拉普拉斯变换在系统分析中的应用.ppt

第5章拉普拉氏变换 第6章拉普拉氏变换在系统分析中的应用 6 1连续时间LTI系统的复频率分析6 2系统函数6 3系统函数的表示形式与系统的联接结构6 4零极点分布与系统时域特性的关系6 5零极点分布与系统频域特性的关系6 6零极点分布与系统稳定性的关系6 7几种常用系统的系统函数及其频率特性6 8波特图 系统频率特性的工程表示 本章要点 6 1连续时间LTI系统的复频域分析6 1 1松弛线性系统的复频域分析松弛系统 如果一个系统初始状态为零 则称该系统是松弛的 一个松弛系统在任意输入信号激励下的响应 称零状态响应 回目录 若LTI系统的输入信号为f t 零状态响应为 冲激响应为h t 则由连续系统的时域分析可知 6 1 1 连续信号的复频域分解我们从信号分解的角度理解一下拉氏反变换的定义 即 6 2 式中F s 是信号f t 的拉氏变换 回目录 2 基本信号激励下的零状态响应由式 6 1 当输入信号时 有 6 3 式中H s 是系统冲激响应h t 的拉氏变换 称为连续时间LTI系统的系统函数或传递函数 回目录 3 一般信号f t 激励下系统的零状态响应若一般信号f t 是因果信号 且其拉氏变换存在 由式 6 1 f t 可分解为复指数信号之和 为复数幅度为基本信号应用叠加原理 回目录 3 一般信号f t 激励下系统的零状态响应所以 6 4 若用表示的拉氏变换 则对照拉氏变换与拉氏反变换的定义式 可以直接由 6 4 得到 6 5 回目录 4 松弛线性系统微分方程的复频域求解n阶LTI系统的n阶常系数线性根据拉氏变换的线性性质和时域微分性质 当激励信号为因果信号时 两端取拉氏变换有 回目录 4 松弛线性系统微分方程的复频域求解求解得 6 6 式中 6 7 式 6 6 中 H s 是系统的传递函数 A s 称为系统的特征多项式 A s 0称为系统的特征方程 A s 0的根称为系统的特征根 回目录 例6 1某系统由如下微分方程描述 系统初始条件为0 求系统的冲激响应 解 对原方程两边做拉氏变换 并注意到初始条件为0 得根据题意 即有 则上式为求拉式反变换 得 回目录 6 1 2增量线性系统的复频域分析系统并非都是零初始状态的 当一个LTI系统的初始条件不全为零时 称其为增量线性系统 设n阶连续LTI系统的微分方程为式中为实常数对上式两边求拉氏变换 得或者 回目录 分别令则有 6 8 式中第一项与式 6 6 完全相同 仅与输入F s 有关 是系统的零状态响应 第二项只与系统的初始状态值有关 而与输入F s 无关 是系统的零输入响应 取拉式反变换 回目录 注意几个问题 1 一个系统的系统特征多项式 进而一个系统的系统函数与系统的初始状态无关 2 将拉氏变换应用于线性增量系统的分析 不能直接使用 6 6 式 3 对n阶LTI系统于是又若输入信号是因果的 则 而一般故 回目录 例6 2已知某系统由如下常系数线性微分方程所描述其初始条件 求时系统的响应 解 对原方程两边进行拉氏变换 有整理并代入初始条件和 得 回目录 显然上式中右边第一项与初始条件和系统特性有关 对应系统的零输入响应 第二项与输入和系统特性有关 对应系统的零状态响应 对上式作部分分式展开 有进行拉氏反变换其中 第一部分为零输入响应 第二部分为零状态响应 回目录 6 1 3系统的复频域分析1 RLC系统的复频域模型表6 1系统时域模型与复频域模型对照表 回目录 回目录 回目录 2 RLC系统的复频域分析方法例6 3如题图 a 所示的电路正处于稳态 t 0时开关K由端点 1 打到端点 2 已知输入信号为 试求输出电压的零输入响应 零状态响应和完全响应 解 基于S域模型法求解 1 根据题意 先求出电路在时的初始状态 回目录 2 进而确定出电路中输入信号的象函数及电容C 电感L元件的S域 模型如图 b 将其用于电路 得到S域模型电路如图 c 3 将图 c 分解为求零输入响应和零状态响应的两种电路模型如图 d 图 e 4 对图 d 应用KCL的S域形式 代入元件参数 有解得 回目录 5 对图e应用KCL的S域形式 得即 解得 6 求完全响应 求拉氏逆变换 求得零输入与零状态响应 回目录 6 2系统函数6 2 1系统函数众所周知 系统函数是工程实际中用以描述LTI系统的最主要方法 因此 人们也从不同角度出发 用不同的方式定义了系统函数 这也就确定了系统函数有多种求取途径 方法一 系统函数H s 被定义为系统零状态响应的拉氏变换与输入信号的拉氏变换F s 的比值 即 6 9 因此 若已知或方便求得系统零状态响应的拉氏变换和激励信号的拉氏变换F s 回目录 方法二 系统函数H S 是系统冲激响应h t 的拉氏变换 即 6 10 在输入信号时 系统响应的拉氏变换就是系统冲激响应的拉氏变换H s 从而可以借用 6 10 求取系统函数 方法三 由系统方程求H s 根据式 6 9 有 6 11 可见 我们可以直接由系统的微分方程的系数写出相应系统函数H s 回目录 方法四 当输入信号f t 的形式是系统的特征函数时 即时 有 6 12 即当激励信号是系统的特征函数时 系统函数是系统时域响应中的加权系数 据此也可以求取H s 回目录 方法五 对一个RLC系统 将其等效到s域 则应用正弦稳态响应的相变量分析法及电路理论中的相关定理求取其系统函数 往往更为方便 应用这种方法时 无论系统的实际状态如何 总可以认为它是全零初始状态的 回目录 例6 4求下图所示系统的系统函数H s 解 由于t 0 开关K从 1 转向 2 时 电容C 电阻R 电感L构成了一个新的RLC系统 即相当于向RL部分加入了一个值为的激励f t 和一个零值电容C 在这种情况下 原电路的s域等效模型如图6 2 b 问题为求图6 2 b 所示系统的系统函数 图中是系统的激励 由电路知识 KVL VAR等 可直接写出 回目录 代入数值 并应用 6 9 式 有 回目录 方法六 梅森规则 Mason sRule 介绍几个名词 1 信号流图 由表示信号的节点和称为支路的有向线段组成的线图 用以表示系统的输入输出关系 是方框图的一种简化形式 2 回路 也称环 是起点和终点为同一节点的通路 3 支路 连接两个节点的有向线段称支路 支路增益和支路传输函数通常写在该支路的旁边 4 节点 信号流图中表示信号的点 仅有输出支路的节点称源点 仅有输入支路的节点称汇点 5 开路 一条通路与它经过的任一节点只能相遇一次 这样的通路称开路 6 通路 从一节点出发沿支路传输方向 连续经过若干支路和节点到达另一节点之间的路径称通路 回目录 梅森公式可叙述如下 6 13 式中 称为系统的特征行列式 定义为 6 14 回目录 6 14 式中各项的含义是 表示所有回路的回路传输函数之和 如是第i个回路的传输函数 它等于构成这个回路的各支路的支路传输函数的乘积 信号在回路即支路中不能逆向流动 回目录 表示所有两两互不接触回路的回路传输函数的乘积之和 所谓两两互不接触回路 是指两个回路没有公共的节点或支路 表示所有三三互不接触回路的三个回路传输函数的乘积之和 其互不接触的概念与上相同 以此类推 会有 等等 回目录 例6 5求用Mason规则求图6 3系统的系统函数解 先画出图6 3系统的信号流图 回目录 从信号流图可见 图中有三条开路 两个回路 无互不接触回路故由 6 13 和 6 14 可直接写出 回目录 6 3系统函数的表示形式与系统的联接结构6 3 1系统函数的表示形式一个连续时间LTI系统的系统函数一般可以表示为两个s的有理多项式的比值 为方便将式 6 14 重写如下 6 15 回目录 如果将具有共轭复零点和复极点的两个因子合并成一个实数的二阶因子 则可将上式改写为更一般的形式 6 16 回目录 式中p为复共轭零点的对数 q为复共轭极点的对数 不失一般性 假定m n p q 则H s 可表示为 6 17 回目录 若假定系统H s 不含重极点 则将 6 10 式展开为部分分式 H s 还可以表示为 6 18 回目录 6 3 2系统的级联结构直接型级联结构的特点是系统结构与系统的微分方程相对应 有几种获得直接型级联结构的方法 不失一般性 对 6 15 式的分子分母同除以 则 6 19 回目录 1 直接I型级联结构将式 6 19 写成如下形式 6 20 其中 称为全零点型系统 称为全极点型系统 回目录 图6 5H s 的直接I型级联结构用直接I型级联结构实现H s 需要n m个积分器 回目录 2 直接 型级联结构另一种获得直接 型结构的方法是利用梅森公式 为此改写式 6 19 如下 6 21 将式 6 21 与梅森公式比较可知 该系统有n个回路 第i个回路的回路传输函数是 没有两两不相邻的回路 有m 1条开路 第j条开路的开路传输函数是 对应每一条开路 去掉该条开路后 所剩余子图的特征行列式为1 据此可得到的直接 型级联结构 回目录 3 系统的并联结构根据系统函数的表达式 6 18 可以由q个二阶系统和 n 2q 个一阶系统的并联来实现 其中一阶系统的系统函数的一般形式为 根据梅森公式可以得到该一阶系统的单元结构 如图6 7 显然这是一个直接 型结构 同理 二阶系统的系统函数的一般形式为 回目录 系统的并联实现有如下特点 a 并联实现结构由一阶和二阶单元系统的并联组合实现 系统结构比较规范 便于分析 b 除积分环节之外 前向支路的各支路传递函数由部分分式展开系数 确定 后向支路的支路传递函数由系统的极点 确定 c 由于采用并联结构 故调整和改变某一并联单元的系统函数和极点参数 不影响其它并联支路 这为具体系统的调试带来了很大的方便 回目录 6 4系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系重写H s 如下 6 22 式中为r重极点 为一阶极点 对上式求拉氏变换 可求得其所描述的系统的冲激响应为 6 23 回目录 6 4 1左半平面的极点设 其中 均为正实数 则1 若是实极点 此时 位于左半平面实轴之上 对一阶实极点 相应的冲激响应为 6 24 是指数衰减的 且越大 即离轴越远 衰减越快 对二阶实极点 相应的冲激响应为 6 25 回目录 2 若是复极点 此时位于左半平面负实轴之外 由于复极点成共轭对出现 故也必是一个极点 它与构成一个复共轭极点对 对一阶复极点 相应的冲激响应为 6 26 是一个包络呈指数衰减的振荡 极点离轴越远 衰减越快 极点离实轴越远 振荡频率越高 回目录 对二阶复极点 r 2 相应的冲激响应为 6 27 回目录 6 4 2轴上的极点对一阶纯虚极点 相应的冲激响应为 6 28 对二阶纯虚极点 相应的冲激响应为 6 29 回目录 对二阶纯虚极点 相应的冲激响应为 6 29 特别当位于原点时 对原点处的一阶极点 对应的冲激响应为 6 30 对原点处的二阶极点 6 31 回目录 6 4 3右半平面的极点1 若是实极点 此时 位于右半平面正实轴之上 对一阶实极点 相应的冲激响应为 6 32 是指数增长的 极点离轴越远 增长越快 对二阶实极点 相应的冲激响应为 6 33 回目录 2 若是复极点 此时位于右半平面正实轴之外 由于复极点成共轭对出现 也必定是一个极点 它与构成一个右半平面的复共轭极点对 对一阶复极点 相应的冲激响应为 6 34 是一个包络呈指数增长的振荡 极点离轴越远 增长越快 极点离实轴越远 振荡频率越高 回目录 对二阶复极点 r 2 相应的冲激响应为 6 35 回目录 从以上讨论可以得到如下结论 1 H s 在左半s平面的极点对应的时域函数都是呈指数规律衰减的 且极点位置离轴愈远 衰减速度愈快 2 H s 在轴上的极点 原点处的极点除外 对应的时域函数为正弦振荡函数 且极点位置离原点愈远 振荡频率愈高 回目录 回目录 3 H s 在原点处的一阶极点 对应的时域函数是阶跃函数 在原点处的二阶及其二阶以上的极点 对应的时域函数是时间t的单调增函数 且t 时 其值趋于无穷大 4 H s 在右半s平面的极点 无论是一阶极点还是重极点 对应的时域函数都随时间的增长而增长 回目录 6 5系统函数的零极点分布与系统频率特性的关系系统的频率特性是系统单位冲激响应h t 的傅里叶变换 即 6 36 回目录 对一个稳定系统 h t 是因果的 故从拉氏变换的角度看 上式也可以表示为 6 37 并有关系 6 38 一般地 一个稳定LIT系统的频率特性可以表示为 6 39 回目录 则分子因子和分母因子可用差矢量表示如下 6 40 式中 6 41 分别为的幅度频率特性和相位频率特性 回目录 从以上可见 系统的频率特性完全取决于系统函数零极点位置的分布 因此 根据系统函数的零极点在s平面的分布 用几何求值的方法就可以求得系统的幅度频率特性和相位频率特性 其基本步骤是 第一步 确定H s 的零点和极点 第二步 构成差矢量 并整理出式 6 40 第三步 在s平面作图如图6 11 第四步 研究变化时 H 和 的变化趋势 并画出相应的曲线 回目录 例6 6求一阶系统的幅频特性和相频特性解 根据式 6 40 可以写出其中 回目录 据上分析做出如图6 12所示 回目录 例6 7求一阶系统的幅频特性和相频特性解 根据式 6 40 可以写出其中 回目录 据上分析做出如图6 13所示 回目录 例6 8求二阶系统的幅频特性和相频特性解 系统在s 0处有一个零点 在和处有复数极点 且于是有由式 6 39 该系统的频率响应为 回目录 其中 回目录 6 6系统函数的零极点分布与系统稳定性的关系6 6 1系统稳定性的概念和意义一个系统如果对任意有界的输入产生的零状态响应是有界的 则称该系统是有界输出意义下的稳定系统 简称稳定系统 回目录 即如果一个系统对任意激励 6 42 其零状态响应为 6 43 则称该系统是稳定的 其中 为正实常数 可以证明上述关于系统稳定性要求可以转换为对系统冲激响应h t 的要求 6 44 式 6 44 是系统稳定的充分必要条件 其中M为正实常数 回目录 6 6 2稳定系统的零极点分布我们再从复频域研究一下系统的稳定性 由于系统的冲激响应H t 和系统函数H s 构成一对拉氏变换 而冲激响应绝对可积 式 6 44 是系统稳定的充分必要条件 也就是说 6 45 的收敛域是包含轴在内的右半s平面 换句话说 系统函数的所有极点都位于左半s平面 回目录 6 6 3系统的稳定性准则1 罗斯阵列设n阶LIT系统的系统函数为 6 46 回目录 式中 都是实常数 H s 的分母多项式A s 称为系统多项式 6 47 罗斯阵列就是以A s 为基础构成的系统阵列 其组成规则如下 先将A s 的系数排成如下所示两行 6 48 回目录 罗斯阵列有n 1行 第n 1行以后各行均为零 第三行及以后各行的元素按以下规则计算 6 49 以此类推 直到计算出第n 1行元素位置 回目录 仔细观察式 6 49 中各元素的运算规则 可以得知 第j行第k列的元素由其前两行的第一列和第k 1列所在的四个元素决定 几个元素的计算有以下一般规则 6 50 式中表示第j行第k列的元素 回目录 2 罗斯判据 罗斯准则 罗斯判据指出 多项式A s 是霍尔维兹多项式的充分必要条件是罗斯阵列第一列的元素均大于零 即如果罗斯阵列的第一列元素均为不等于零的正值 则A s 的根也就是系统的极点都在左半s平面 如果第一列元素的符号不完相同 那麽变号的次数就是A s 在右半平面根的数目 回目录 3 罗斯阵列计算中几个需要说明的问题 1 在罗斯阵列中 任何一行的元素可以同乘或同除一个正数而不会改变判别的结果 2 若某行的第一列的元素为零而其余元素不全为零时 为了继续计算下一行的元素 可将其用任意小的数 代替 因为第一列的元素符号改变的总次数与 的符号无关 或者将系统多项式A s 的系数颠倒排列重写出阵列的前两行 即a0a2a1a3 回目录 3 若在计算中出现了全为零的行 可以用全零行的前一行的系数构成一个关于s的辅助多项式C s 这个辅助多项式一定是全偶多项式 并用C s 的导数的系数代替全零行 以完成整个阵列的计算 回目录 例6 9求的罗斯阵列解 因为 其罗斯阵列为 行第一列第四行出现全零行 为此用其前一行的系数构成一个辅助多项式C s C s 中的最高次幂可以这样确定 即将A s 的最高幂置为第一行之前 并依次在下一行中降低幂次 本例中与全零行前一行对应的为 回目录 又因C s 一定是全偶多项式 故有则用的系数代替全零行后 完成的计算结果如下 回目录 4 罗斯 霍尔维兹准则应用小结例6 10已知某系统如图6 15所示 为使系统稳定 试确定常数k应满足什麽条件 回目录 解 应用梅森规则可以写出由分母多项式构成罗斯阵列为 回目录 根据罗斯判据 如果系统是稳定的 则A s 应是霍尔维兹多项式 即上面罗斯阵列中第一列元素应为正值 故有 解得 解得所以 当时系统是稳定的讨论 由于罗斯陈列中的第1行 第2行中第1列的系数就是系统函数分母多项式的系数 故根据罗斯判据 对一阶系统及二阶系统 若系统多项式的系数同号 则相应系统是稳定的 否则是不稳定的 对三阶及其三阶以上系统 若系统多项式缺项或多项式的系数异号 则系统是不稳定的 若分母多项式的系数同号且不缺项 则系统多项式A s 满足霍尔维兹多项式的必要条件 但系统是否稳定需要用罗斯准则进一步判断 回目录 6 7几种常用系统的系统函数及其频率特性6 7 1全通系统顾名思义 全通系统就是让所有频率的信号全部都能按同样的幅度传输通过的系统 因此全通系统的幅频特性必定是一个常数 回目录 全通系统的系统函数具有如下形式 6 51 推广到n阶全通系统有 6 52 或 6 53 式中为系统极点所对应的相位角 为零点所对应得相位角 回目录 6 7 2最小相移系统一个系统是最小相移的 则该系统的全部零极点都位于左半平面 包括轴 若不满足这一点 则系统是非最小相移的 6 54 这表明 对于具有相同幅频特性的系统 当系统的零点全部位于左半平面或轴上时 系统频率响应的相位特性比在右半平面有零点的系统的相位特性小 所以称零极点全部在左半平面的系统为最小相移系统 回目录 6 7 3可实现的低通滤波系统1 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器的幅度频率响应具有如下形式 6 56 式中N称为滤波器的阶数 对式 6 56 两边平方 得滤波器频率响应的幅度响应的幅度平方函数 6 57 回目录 由于有 6 58 求得 6 59 回目录 6 8波特图 系统频率特性的工程表示 前面我们讨论过两种获取频率特性曲线的方法 一是