9-2线性系统的可控性与可观性.ppt

9 2线性系统的可控性与可观性 1 2 可观性 4 输出可控性 3 线性定常连续系统的可控性判据 1 可控性 5 线性定常连续系统的可观性判据 6 线性离散系统的可控性和可观性 可控性与可观性的物理概念 2 例9 14给定系统的状态空间描述为 系统状态变量 结构 图为 结构图表明 通过u可以控制状态x1和x2 但是 输出y只反映状态变量x2 而与状态变量x1既无直 接关系也无间接关系 系统是不完全可观测的 可控 观性的物理概念续 3 例9 15系统的原理图如图9 24所示 选取x1 iL x2 uC y uC 得 原理图或状态方程都表明 控制量u可以控 制状态x1 但对状态x2无控制能力 即x1是可控 制的 而x2是不可控制的 系 不可能从输出y中得到x1的任何信息 即x1 是不可观测的 x2是可观测的 又因x2与x1无任何关 例9 16系统的原理图如右图所示 4 原理图或状态方程都表明 控制量u对状态 选取x1 uC1 x2 uC2 y x2 得 x1和x2都有控制能力 控制 使x2和x1同时达到各自的指定状态 系统 是不可 达到 的 又称为不完全可控制的 又因x2与x1无任何关系 不可能从输出y中 得到x1的任何信息 即x1是不可观测的 若 则不能通过u的 状态可控如果对给定初始时刻t0 Tt的一个 1 可控性 5 考虑线性时变系统 A t B t 系统可控若系统的所有非零状态都是在t0 初始状态x t0 x0 0 存在时刻t1 Tt t1 t0 和无 约束容许控制u t t t0 t1 使得状态由x t0 x0转 移到x t1 0 则称x0是在t0时刻可控的 时刻可控的 则称系统在时刻t0是完全可控的 简称系统在时刻t0可控 若系统在所有时刻都是 可控的 则称系统是一致可控的 如果有一个或某些非零状 而对于线性定常系统 可控性与初始 系统不完全可控 6 对于线性时变系统 可控性与初始时刻t0的 态在时刻t0是不可控的 则称系统在时刻t0是不完 全可控的 也称系统在时刻t0不可控 上述定义中 只要找到无约束容许控制u t 使t0时刻的非零状态x0在Tt上的一段有限时间内 转移到状态空间的坐标原点 则状态x0可控 定义中 对u t 的波形 幅度及时间长短都没 有限制 无约束 容许 是指u t 有界 选取有关 时刻t0的选取无关 使系统从原点达到任意指定状态 则系统 若系统 若存在能将状态 若xf对所有时刻都是可达的 状态可达到与系统可达到 7 若存在无约束容许控制u t 在有限时间内 x0 0 转移到x tf xf的控制作用 则称状态xf在 t0时刻是可达到的 则称状态xf为完全可达到或一致可达到 的每一个状态都是时刻t0可达到的 则称系统是 t0时刻完全可达到的 简称系统是t0时刻可达的 使系统从任一状态达到原点 则系统是 完全 可 控的 是可达到的 线性定常连续系统的 完全 可控性与可达性 是等价的 如果 考虑线性时变系统 A t C t 系统完全可观测如果给定初始时刻t0 Tt 2 可观测性 8 系统不可观测如果给定初始时刻t0 Tt 存 存在一个有限时刻t1 Tt t1 t0 对于所有t t0 t1 系统输出y能唯一确定状态向量的初值x0 则称系 统在 t0 t1 内是完全可观测的 简称可观测 对于一切t1 t0 系统都是可观的 称系统在 t0 内是完全可观 在一个有限时刻t1 Tt t1 t0 对于所有t t0 t1 输出y不能唯一确定状态向量x0的全部分量 则称 系统在 t0 t1 内是不完全可观测的 简称不可观测 格拉姆矩阵判据系统 A B 完全可控的充分 3 线性定常连续系统的可控性判据 9 证明充分性 由W 1证系统完全可控 考虑系统 A B 取 必要条件是 存在时刻t1 0 如下定义的格拉姆 矩阵W 0 t1 是非奇异的 格拉姆定理必要性证明 10 必要性 由系统完全可控证W 1存在 采用反证法 设W 0 t1 奇异 则存在x0 0 使 因 0 导出 必要性证明续 11 系统完全可控 即 导出bbbbb与假设bbbbb相悖 证毕 设矩阵A的特征多项式为 则矩阵A满足其特征方程 即 凯莱 哈密顿定理 12 证明由于 sI A 1可用其伴随矩阵表示 即 其中伴随矩阵 s 的元素都是s多项式 阶次均 由式 9 119 两边同乘 sI A 得 小于等于 n 1 可表示为 凯莱 哈密顿定理续 13 两边展开 由s同幂次系数相等 得到n 1个等式 上述前n个等式依次右乘An An 1 A 得到 Bn 1An An Bn k 1An k 2 Bn k 2An k 3 an k 2An k 2 B0A a0I Bn kAn k 1 Bn k 1An k 2 an k 1An k 1 Bn 1 I Bn k Bn k 1A an k 1I B0A a0I Bn 2An 1 Bn 1An an 1An 1 B0A B1A2 a1A 凯莱 哈密顿定理续 14 推论1 推论2 这n 1个等式左右分别相加 左边值为零 右边为 命题证毕 证明应用格拉姆矩阵判据及反证法 可控性判别矩阵U 15 充分性 由rankU n证系统完全可控 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是 设系统不完全可控 则有向量 0 使得 成立 导出 充分性 对该式逐次求导 n 1 次 并令t 0 得到 16 与rankU n相悖 假设不成立 系统完全可控 写成矩阵表达式 因 0 导出W 0 t1 是奇异的 与系统完 必要性 17 必要性 由系统完全可控证明rankU n 设rankU n 则有向量 0 使得 成立 据凯莱 哈密顿定理可及推论1 可导出 全可控相悖 必须有rankU n 定理证毕 判断下列系统的可控性 例9 17 1 18 答案 若a21 0 系统状态完全可控 a21 0 系统 解 状态不完全可控 判断下列系统的可控性 例9 18 19 解 答案 若a1 a2 完全可控 a1 a2 不完全可控 由凯莱 哈密顿定理 得到 例9 20已知 20 解 计算A100 判断下列系统的可控性 因rankU 2 3 系统不完全可控 例9 21 22 解 技巧 可控性判别矩阵 23 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是 式中 证明 略 系统不完全可控 例9 21的可控性判别矩阵 或表示为 PBH可控性判别矩阵UPBH 24 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件 例9 22 1判断下列系统的可控性 均成立 证明 利用可控性判别矩阵证明 略 是 对于矩阵A的所有特征值 例9 22 1解 25 无论s为何值 UPBH都是满秩的 系统完全可控 因只有在时 rank sI A n 所以 只 需对每一个特征值判断UPBH的秩 A的特征值为 解 例9 22 26 解 判断下列系统的可控性 例9 22续 27 因s1 2 31 2不是系统的特征值 系统完全可控 无重极点的对角形系统完全 对角形系统 无重特征值 可控性判别 28 对角形系统各状态变量间无关联 且 可控充要条件是 B中无全零行 显然 只要控制矩阵B中的第i行不全为零 状态xi就是可控的 约当标准形系统可控性判别 29 约当标准形系统各方块状态变量间无关联 约当标准形系统完全可控充要条件是 B中 式中是B的第iL行 且各方块最后一行为 约当块最后一行所对应的iL行不全为零 且同一 特征值各约当快对应的最后一行线性无关 例证明如下系统总是完全可控的 30 证明 证毕 可控标准形系统完全可控 输出可控性若在有限时间间隔 t0 t1 内 存 4 输出可控性 31 注意 状态完全可控与输出完全可控是两个不同 考虑系统 A B C 输出可控性判据 在无约束分段连续控制函数u t 能使任意初始 输出y t0 转移到任意最终输出y t1 称该系统是 输出完全可控 简称输出可控 的概念 但输出是状态的线性组合 例9 25已知系统的状态空间描述为 系统状态不完全可控 32 解 试判断系统的状态可控性和输出可控性 系统输出可控 格拉姆矩阵判据系统 A C 完全可观的充分 5 线性定常连续系统的可观测性判据 33 证明充分性 由M 1 证明系统完全可观 考虑系统 A C 必要条件是 存在时刻t1 0 如下定义的格拉姆 矩阵M 0 t1 是非奇异的 必要性证明 34 即在 0 t1 内 由y可唯一确定x0 充分性得证 必要性 由系统完全可观 证明M非奇异 反证法 设系统完全可观且M奇异 M奇异 则存在使成立 可观性判别矩阵V 35 线性定常连续系统完全可观的充分必要条件是 表明 在 0 t1 上 恒有 异 命题不成 必要性得证 证毕 即是不可观测状态 系统完全可观且M奇异 充分必要证明2 36 或 VT是对偶系统的可控性判别矩阵 该判据的 证明过程与可控性判据相似 级数及凯莱 哈密顿定理证明该判据 只有在V满秩的条件下 从不同时刻t中找出 充分必要条件是rankV n n个线性无关的方程 于是根据y唯一确定x0的 这里 利用eAt的 可观性判别矩阵 37 线性定常连续系统完全可观的充分必要条件是 使用判别矩阵 可减少不必要的计算 例9 26判断系统 A B C 的可观性 38 解 1 系统不完全可观 1 2 系统完全可观 2 例证明如下系统总是完全可观测的 39 证明 证毕 可观测标准形系统完全可观测的 PBH可观性判别矩阵VPBH 40 线性定常连续系统完全可观的充分必要条件 成立 或表示为 是 对于矩阵A的所有特征值 习题9 17 1判断下列系统的状态可控性 41 9 17 1解 解 42 系统状态不完全可控 系统状态不完全可控 系统状态完全可控 习题9 17 2判断下列系统的状态可控性 43 习题9 17 2解 44 解 系统状态不完全可控 系统状态不完全可控 系统状态完全可控 习题9 20已知系统的传递函数为 45 设系统状态完全可控且完全可观 试求a的范围 解 可控标准型实现 检查可观性 习题9 20续 解 46 得a1 1 a2 2 a3 4 答案 只需a1 1 a2 2和a3 4 系统状态是既完全可控且完全可观的充分 必要条件是 传递函数的分子多项式与分母多 分解 互质条件 a1 1 a2 2和a3 4 项式互质 习题9 22 1判断下列系统的状态可观测性 47 9 22 1解 解 48 系统状态完全可观测 系统状态完全可观测 习题9 22 2判断下列系统的状态可观测性 49 9 22 2解 解 50 系统不完全可观测 系统完全可观测 习题9 23 51 解 系统状态完全可观 要求V满秩 答案a b 1可使系统状态完全可观 试确定使下列系统状态可观的a b 已知系统各系数矩阵为 习题9 24 52 求传递函数矩阵 判断系统的可控性 可观性 解 习题9 24解 53 系统状态完全可控且完全可观 6 线性离散系统的可控性和可观测性 1 线性离散系统的可控性和可达到性 如果对初始时刻k0 Tk和所有非零状态x k0 设线性离散时变系统的状态方程为 都存在时刻k1 Tk k1 k0 和对应的控制u k 使 得x k1 0 则称系统在时刻k0为完全可控 如果对初始时刻k0 Tk和初始状态x k0 0 都 存在时刻k1 Tk k1 k0 和对应的控制u k 使得 x k1 达到状态空间中的任意一点 则称系统在时 刻k0为完全可达到 54 1 线性时变离散系统的系统矩阵A k 对所 有k k0 k1 1 都是非奇异的 线性离散系统可控性与可达到性等价条件 线性连续系统的可控性与可达到性等价 而 达到性才是等价的 线性离散系统只有满足下述条件 其可控性与可 2 线性定常离散系统的系统矩阵A是非奇 3 如果线性离散系统是相应的线性连续系 异的 统的离散化模型 则该离散系统的可控性与可达 到性一定是等价的 55 线性定常离散系统的可控性判据 56 推导可控性判别矩阵U 线性定常单输入离散系统及其解为 根据可控性定义 x n 0 上式改写为 只要找出一组控制序列u 0 u 1 u 2 满足上述方程 就能将任意非零初始状x0态转 移到状态空间原点 表明系统状态完全可控 上述矩阵方程是n个非齐次线性方程的组合 离散可控性判据推导续1 57 记可控性判别矩阵 对于任意x 0 方程组都有解的充分必要条件是 方程组有唯一解 将求解的方程改写成下面的矩阵形式 离散可控性判据推导续2 58 说明 线性定常离散系统完全可控 并不要求矩 阵A是非奇异的 例如 易知 A是奇异的 该例 系统是完全可控的 但不是可达到的 只需选取控制序列 u k 0 u k 1 0 则 离散可控性判据推导续3 59 讨论可达到性 阵A非奇异 x 0 0 x n 0 显然 上述方程有解的条件是rankU n 线性定常离散系统的可控性判据 60 可控性判别矩阵U 将单输入系统的结论直接推广到多输入系统 式中 可控性判别矩阵 例9 29设线性定常离散系统为 61 试判断系统的可控性 确定使x 3 0的控制序列 解 u 0 u 1 和u 2 研究使x 2 0的可能性 系统完全可控 则 例9 29续 62 即 例9 29续 63 因为系统完全可控 且系统矩阵A满秩 即 值 都能找到相应的控制序列u 0 u 1 和u 2 对于给定的一组x 0 和x 2 值 不一定存在满 足要求的2步控制序列 系统是完全可达到的 使系统从状态x 0 转移到状态x 3 论下述方程是否有解 代入已知条件 展开为 显然 该方程组无解 所以无论x 0 和x 3 为何 本例第二部分实质是讨 本例能在3步内使任意x0转移到原点 例9 30设线性定常离散系统为 64 试判断系统的可控性 研究使x 1 0的可能性 解 系统可控 而且 还能在2步内使任意x0转移到原点 例9 30续1 65 设x 2 0 据离散系统解得 展开为 3个线性方程求解4个待定参数 有无穷多组解 据x 1 0 有下列方程 例9 30续2 66 解得 当初始状态满足 本例不能在一步内 使任意x0转移到原点 时 可求得所需要的控制量 2 线性离散系统的可观测性 67 线性定常离散系统的可观性判据推导 如果对初始时刻k0 Tk的任一非零状态x k0 都存在时刻k1 Tk k1 k0 且可由 k0 k1 上的输出 y k 唯一地确定x k0 则称系统在时刻k0是完全 可观测的 由零输入响应得到 离散系统可观性判据推导 68 即rankV n 只有rankV n 能唯一确定x 0 9 200 式中 最多有n个线性无关的线性方程 记 rankV n 有无穷多解 不能确定x 0 9 200 线性定常离散系统的可观性判据 6