非理性低通滤波器对采样速率的影响.docx

非理性低通滤波器对采样速率的影响*胡钟建（陆寿茂）1.前言在时分信息传输系统中，对信号振幅均匀采样的重复频率fs应高于信号截止频率fc的两倍，即fs2fc。这便是人们熟知的采样定理。导出上述结论的根据是，采样后的离散脉冲序列，应该包含原时间连续信号中的全部频谱成分（或全部信息）。该定理要求信号的频谱严格限制在0fc的范围内。对于频谱较宽的信号，只有经过一个理想的矩形低通滤波器(LPF)，然后进行采样，方能满足上述要求。这时采样频率便取决于低通滤波器的上限频率。理想的低通滤波器是难以实现的。目前常用的非理想低通滤波器，通带上限fc系由3dB衰减确定，通带外的平均衰减斜率一般做到大于20dB/Oct和40dB/Oct，要求高些的可达60dB/Oct甚至80dB/Oct以上，但远未达到理想境界的矩形衰减水平,如图1所示。 图1 非理性LPF幅频特性 图2 频率混叠图解为了避免频率混叠，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，否则，高频信号将以fs/2为中心“折叠”为低频分量，与低频信号相混淆，从而引起误差，详见图2。鉴于混叠相位不确定，最严重情况出现在同相或反相时刻，即混叠分量与低频信号直接相加或相减，于是形成图2虚线所示的混叠误差带的上下包络。混叠频率fa按式（1）计算： （1）式中f为信号频率；p为整系数。非理想低通滤波器（简称滤波器）的技术指标一经确定，采样频率应取多高为宜，成为专业人员必须考虑的重要问题。采样频率取高了，即采样点过密，将增加测量设备的容量，造成计算和处理上的浪费；取低了，会丢失信息，引起频率混叠，增大数据处理误差。为此，我们结合理论分析进行了实验，企图找到采样频率和滤波器特性之间的合适关系。回看图1纵轴K是电压传递系数的相对百分比，它是频率f的函数。一般情况下，通带内的K值尽量恒定，K随f的变化接近水平直线。按通带定义，K衰减到平坦段的时的频率，谓之截止频率fc。名为“截止”，实际上在ffc的范围内，K并不“截止”，而是逐渐衰减，形成一个过渡段。滤波器的这一特点，对采样率的选定影响很大，不可忽视。2.实验信号采集实验框图如图3所示，在此模拟了速变参数采集器。正弦信号发生器产生频率和幅度可变的信号输入。输入滤波器A（亦称抗混叠滤波器）带外衰减斜率有大于40dB/Oct和60dB/Oct的两种，系由R-C元件组成的布特华斯有源滤波器和双T陷波级串联而成。采样器由脉冲信号发生器驱动，频率可调。保持器的功用是增大恢复信号的幅值，提升信噪比。输出滤波器B的用途在于将离散的脉冲信号恢复为连续的时间信号，以便从示波器上直接观察混叠现象；对它要求较高，通带外的衰减斜率应大于60dB/Oct；滤波器B的构成与A相近。由于篇幅所限，各级原理图从略。图3 信号采集实验功能框图选定滤波器A和B的截止频率接近3kHz，固定采样频率fs=6.06kHz=Const.。频率混叠实验结果如图4所示，幅值大者为输入信号，小者为输出信号。图4（a）、（b）的fifs/2，故输出频率等于输入频率；但图4（b）的输入频率接近采样频率之半，输出波形出现寄生调幅。图4（c）因fifs/2，出现混叠现象，输出混叠频率服从式（1）规律。 （a）fo=fi=2.5kHz （b）fo=fi=2.9kHzfs/2 （c）fi=4.33kHz,fo=1.73 kHz图4 频率混叠试验图片（fs=6.06kHz）3经验公式一般低通滤波器多用R-C元件构成有源电路。它在通带内外的传递函数模量反映在双对数坐标纸上近似为两条直线：带內为水平线，带外为斜线，如图5所示。纵轴K为相对模量，定义为。左式、分别为f频率及零频时增益模量。我们对通带外的特性曲线感兴趣，因为频率混叠现象往往在此区间发生。图5 LPF幅频特性的近似画法图5表明带外衰减特性近似一条斜线，便可写出拟合方程为 （2）式中A、B为待定系数；f为频率，暂且限定在fc2fc之间变化。已知条件： (3)式（3）代入式（2）得 （4）解得 （5）将式（5）代入式（2）有 (6)令比值，则 (7)现以分贝单位表示通带外的衰减斜率，即，故得 (8)将式（8）代入式（5），获得用Lm表示的B值： （9）式（10）表明，B与Lm成正比关系。表1列出不同Lm对应的B值。至此，完成了滤波器带外过渡曲线回归方程的推演，如式（6）、（9）所示，俗称经验公式。表1 不同Lm对应的B值Lm(dB/oct)10203040506070B1.162.824.486.147.809.4611.14.误差估算实际信号频谱S(f)虽然较宽，但主要信息通常集中于低频段,如图2的0fm区间，只保留幅值S(f)Sm的成分。因此可有条件地选用适当带宽（fc）及带外衰减斜率(Lm)的低通滤波器抑制不需要的高频分量，以降低混叠误差，此举谓之“抗混叠”。图5（a）为LPF幅频特性，fc(-3dB)为通带带宽；经LPF处理的信号，高频分量被衰减， （a）LPF幅频特性 （b）经LPF处理的信号频谱图5 用LPF抑制混叠误差fc成了有用信号最高频率。在同一采样速率下，进入通带的混叠误差明显减小，见图5（b）。由于低通滤波器带外的衰减特性，频率混叠延续至fc处的平均幅值可视为最大混叠误差，于是借助式（6）不难估算的大小。关键参数是确定经验公式的频率f； （10）将式（10）代入式（6），得到的表达式为 (11)为方便查询，根据表2所列典型数据，绘制常用LPF的六种衰减斜率所对应的曲线，如图6所示。对带宽10Hz的缓变参数而言，设定N=4，欲控制混叠误差在5以内，应表2 混叠误差典型数据表 N Lm(dB/oct)2.02.53.03.54.04.55.05.56.0100.7070.440.320.240.200.170.140.120.11200.7070.230.100.0530.0320.0210.0140.0100.0076300.7070.110.0320.0120.00520.00260.00140.000840.00052400.7070.0590.0100.00250.00083500.7070.0300.00320.00056600.7070.0150.001图6 混叠误差与N、Lm的关系曲线选Lm20dB/oct的滤波器。而对f1kHz速变参数，为节省采样速率开销，比如选取N=2.5，这时唯有提升Lm50dB/oct，方可达到混叠误差小于5的目标。图6表明，一阶或二阶的无源LPF抗混叠的效果甚微，不予推荐；提倡采用通带幅频特性较为平坦、且带外Lm20dB/oct的有源LPF，承担缓变参数抗混叠重任。下面介绍一款性能优异的LPF设计方案。5.优化设计的三阶LPF 图7（a）展现的车比雪夫3阶有源LPF电路图未见特殊之处，但经正交优化设计获得的两组最佳参数组合非同一般，如表3所列。优化参数组合的亮点在于，滤波器内蕴维持长期稳定性的潜能，且一次组装成功概率（按规定阻容偏差）不低于80。滤波器幅频及相频特性如图7（b）、（c）所示。该型滤波器主要性能指标如下：（a） 3阶LPF电路原理图 （b） 3阶LPF幅频特性 （c） 3阶LPF相频特性图7 3阶LPF电路拓扑图及其频率特性 表3 3阶LPF正交优化最佳参数组合优化组号允许阻容偏差最 佳 参 数 组 合电 阻电 容P1P2P3k10.522.268.980.1110.921242.279.110.1110.908（1）通带平坦段展宽为00.85fc。按常规查表构建的的LPF平坦段高端不大于0.7fc，fc表带宽。（2）通带波动可控：。（3）带外衰减斜率，相当于4阶布特华斯滤波器的衰减效果。（4）通带，容纳基本遥测参数带宽，特别适于超低频应用。建议选用高阻抗精密运放构建有源电路。表2中；定义参考电容；参考电阻最好选为R整数倍，建议取；R不宜过大，兼顾约翰逊噪声的影响。此外，R还受制于滤波器的输入阻抗。例：设计一个fc=10Hz的3阶有源LPF（图7）。按表3两组参数组合，在输入阻抗分别不低于0.5M和1M条件下,估算4组阻容参数值。反归一化处理：旨在将归一化数据转换成具体的阻容值。首先选定参考电阻Rr和参考电容Cr。设Rr=R=530k,则=30nF。取表3第1组数据，算得电容2.2630=67.8nF；8.9830=269nF；0.11130=3.33 nF。电阻0.9210.530=0.488M。以此类推，四组计算结果列入表4。表中数据是理论值，实际取值必须顾及误差因素。譬如：电阻R=0.530M0.5；电容C1=67.8nF2等。输入阻抗，因在fc点X2R，且X2X3。式中X1、X2、X3分别为C1、C2、C3的容抗，即。符号“/ ”表并联。验证：按表3四组阻容值搭建LPF，检测技术性能均符合预定指标，证明设计数据合理可信。表4 不同阻容偏差下10Hz通带3阶LPF的最佳阻容组合表序号允许阻容偏差最 佳 阻 容 组 合输入阻抗Zi(M)电 阻电容R(M)R0(M)C1(nF)C2(nF)C3(nF)10.520.5300.48867.82693.330.7021.091.0038.01301.621.4340.5300.48168.12733.330.7041.101.0032.91321.611.4结语时分多路系统以及模数变换采样部件均离不开抗混叠滤波器的有力支持。抗混叠滤波以LPF为主。非理想LPF的带外衰减斜率做不到无穷大，只能是有限值，即存在一个过渡区域，其幅频特性的变化规律可用经验公式描述，如式（6）和式（9）所示。抗混叠滤波器的技术指标既取决于有用信号带宽，也受制于采样速率及许可的混叠误差。对遥测缓变参数而言，在采样速率为4倍信号频率的条件下，滤波器的带外衰减斜率大于20dB/oct的要求是恰当的。或者说,斜率低于20dB/oct的滤波器，抑制混