选修2-21.1.1变化率与导数.ppt

1 1变化率与导数 1 1 1变化率问题 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 问题导入 播放 暂停 停止 思考 新授 一 函数的平均变化率 注 那么 函数的平均变化率还可以表示为 直线AB的斜率 A B 二 函数的平均变化率的几何意义 例 1 计算函数f x 2x 1在区间 3 1 上的平均变化率 2 求函数f x x2 1的平均变化率 1 解 y f 1 f 3 4 x 1 3 2 2 解 y f x x f x 2 x x x 2 练习 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A 3B 3 x x 2C 3 x 2D 3 x D 3 求y x2在x x0附近的平均变化率 A 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 y f x2 f x1 2 计算平均变化率 1 1变化率与导数 1 1 2导数的概念 探究一 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 探究过程 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10的图像 结合图形可知 所以 虽然运动员在这段时间里的平均速度为 但实际情况是运动员仍然运动 并非静止 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 瞬时速度 在高台跳水运动中 平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 又如何求瞬时速度呢 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 探究二 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 那么 运动员在某一时刻t0的瞬时速度 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 注 设函数f x 在x0处可导 则 A f x0 B f x0 C f x0 D f x0 C 例 跟踪训练 1 2 设f x 在x0处可导 下列式子中与f x0 相等的是 B 由导数的定义可知 求函数y f x 的导数的一般方法 求函数的改变量2 求平均变化率3 求值 一差 二比 三极限 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 典例分析 小结 由导数的定义可得求导数的一般步骤 1 求函数的增量 y f x0 t f x0 2 求平均变化率 3 求极限 想一想1 1 x0 x一定比x0大吗 2 导数y f x 从x1到x2的平均变化率一定存在吗 3 导数y f x 在x0处的瞬时变化率一定存在吗 提示 1 不一定 x是一个相对于x的变化量 可正可负 但不能为0 2 一定存在 因为x1 x2属于导数的定义域且x1 x2 3 不一定 当且仅当y f x 在x0到x0 x的平均变化率的极限存在时 函数y f x 在x0处的瞬时变化率存在 1 1变化率与导数 1 1 3导数的几何意义 探究 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 斜率 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个确定位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 切线定义 要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 切线定义解析 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即 故曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 函数导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 跟踪训练求曲线f x x2 2x 1在点P 1 f 1 处的切线方程 名师点评 求切点坐标可以按以下步骤进行 1 设出切点坐标 2 利用导数或斜率公式求出斜率 3 利用斜率关系列方程 求出切点的横坐标 4 把横坐标代入曲线或切线方程 求出切点纵坐标 易错警示求曲线的切线方程中 过 在 不分致误过点P 1 1 作曲线y x3的切线 求此切线方程 常见错误 由于P 1 1 在曲线y x3上 认为切点是 1 1 从而得切线方程为3x y 2 0 而忽