专题二三角函数的图像.doc

专题二 三角函数的图像、性质三角学的历史(2) 文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者他的应用于三角形的数学定律是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式如正切定律、和差化积公式等等他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值该书以直角三角形为基础对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593年又用三角方法推导出余弦定理3年高考平台2006高考题一、选择题1.(2006全国高考卷,理5文6)函数f(x)=tan(x+)的单增调区间为( )A.(k-,k+),kZ B.(k,(k+1),kZC.(k-,k+),kZ D.（k-,k+),kZ答案:C解析:k-x+k+(kZ),单增区间为(k-,k+),kZ.2.(2006全国高考卷,理2文3)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )A.2 B.4 C. D.答案:D解析:化简y=sin4x,T=.选D.3.(2006北京高考,文2)函数y=1+cosx的图像( )A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线x=对称答案:B解析:y=cosx的图像关于y轴对称,而y=1+cosx是由y=cosx向上平移1个单位而得,其对称性不改变.4.(2006天津高考,理8)已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，a0,xR)在x=处取得最小值，则函数y=f(-x)是( )A.偶函数且它的图像关于点(,0)对称B.偶函数且它的图像关于点(,0)对称C.奇函数且它的图像关于点(,0)对称D.奇函数且它的图像关于点(，0)对称答案：D解析：f(x)=sin(x-)(其中tan=),则f(x)min=-=f()=(a-b).整理可得b=-a.f(x)=asinx+acosx=asin(x+).f(-x)=asinx.该函数为奇函数且一个对称中心为(,0).5.(2006辽宁高考,理11)已知函数f(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx|,则f(x)的值域是( )A.-1,1 B.-,1C.-1, D.-1,-答案:C解析:f(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx|,当sinxcosx时,f(x)=(sinx+cosx)-(sinx-cosx),即x2k+,2k+,f(x)=cosx,y-1,.当sinxcosx时,f(x)=(sinx+cosx)-(cosx-sinx),即x2k-,2k+,f(x)=sinx,y-1,.故函数的值域为-1,.6.(2006江苏高考,1)已知aR,函数f(x)=sinx-|a|,xR为奇函数,则a等于( )A.0 B.1 C.-1 D.1答案:A解法一:易知y=sinx在R上为奇函数,所以显然a=0.解法二:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,-sinx-|a|=-sinx+|a|.|a|=0,即a=0.7.(2006江苏高考,4)为了得到函数y=2sin(+),xR的图像,只需把函数y=2sinx,xR的图像上所有的点( )A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案:C解析:排除法,易得C.8.(2006福建高考,理9)已知函数f(x)=2sinx(0)在区间-,上的最小值是-2,则的最小值等于( )A. B. C.2 D.3答案:B解析:当取最小值时,最小正周期T取得最大值.T.的最小值为.9.(2006安徽高考,理6文9)将函数y=sinx(0)的图像按向量a=(-,0)平移，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式是( )A.y=sin(x+) B.y=sin(x-)C.y=sin(2x+) D.y=sin(2x-)答案：C解析：设新坐标为(x,y),根据平移公式,即新坐标为代入原函数y=sinx，得y=sin(x+),y=sin(x+).由题图可知当x=时y=-1,代入得sin=-1,即=+2k(kZ).=2+k(kZ).当0时，取k=0,则=2,即y=sin(2x+)为所求的新解析式.10.(2006四川高考,理5文6)下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( )A.y=sin(x+) B.y=sin(2x-)C.y=cos(4x-) D.y=cos(2x-)答案:D解析:由图像可得T=-(-)4=,=2,排除A、C选项.对于B,当x=时,y=sin0=0,而不是1.故选D.二、填空题11.(2006湖南高考,理14)若f(x)=asin(x+)+bsin(x-)(ab0)是偶函数,则有序实数对(a,b)可以是_.(注:只要填满足a+b=0的一组数字即可)(写出你认为正确的一组数字即可)答案:(1,-1)解析:f(x)=asin(x+)+bsin(x-)是偶函数.观察易得x+与x-是两个互余的角.|a|=|b|时易变形为一个角的一个三角函数形式.不妨令a=1,b=-1,故f(x)=sin(x+)-sin(x-)=cos(x-)-sin(x-)=cos(x-)-sin(x-)=cosx.三、解答题12.(2006北京高考,理15)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域;(2)设是第四象限的角,且tan=-,求f()的值.解:(1)由cosx0得xk+(kZ),故f(x)的定义域为x|xk+,kZ.(2)因为tan=-,且是第四象限的角,所以sin=-,cos=.故f()=2(cos-sin)=.13.(2006辽宁高考,理17文17)已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,xR.求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;(2)函数f(x)的单调增区间.解析：本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.(1)解法一:f(x)=+sin2x+=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+),当2x+=2k+,即x=k+(kZ)时,f(x)取得最大值2+.因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是x|x=k+,kZ.解法二:f(x)=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+),当2x+=2k+,即x=k+ (kZ)时,f(x)取得最大值2+.因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是x|x=k+,kZ.(2)解:f(x)=2+sin(2x+).由题意得2k-2x+2k+(kZ),即k-xk+(kZ).因此,f(x)的单调增区间是k-,k+(kZ).14.(2006福建高考,理17)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(xR)的图像经过怎样的变换得到?解析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图像和性质等基本知识,以及推理和运算能力.解:(1)f(x)=+sin2x+(1+cos2x)=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,f(x)的最小正周期T=.由题意得2k-2x+2k+,kZ,即k-xk+,kZ.f(x)的单调增区间为k-,k+,kZ.(2)方法一:先把y=sin2x图像上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin(2x+)的图像,再把所得图像上所有的点向上平移个单位长度,就得到y=sin(2x+)+的图像.方法二:把y=sin2x图像上所有的点按向量a=(-,)平移,就得到y=sin(2x+)+的图像.15.(2006湖北高考,理16)设函数f(x)=a(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),xR.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)将函数y=f(x)的图像按向量d平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d.解析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.解:(1)由题意得f(x)=a(b+c)=(sinx,-cosx)(sinx-cosx,sinx-3cosx)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+sin(2x+).故f(x)的最大值为2+,最小正周期是=.(2)由sin(2x+)=0得2x+=k,即x=-,kZ.于是d=(-,-2),|d|=,kZ.因为k为整数,要使|d|最小,则只有k=1,此时d=(-,-2)即为所求.16.(2006广东高考,15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+),xR.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最大值和最小值；（3）若f()=，求sin2的值.解析：本小题主要考查三角函数的周期和最值、三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查化归和转化、函数与方程的数学思想和方法,以及思维能力和运算能力.解:f(x)=sinx+sin(x+)=sinx+cosx=(sinx+cosx)=sin(x+),(1)2sin(x+)是最小正周期为2的周期函数,f(x)=sinx+sin(x+),xR是周期函数,最小正周期为2.(2)sin(x+)的最大值、最小值分别为1、-1,f(x)的最大值为,最小值为-.(3)f()=,sin+cos=.故(sin+cos)2=1+sin2=,sin2=-.17.(2006重庆高考,理17文18)设函数f(x)=cos2x+sinxcosx+a(其中0,aR),且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求u的值;(2)如果f(x)在区间-,上的最小值为,求a的值.解:(1)f(x)=cos2x+sin2x+a=sin(2x+)+a.依题意得2+=.解之,得=.(2)由(1)知,f(x)=sin(x+)+a.又当x-,时,x+0,故-sin(x+)1,从而f(x)在-,上取得最小值-+a.因此,由题设知-+a=.故a=.18.(2006山东高考,理17文18)已知函数f(x)=Asin2(x+)(A0,0,0),且y=f(x)的最大值为2,其图像相邻两对称轴的距离为2,并过点(1,2).(1)求;(2)计算f(1)+f(2)+f(2 008).答案:(1)解：y=Asin2(x+)=-cos(2x+2).y=f(x)的最大值为2,A0,+=2,A=2.又其图像相邻两对称轴间的距离为2,0,()=2,=.f(x)=-cos(x+2)=1-cos(x+2).y=f(x)过(1,2)点,cos(+2)=-1.+2=2k+,kZ.2=2k+,kZ.=k+,kZ.又0,=.(2)解法一:=,y=1-cos(x+)=1+sinx.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.又y=f(x)的周期为4,2 008=4502,f(1)+f(2)+f(2 008)=4502=2 008.解法二:f(x)=2sin2(x+),f(1)+f(3)=2sin2(+)+2sin2(+)=2,f(2)+f(4)=2sin2(+)+2sin2(+)=2.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.又y=f(x)的周期为4,2 008=4502,f(1)+f(2)+f(2 008)=4502=2 008.19.(2006陕西高考,理17文18)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(1)f(x)=sin2(x-)+1-cos2(x-)=2sin2(x-)-cos2(x-)+1=2sin2(x-)-+1=2sin(2x-)+1.T=.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2k+,即x=k+(kZ),所求x的集合为xR|x=k+,kZ.2005高考题一、选择题1.(2005全国高考卷,理7文7)当0x时,函数f(x)=的最小值为( )A.2 B. C.4 D.答案：C解：f(x)=4tanx+.又0x,tanx0.因此f(x)4(当4tanx=时).2.(2005全国高考卷,理4文4)已知函数y=tanx在（-，）内是减函数，则（ ）A.01 B.-10 C.1 D.-1答案：B解：由,|1.若0,其图像与y=tanx在(-,)上有相同的增减性,0.y=tanx是减函数,选B.3.(2005北京高考,理8)函数f(x)=（ ）A.在0,),(,上递增,在,),(,2上递减B.在0,),)上递增,在(,(,2上递减C.在(,(,2上递增,在0,),)上递减D.在,),(,2上递增,在0,),(,上递减答案：A解：f(x)=又y=tanx在(k-,k+)(kZ)上单调递增,f(x)在0,),(,上递增,在,),(,2上递减.故A正确.4.(2005天津高考,理8)要得到函数y=cosx的图像,只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的（ ）A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度答案：C解：将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x+)的图像,再把y=sin(x+)的图像向左平行移动个单位长度得到y=sin(x+),即y=cosx的图像.故选C.5.(2005浙江高考,理8)已知k-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( )A.1 B.-1 C.2k+1 D.-2k+1答案：A解：y=cos2x+k(cosx-1)=2cos2x+kcosx-(k+1).令t=cosx(t-1,1),则y=2t2+kt-(k+1),对称轴t=-.k-4,t=-1.函数y=2t2+kt-(k+1)在-1，1上为单调递减函数.当t=1，即cosx=1时，函数有最小值1.6.(2005福建高考,理6)函数y=sin(x+)(xR,0,02)的部分图像如图,则（ ）A.=,= B.=,=C.=,= D.=,=答案：C解：由题图,易知=2T=8.而T=8，=.排除A、B.函数y=sin(x+).显然=满足sin(1+)=1.而=，则sin(1+)=-1.排除D.7.(2005山东高考,理3文4)已知函数y=sin(x-)cos(x-),则下列判断正确的是( )A.此函数的最小正周期为2,其图像的一个对称中心是(,0)B.此函数的最小正周期为,其图像的一个对称中心是(,0)C.此函数的最小正周期为2,其图像的一个对称中心是(,0)D.此函数的最小正周期为,其图像的一个对称中心是(,0)答案：B解：y=sin(x-)cos(x-)=sin(2x-)，最小正周期T=.令t=2x-，则y=sint图像的对称中心为(k,0)(kZ).2x-=k(kZ).解得x=+,kZ.当k=0时，一个对称中心为(,0).8.(2005江西高考,5)设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f(x)为（ ）A.周期函数，最小正周期为 B.周期函数，最小正周期为C.周期函数，最小正周期为2 D.非周期函数答案：B解：f(x)=sin3x+|sin3x|=B正确.二、填空题9.(2005上海高考,文11理10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x0,2的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_.答案：1k3解：f(x)=其图像如下图所示.由图像,可知1k3.10.(2005辽宁高考,16)是正实数,设S=|f(x)=cos(x+)是奇函数,若对每个实数a,S(a,a+1)的元素不超过2个,且有a使S(a,a+1)含2个元素,则的取值范围是_.答案：(,2解：若f(x)=cos(x+)为奇函数,则=+,又使S(a,a+1)元素不超过2个,且有a使交集含2个元素，则得2.11.(2005湖北高考,文15)函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为_.答案：2-解：y=|sinx|cosx-1=其图像如下图所示:函数最小正周期T=2,最大值ymax=-,故最小正周期与最大值之和为2-.12.(2005湖南高考,理15)函数y=f(x)的图像与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a,b上的面积.已知函数y=sinnx在0,上的面积为(nN*),则(1)函数y=sin3x在0,上的面积为;(2)函数y=sin(3x-)+1在,上的面积为_.答案:(1) (2)+解：(1)令n=3,则y=sin3x在0,上的面积为.又y=sin3x在0,和,上的面积相等,y=sin3x在0,上的面积为2=.(2)由y=sin(3x-)+1,设3=3x-,y=sin3+1.又x,30,3.0,.由(1)y=sin3在0,上的面积为,y=sin3在0,上的面积为S1+S2+S3-S4=2-+S3=+S3,S3=1(-)=.y=sin(3x-)+1在,上的面积为+.三、解答题13.(2005辽宁高考,18)如图,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中yx0.(1)将十字形的面积表示为的函数;(2)为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?解析：本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识,考查综合运用三角函数知识的能力.(1)解:设S为十字形的面积,则S=2xy-x2=2sincos-cos2().(2)解法一:S=2sincos-cos2=sin2-cos2-=sin(2-)-,其中=arccos,当sin(2-)=1,即2-=时,S最大.所以,当=+arccos时,S最大.的最大值为.解法二:因为S=2sincos-cos2,所以S=2cos2-2sin2+2sincos=2cos2+sin2.令S=0,即2cos2+sin2=0,可解得=+arctan(-2).所以,当=+arctan(-2)时,S最大,S的最大值为.14.(2005重庆高考，理17)若函数f(x)=-asincos(-)的最大值为2,试确定常数a的值.解：f(x)=+asincos=cosx+sinx=sin(x+),其中角满足sin=.由已知,有+=4.解之,得a=.2004高考题一、选择题1.(2004全国高考卷,理9文9)为了得到函数y=sin(2x-)的图像,可以将函数y=cos2x的图像( )A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：B解析：本小题主要考查三角函数的图像变换.y=sin(2x-)=cos(2x-)=cos2(x-),可将函数y=cos2x的图像向右平移个单位长度.2.(2004全国高考卷,理5文5)已知函数y=tan(2x+)的图像过点(,0),则的值可以是( )A.- B. C.- D.答案：A解析：本小题主要考查三角函数的图像变换.解法一:(关键点法)由题意知,点(,0)对应曲线上关键点(0,0),即当x=时,2x+=0,则=-.解法二:(平移法)由y=tan(2x+)=tan2(x+)，图像过点(,0),即相当于把图像向右平移了个单位,则=-,则=-.3.(2004全国高考卷,理11文11)函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为（ ）A. B. C. D.2答案：B解析：本小题主要考查三角函数的周期性、三角恒等变形等基本知识.y=sin4x+cos2x=()2+=cos22x=+cos4x,函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为=.4.(2004全国高考卷,理2文2)函数y=|sin|的最小正周期是( )A. B. C.2 D.4答案：C解析：本小题主要考查三角函数的周期性，以及三角恒等变形等基本知识.方法一：y=|sin|=,最小正周期T=2.方法二：结合正弦函数的图像,已知y=|sinx|的最小正周期是,故y=|sin|的最小正周期是2.5.(2004天津高考,理12文12)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是,且当x0,时,f(x)=sinx,则f()的值为（ ）A.- B. C.- D.答案：D解析：本小题主要考查三角函数的性质等基本知识.f()=f(-2)=f(-)=f()=sin=.6.(2004广东高考,9)当0x时,函数f(x)=的最小值是（ ）A.4 B. C.2 D.答案：A解析：本小题主要考查三角函数的最值,以及三角恒等变换等基本知识.f(x)=,0x,0tanx1.tanx-tan2x的最大值为,此时tanx=.故f(x)的最小值为4.7.(2004春季上海高考,13)下列函数中,周期为1的奇函数是（ ）A.y=1-2sin2x B.y=sin(2x+)C.y=tanx D.y=sinxcosx答案：D解析：本小题主要考查三角函数的周期性和奇偶性,以及三角恒等变形能力.对于A选项,y=1-2sin2x=cos2x,周期为1但是偶函数;对于B选项,周期也为1,但既非奇函数也非偶函数;对于C选项,是周期为2的奇函数;对于选项D,y=sinxcosx=sin2x是周期为1的奇函数.二、填空题8.(2004全国高考卷,理14)函数y=sinx+cosx在区间0,上的最小值为_.答案：1解析：本小题主要考查三角函数的最值,以及形如y=asinx+bcosx的三角恒等变形等基本知识.y=sinx+cosx=2sin(x+),x0,x+,.故当x+=,即x=时,y有最小值1.9.(2004全国高考卷,文15)函数y=sinx-cosx(xR)的最大值为_.答案：解析：本小题主要考查三角函数的最值.一般地,形如y=asinx+bcosx的三角函数,可化为y=sin(x+)(其中tan=ba),其最大值为.故本题中的三角函数的最大值为=.10.(2004北京高考,理9)函数f(x)=cos2x-2sinxcosx的最小正周期是_.答案：解析：本小题主要考查三角函数的周期性、三角恒等变形等基础知识.f(x)=cos2x-2sinxcosx=2(cos2x-sin2x)=2cos(2x+),最小正周期T=.11.(2004北京高考,文9)函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是_.答案：解析：本小题主要考查三角函数的周期性，以及二倍角公式等基础知识.f(x)=sinxcosx=sin2x,最小正周期T=.三、解答题12.(2004全国高考卷,理17文18)求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.解析：本题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.f(x)=(1+sinxcosx)=sin2x+,函数f(x)的最小正周期是，最大值是，最小值是.题源探究1.(2004辽宁高考,11)若函数f(x)=sin(x+)的图像(部分)如图所示,则和的取值是( )A.=1,= B.=1,=-C.=,= D.=,=-答案：C解：=+=,T=4.=.再由五点作图法,得+=,解得=.原题：(人教版数学第一册下第86页例3)已知函数y=Asin(x+),xR(