的整数时即取7或8时 前n项和最大 例4已知数列 an 的前n项和为 求使得最大的序号n的值 等差数列的前n项的最值问题 思路2 数列为等差数列 首项为 练习 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使此数列的前n项和最大 则n的值为 A 12B 13C 12或13D 14 C 等差数列的前n项的最值问题 练习 已知等差数列 an 中 a1 0 且S9 S12 求n取何值时 Sn取最小值 求等差数列前n项的最大 小 的方法 方法1 由利用二次函数的对称轴 配方法 求得最值及取得最值时的n的值 方法2 利用an的符号 当a1 0 d0时 数列前面有若干项为负 此时所有负项的和为Sn的最小值 其n的值由an 0且an 1 0求得 2 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 若Sm p Sp m m p 则Sm p 性质3 若Sm Sp m p 则Sp m 性质4 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d 0 nd m p 性质4 1 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S偶 S奇 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 性质5 为等差数列 an 例1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 A 63B 45C 36D 27 例2 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 A 85B 145C 110D 90 B A 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例3 一个等差数列的前10项的和为100 前100项的和为10 则它的前110项的和为 110 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例5 一个等差数列的前12项的和为354 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32 27 则公差为 5 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例6 设等差数列的前n项和为Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 Sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 等差数列 an 前n项和的性质 2 Sn图象的对称轴为 由 1 知