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文档简介

第六章有限单元法 1 有限单元法 FiniteElementMethod 简称FEM 是20世纪50年代以来随着电子计算机的广泛应用而发展起来的又一种数值解法 简单地说 就是用结构力学方法求解弹性力学问题 首先将连续体变换为离散化结构 然后再应用结力方法或变分法进行求解 FEM 简史 2 FEM的特点 1 具有通用性和灵活性 2 对同一类问题 可以编制出通用程序 应用计算机进行计算 3 只要适当加密网格 就可以达到工程要求的精度 4 可以有效的求解弹性力学中的各种复杂边界问题 3基本量和基本方程的矩阵表示 在有限单元法中 为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系 也为了便于编制程序应用电子计算机进行计算 广泛地采用矩阵表示运算 面力位移应变应力 基本物理量 体力 基本物理量 对于平面应力问题的物理方程可用矩阵表示为 FEM中应用的方程 几何方程 应用的方程 简写为 应用的方程 平面应变问题的物理方程也可以用式 b 表示 但须将式 c 所示弹性矩阵D中的E换为 换为 用表示虚位移 用表示与该虚位移相应的虚应变 根据虚功方程 在虚位移过程中 外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上所作的虚功 对于厚度为t的薄板 虚功方程可用矩阵表示 应用的方程 设作用于i点的集中力沿X和y方向的分量为 作用于j点的为等等 这些集中力以及和它们相应的虚位移可用列阵表示为 于是给外力在虚位移上的虚功为 结点虚位移 对应的虚应变 应用的方程 即虚功方程 其中 FEM的分析步骤 1 离散 将原来连续结构看成若干单元组合而成的结构 2 单元分析 建立单元结点力与节点之间的关系式 3 将载荷转移到主结点形成等效节点载荷 4 对每个节点建立平衡方程 FEM的概念 2 应用结构力学位移法求解离散化结构 结力法求解 以三结点三角形单元组成的离散化结构为例 分析步骤如下 2 应用插值公式 由单元结点位移求单元的位移函数 1 取三角形单元各结点位移为基本未知量 他们是称为单元的结点位移列阵 结力法求解 N称为形函数矩阵 5 应用虚功方程 由单元的应力 求出单元的结点力 表示为 4 应用物理方程 由单元的应变 求出单元的应力 表示为 3 应用几何方程 由单元的位移函数d 求出单元的应变 表示为 结力法求解 6 将每一单元中的各种外荷载 按虚功等效原则移置到结点上 化为结点荷载 表示为 结力法求解 因而i结点上平衡方程为其中表示对围绕i结点的单元求和 结力法求解 7 对每一结点建立平
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