组合数学基础-问题与练习.doc

组合数学基础-问题与练习（陶平生）基本内容与方法：组合计数；组合构造；组合结构；映射与对应；分类与染色；归纳与递推；容斥原理；极端原理；调整法；补集法；数形结合法，等等、设为元集，若有个不同的子集，满足：对于每个，求正整数的最大值、将前九个正整数分成三组，每组三个数，使得每组中的三数之和皆为质数；求出所有不同分法的种数、设正整数的各位数字全由和组成，由其中任意个连续数位上的数字所组成的位数，称为数的一个“段”；若数的任两个“段”都不相同证明：对于具有这种性质的最大正整数，其开初的一个“段”和最后的一个“段”必定相同.、将数集中所有元素的算术平均值记为，（）. 若是的非空子集，且，则称是 的一个“均衡子集”试求数集的所有“均衡子集”的个数、某校有名新生，每人至少认识其中人，试求的最小值，使得其中必存在彼此认识的个人.、有名运动员，其编号分别是，在一次活动中，他们以任意方式站成了一排. 如果每次允许将其中一些人两两对换位置，但在同一轮操作过程中,任一人至多只能参与一次这种对换.证明：至多只需两轮这样的操作，可使队列变成的顺序排列.、称自然数开初若干位数字组成的数为的“前缀”.例如， 都是数的“前缀”.证明：对于任一给定的正整数，存在正整数，使为的“前缀”.、对于元集合，若元集，满足：，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）试确定集共有多少个“等和划分”、对于由前个正整数构成的集合，若能将其元素适当划分，排成两个项的数列：，使得，则称为一个友谊集，而数列称为的一种友谊排列，例如和便是集合的一种友谊排列，或记为；、证明：若为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；、确定集合及的全体友谊排列、一副纸牌共张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌各张，标号依次是，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且与也算是顺牌（即可以当成使用）. 试确定，从这副牌中取出张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数、一副三色牌，共有纸牌张，其中红黄蓝每种颜色的牌各张，编号分别是；另有大小王牌各一张，编号均为，从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为的牌计为分，若它们的分值之和为，就称这些牌为一个“好”牌组 试求 “好”牌组的个数、奥运会排球预选赛有支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负，如果其中有（）支球队，满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个阶连环套；证明：若全部支球队组成一个阶连环套，则对于每个（）及每支球队，必另外某些球队组成一个阶连环套.、任意给定个互不相等的位正整数，证明：存在，使得将它们的第位数字都删去后，所得到的个位数仍互不相等.、桌面上放有枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下，今有人依次按如下方法翻转硬币：第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的两枚，第人翻转其中的枚，第人则将枚硬币全部翻转证明：、不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当的步骤，使得人都操作之后，恰使所有的硬币朝同一个方向；、硬币最后的统一朝向，只依赖于初始分布，而与具体的翻币方案无关、平面上任给个点，每两点间的距离不超过；证明：其中必有两点，它们间的距离不超过、某选区有个选民，分别持有编号为的选票，选区共设有个投票站，编号分别是选区制定了一条法律：规定选民如果要将选票投到票站，只有当该选民所持有的选票号码中，若去掉其中某一数码后，剩下的两位数恰好就是该票站的号码时方可进行，（例如，持号票的选民，只能到号票站之一去投票）；问，在这一法规下，该选区最多可以关闭多少个投票站，使得剩下的投票站还能确保选举照常进行？、在平面直角坐标系中给定边形，满足：、的顶点坐标都是整数；、的边都与坐标轴平行；、的边长都是奇数证明：的面积为奇数 、矩形的一组邻边之长为：，其中是互质的正奇数，该矩形被分割成个单位正方形，设矩形的对角线与这些单位正方形的边相交，顺次得到交点（其中） 试求的值 、边长为的菱形, 其顶角为,今用分别与及平行的三组等距平行线，将菱形划分成个边长为1的正三角形(如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数.、某学校有名学生，学号分别是，该校的会场恰有个座位，分别编号为，学生的每次集会都是不用对号入座的；如果在一次集会中，任一个学号为的学生都不坐在号位