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文档简介

第六章矩阵特征值问题 本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念 利用线性方程租的求解方法 提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法 并给出矩阵对角化的条件 介绍实对称矩阵对角化的方法 本章的主要内容 6 1矩阵的特征值与特征向量 6 2相似矩阵与矩阵对角化 6 3实对称矩阵的对角化 1 矩阵的特征值与特征向量的定义 3 矩阵的特征值与特征向量的性质 6 1矩阵的特征值与特征向量 2 矩阵的特征值与特征向量的计算 1 基本概念 定义设A是n阶矩阵 如果数l和n维非零向量x满足Ax lx 那么数l称为矩阵A的特征值 非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量 注特征值和特征向量只针对方阵而言 例 则l 1为矩阵的特征值 为对应于l 1的特征向量 2 特征值与特征向量的计算 已知 所以齐次线性方程组有非零解 特征方程 特征多项式 特征方程 A lI 0特征多项式f l A lI l为未知数的一元n次多项式 求特征值 特征向量的方法 求出 即为特征值 把得到的特征值 代入上式 求齐次线性方程组 的非零解x 即为所求特征向量 特征值就是特征方程的根 注在复数范围内n阶矩阵有n个特征值 重根按重数计算 称集合 1 n 为矩阵A的谱 spectrum 将 1 1 n 的最大值称为A的谱半径 记作 A 即 例 解 例 解 解 第一步 写出矩阵A的特征方程 求出特征值 例求矩阵 的特征值和特征向量 特征值为 第二步 对每个特征值 代入齐次方程组 求非零解 齐次线性方程组为 系数矩阵 解 例求矩阵 的特征值和特征向量 特征值为 得基础解系 是对应于 系数矩阵 解 例求矩阵 的特征值和特征向量 特征值为 得基础解系 是对应于 齐次线性方程组为 性质1设n阶方阵A的n个特征值为 则 矩阵A的主对角元素之和称为矩阵A的迹 3 特征值和特征向量的性质 若A的特征值是 x是A的对应于 的特征向量 性质2 1 kA的特征值是k k是任意常数 m是正整数 证 再继续施行上述步骤m 2次 就得 若A的特征值是 X是A的对应于 的特征向量 性质2 1 kA的特征值是k k是任意常数 m是正整数 3 若A可逆 则A 1的特征值是 1 的特征值是 且x仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量 证 若A的特征值是 X是A的对应于 的特征向量 性质2 1 kA的特征值是k k是任意常数 m是正整数 3 若A可逆 则A 1的特征值是 1 的特征值是 且x仍然是矩阵 分别对应于 的特
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