专题一 集合与简易逻辑.doc

专题一 集合与简易逻辑、 函数、不等式、导数一、 考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.7高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会灵活的应用； 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式a-ba+ba+b。8不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识9证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)10在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法11.指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。12.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。13.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二方法总结与2011年高考预测1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.2.考查与函数图象有关的试题，要从图中(或列表中)读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.3.考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一般不需求出反函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.4.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决.5加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.6注意与导数结合考查函数的性质. 7熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式的解法，二元的重要不等式及应用，不等式的常用证明方法8数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。练习题一.选择题1、（2010江西理数）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。2、（2009四川卷文）已知，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得 即由“”“”3、(2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.答案:A【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4、（2009重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C D【答案】A【解析】因为对任意x恒成立，所以5、（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）A2BC4D5【答案】C解析因为当且仅当，且，即时，取“=”号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6、已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 BA B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。7、已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B 知是周期为2的奇函数，当时，设则(A)(B)(C)(D)8、函数的反函数的图像与轴交于点(如右图所示)，则方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.19、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数10、对a，bR，记maxa，b，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)11、（2009辽宁卷文）已知函数满足：x4,则；当x4时，则（A） （B） （C） （D）【解析】32log234,所以f(2log23)f(3log23) 且3log234 f(3log23) 12、函数y=(x0)的反函数是 （A）（x0） （B）（x0） （B）（x0） （D）（x0） 答案：B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.13、函数的图像大致为( ).1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.14、（2009全国卷文）设则（A） （B） （C） （D）答案：B解析：本题考查对数函数的增减性，由1lge0,知ab,又c=lge, 作商比较知cb,选B。15、（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则(A) (B) (C) (D) 答案:A. 解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.16、（2009四川卷理）已知函数连续，则常数的值是. . . . 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得，故选择B。解析2：本题考查分段函数的连续性由，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得故选B17、已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,) (B) （C） (D) 解析：选D.，即，18、函数的值域是（A） （B）（C） （D）解析：19、设(A)acb (B) )bca (C) )abc (D) )bac【答案】D【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。因为20、(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.答案:C.21、若集合M0，l，2，N(x，y)|x2y10且x2y10，x，y M，则N中元素的个数为 A9 B6 C4 D2 22、设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为 A B0 C D5 23、若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是A. a-1 B. 1 C.1 D.a1.24、若，则的元素个数为A.0B.1C.2D.3. 25、如果正数满足，那么（），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值不唯一26、已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )A、 B、 C、 D、27、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）28、在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数29、 函数y1的图象是( )二.填空题1、函数对于任意实数满足条件，若则_。2、设则_3、已知函数，若为奇函数，则_。4、（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3【答案】35、已知且，则的取值范围是 .（答案用区间表示）解析：填. 利用线性规划，画出不等式组表示的平面区域，即可求解.6、设实数x,y满足38，49，则的最大值是 。解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是27。7、8、已知集合，若，则实数的取值范围是三.解答题 1、 已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同(I)用表示，并求的最大值；(II)求证：()解：()设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或(舍去)即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为()设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，2、已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数，若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值【解析】设，则； 又的图像与直线平行 又在取极小值， ， ， ； ， 设 则 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3、（2009北京理）（本小题共13分）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）, 曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.4、设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值