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三维球对称势问题定态薛定鄂方程 分立变量后 径向方程 角方程令 径向方程可以化为 角方程就是轨道角动量平方的本征值方程 在径向方程中 称为等效势称为离心项, 此项类似于经典力学中的离心力，使粒子有向外的倾向（背离原点）。例题1对无限深球势阱， 求其波函数和允许的能量值。解：在势阱外面，波函数是零；在势阱里面，径向方程为： 和通常一样，式中 我们的问题是在给定的边界条件下求解这个方程。时比较简单： 不过要记住，实际的径向波函数是，当时，趋于无穷大。因此我们必须选择。边界条件又要求，因此，其中是整数。允许的能量显然为： 这同一维无限深方势阱（2.27式）一样。归一化得到；考虑角度部分（此刻的例子中是平凡的，），我们得到： 注意到定态是由三个量子数来标记，和，。而能量：，仅与有关。方程4.41的一般解（对任意整数）： 其中是阶的球Bessel函数 ，是阶的球Neumann函数。它们的定义如下： 在原点，球贝塞尔函数是有限的，但球Neumann函数是无穷大。这样，我们必须选择，因此： 我们还有边界条件，。显然必须满足： 即（）是第阶球Bessel函数的零点。球Bessel函数是振荡的,每个函数都有无限多个零点。可是（不幸的是）这些零点不是处在优美的敏感点（如，或类似的点）；它们必须通过数值计算得到。总之，边界条件要求 这里是阶球Bessel函数的第个零点。这样允许的能量值可以写作 波函数为： 式中常数由归一化确定。每个能级都是重简并的，因为对应每个值，有个不同的值。类氢原子径向方程 能量本征值 波函数 简并度 (不考虑自旋, 考虑自旋为)例题2 三维谐振子的哈密顿为 试求的共同本征函数解: 本来这个哈密顿可以分为x,y,z三个方向上三个谐振子的方程,不过题要求求,的共同本征函数,所以需要按求解氢原子本征函数的方法做方便起见,令 ,的共同本征函数表示为 其中球谐函数满足角动量平方本征方程代入能量本征值方程,得到满足的径向方程令 上式可以化为 (1)如果我们令, 则(1)式写为 这个方程在形式上就和类氢原子的径向方程一样了(只不过变为了)(库仑势为 ) (原子核带电数) “能量” 本征值是 把, (1-1)代入上式,并考虑到, 可以得到能量本征值为径向波函数为例题3(a) 证明三维维里(Virial)定理：（对于定态） (b) 利用三维维里定理证明氢原子满足： (c) 利用维里定理证明三维谐振子
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