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第八章轴向拉伸和压缩 8 1轴向拉伸和压缩的概念和实例 8 2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 8 3轴向拉伸或压缩时的变形 8 4材料拉伸时的力学性能 8 5材料压缩时的力学性能 8 6轴向拉伸或压缩时的强度计算 8 7应力集中的概念 8 8拉伸与压缩的静不定问题 8 9轴向拉伸或压缩的应变能 8 1轴向拉伸和压缩的概念和实例 工程中有很多构件 例如屋架中的杆 是等直杆 作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合 在这种受力情况下 杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短 屋架结构简图 受轴向外力作用的等截面直杆 拉杆和压杆 1 特点 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短 杆的受力简图为 工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆 一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓 在紧固时 要对螺栓施加预紧力 螺栓承受轴向拉力 将发生伸长变形 工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆 例如 由汽缸 活塞 连杆所组成的机构中 不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力 带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束 因而也是承受轴向载荷的杆件 工程实例 8 2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 材料力学中所研究的内力 物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量 1横截面上的内力 根据可变形固体的连续性假设 内力在物体内连续分布 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶 主矢和主矩 简称为该截面上的内力 实为分布内力系的合成 如何确定轴向拉伸 压缩 的内力和内力图 截面法 FN 轴向力 简称轴力 FN 拉压杆件截面上分布内力系的合力 作用线与杆件的轴线重合 单位 kN FN 轴力正负号规定及其他注意点 1 同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 2 轴力以拉 效果 为正 压 效果 为负 符号为正 符号为负 3 如果杆件受到外力多于两个 则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力 截面法求轴力 绘制轴力图 FN F 1 假想地截开指定截面 2 用内力代替另一部分对所取分离体的作用力 3 根据分离体的平衡求出内力值 步骤 横截面m m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合 垂直于横截面并通过其形心 轴力 无论取横截面m m的左边或右边为分离体均可 轴力的正负也可以按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定 当轴力背离截面产生伸长变形为正 反之 当轴力指向截面产生缩短变形为负 轴力与截面外法线同向为正 反之为负 轴力图 FN图 显示横截面上轴力与横截面位置的关系 例题8 1试作此杆的轴力图 等直杆的受力示意图 a 为求轴力方便 先求出约束力FR 10kN 为方便 取横截面1 1左边为分离体 假设轴力为拉力 得FN1 10kN 拉力 解 为方便取截面3 3右边为分离体 假设轴力为拉力 FN2 50kN 拉力 FN3 5kN 压力 同理 FN4 20kN 拉力 轴力图 FN图 显示了各段杆横截面上的轴力 思考 为何在F1 F2 F3作用着的B C D截面处轴力图发生突变 能否认为C截面上的轴力为55kN 例题8 2 试求直杆在外力作用下I III IIIII III截面的轴力 解 取I I截面左侧为自由体 进行受力分析 轴力预先设为正 拉 列平衡方程求FN1 FN1 5kN 正拉负压 同法求II截面上的内力 列平衡方程求FN2 若取截面的右侧则 注意 同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 同法求III截面上的内力 可取右侧计算较为简单 将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 内力图 将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 轴力图 例题8 3 试画出图示杆件的轴力图 已知F1 10kN F2 20kN F3 35kN F4 25kN 解 1 计算杆件各段的轴力 A B C D AB段 BC段 CD段 2 绘制轴力图 内力图的两种画法 课堂练习 时间3分钟 试画出下列直杆的轴力图 你做对了吗 例题8 4 试作此杆的轴力图 解 2横截面上的应力 杆件的强度不仅与轴力的大小有关 还与杆件的横截面的面积有关 必须用应力来比较和判断杆件的强度 观察中间部分 拉伸变形后 竖线仍然相互轴线 只是发生了平移 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持平面且垂直于轴线 由上述假设 拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的 根据胡克定律 横截面上的各点正应力亦相等 且分布均匀 思考 横截面上有没有切应力 横截面上的各点正应力亦相等 且分布均匀 有 得到横截面上正应力公式为 适用条件 A 轴向拉压 B 离杆件受力区域较远处的横截面 正应力 拉应力为 压应力为 FN 轴力A 横截面面积 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆 x是横截面的位置 注意 1 上述正应力计算公式来自于平截面假设 对于某些特定杆件 例如锲形变截面杆 受拉伸 压缩 时 平截面假设不成立 故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力 2 即使是等直杆 在外力作用点附近 横截面上的应力情况复杂 实际上也不能应用上述公式 3 圣维南 Saint Venant 原理 力作用于杆端方式的不同 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响 3 圣维南原理 圣维南原理 将原力系用静力等效的新力系来替代 除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外 在离力系作用区域略远处 该影响就非常小 有限元分析的圣维南原理 例题8 5 阶梯杆OD 左端固定 受力如图所示 OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的两倍 求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及其位置 1 求反力 易知O处反力仅有水平方向的分量FOx 2 画出轴力图 因此FNmax 3F在OB段 性质为拉力 3 计算应力 最大应力位于CD段 最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置 例题8 6 图示结构 试求杆件AB CB的应力 已知F 20kN 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆 水平杆CB为15 15的方截面杆 解 1 计算各杆件的轴力 设斜杆为1杆 水平杆为2杆 用截面法取节点B为研究对象 45 45 2 计算各杆件的应力 例题8 7试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力 已知F 50kN 段柱横截面上的正应力 所以 最大工作应力为smax s2 1 1MPa 压应力 解 段柱横截面上的正应力 压应力 压应力 4 斜截面上的应力 拉 压 杆斜截面上的应力 斜截面上的内力 变形假设 两平行的斜截面在杆受拉 压 而变形后仍相互平行 两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同 斜截面上的总应力 推论 斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同 即斜截面上各点处的总应力pa相等 式中 为拉 压 杆横截面上 a 0 的正应力 斜截面上的正应力 normalstress 和切应力 shearingstress 正应力和切应力的正负规定 思考 1 写出图示拉杆其斜截面k k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系 并示出它们在图示分离体的斜截面k k上的指向 2 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上 绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上 8 3轴向拉伸或压缩时的变形 1 纵向变形 轴向变形 基本情况下 等直杆 两端受轴向力 杆件在轴线方向的伸长 纵向应变 直杆在其轴线的外力作用下 纵向发生伸长或缩短变形 而其横向变形相应变细或变粗 由胡克定律 得到轴向拉压变形公式 纵向总变形 l 反映绝对变形量 纵向线应变 反映变形程度 公式的适用条件 1 线弹性范围以内 材料符合胡克定律 2 在计算杆件的伸长时 l长度内其FN A l均应为常数 若为变截面杆或阶梯杆 则应进行分段计算或积分计算 胡克定律 试验表明 对于工程中常用材料制成的杆件 在弹性范围内加载时 构件只发生弹性变形 若所取单元体只承受单方向正应力或只承受切应力 则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在线性关系 E 材料的杨氏弹性模量 G 材料的切变模量 RobertHooke 引进比例常数E 且注意到F FN 有 胡克定律 Hooke slaw 适用于拉 压 杆 式中 E称为弹性模量 modulusofelasticity 由实验测定 其量纲为ML 1T 2 单位为Pa EA 杆的拉伸 压缩 刚度 胡克定律 Hooke slaw 工程中常用材料制成的拉 压 杆 当应力不超过材料的某一特征值 比例极限 时 若两端受力 胡克定律的另一表达形式 单轴应力状态下的胡克定律 低碳钢 Q235 横向也会发生变形 横向应变 通过试验发现 当材料在弹性范围内时 拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系 泊松比 泊松比m 弹性模量E 切变模量G都是材料的弹性常数 可以通过实验测得 对于各向同性材料 可以证明三者之间存在着下面的关系 2 横向变形 小结 一纵向变形 二横向变形 都是材料的弹性常数 钢材的E约为200GPa 约为0 25 0 33 E为弹性摸量 EA为抗拉刚度 泊松比 横向应变 2 横截面B C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系 思考 等直杆受力如图 已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E 1 列出各段杆的纵向总变形 lAB lBC lCD以及整个杆纵向变形的表达式 位移 变形 位移 变形 例8 9 例题8 10 如图所示阶梯形直杆 已知该杆AB段横截面面积A1 800mm2 BC段横截面面积A2 240mm2 杆件材料的弹性模量E 200GPa 求该杆的总伸长量 1 求出轴力 并画出轴力图 2 求伸长量 mm 伸长 缩短 缩短 一 实验的基本情况 要对杆件进行强度 刚度分析 除了要进行应力和变形计算以外 还必须了解组成杆件材料的力学性能 材料的力学性能是指 材料在外力作用下表现出来的变形 破坏等方面的特性 它主要通过实验来测定 实验均是在常温下 宜缓慢平稳的方式进行加载的 也称为常温静载试验 8 4材料拉伸时的力学性能 1 拉伸试验的目的 A 测定低碳钢拉伸的力学性能 B 测定灰口铸铁的抗拉强度 2 试验仪器 A 液压式万能试验机 C 观察低碳钢拉伸过程中的各种现象 并绘制拉伸曲线 B 游标卡尺 3 液压式万能试验机 万能试验机 4 试件和实验条件 试件和实验条件 常温 静载 1 拉伸试验的试件 国家标准GB6397 86 金属拉伸试验试样 试件中段用于测量拉伸变形 此段长度称为 标距 L0 两端较粗部分是夹持部分 为装入试验机夹头用 长试件 短试件 1 低碳钢拉伸试验的过程 1 在画线器上对试件画上标距 并在其内分若干等分格 2 量试件直径 3 估计所需要的最大载荷 选择测力度盘 4 调整试验机 装卡试件 5 加载 观察试件拉伸时的四个阶段 记录数据 绘制F DL曲线 6 关闭送油阀 关闭油泵电机 打开回油阀 取下试件 7 测量断后数据 分析整理数据 低碳钢的拉伸 二 低碳钢拉伸时的力学性能 2 s e曲线图 由测量得到的F DL曲线可以转换为s e曲线 纵坐标 试样的抗力F 通常称为荷载 横坐标 试样工作段的伸长量 3 低碳钢Q235拉伸曲线的四个阶段 对低碳钢Q235试件进行拉伸试验 通过s e曲线 整个试验过程可以分为四个阶段 弹性阶段屈服阶段强化阶段局部变形 颈缩 阶段 低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段 1 阶段 弹性阶段变形完全是弹性的 弹性阶段 Oa段应力与应变成正比 弹性模量E是直线Oa的斜率 直线部分的最高点a所对应的应力称为比例极限 sp Oa段材料处于线弹性阶段 ab段不再为直线 但解除拉力后变形仍可完全消失 弹性变形 材料只出现弹性变形的极限值 弹性极限 st 当应力大于弹性极限后 若再解除拉力 则试样会议留下一部分不能消失的变形 塑性变形 2 阶段 屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧增大 但抗力只在很小范围内波动 应力基本保持不变 应变显著增加 屈服 流动 此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形 在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45 的条纹 这是由于材料内部相对滑移形成的 称为滑移线 当 45 时 a的绝对值最大 屈服阶段 在屈服阶段内的最高应力和最低应力称为上屈服极限和下屈服极限 上屈服极限的数值与试件形状 加载速度等因素有关 一般是不稳定的 下屈服极限则有比较稳定的数值 能够反映材料的性能 屈服阶段 通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服点 材料屈服表现为显著的塑性变形 而零件的塑性变形将影响机器的正常工作 所以屈服极限是衡量材料强度的重要指标 Q235ss 235MPa 3 阶段 强化阶段 强化阶段 过屈服阶段后 材料又恢复了抵抗变形的能力 要使它继续变形 必须增加拉力 这种现象称为材料的强化 最高点e所对应的应力 材料所能承受的最大应力 称为强度极限或抗拉极限 它是衡量材料强度的另一个重要指标 在强化阶段中 试样的横向尺寸有明显的缩小 4 阶段 局部变形阶段试样上出现局部收缩 颈缩 并导致断裂 局部变形 颈缩阶段 低碳钢s e曲线上的特征点 比例极限sp proportionallimit 弹性极限se elasticlimit 屈服极限ss 屈服的低限 yieldlimit 强度极限sb 拉伸强度 ultimatestrength Q235钢的主要强度指标 ss 240MPa sb 390MPa 低碳钢拉伸破坏断口 5 伸长率和断面收缩率 断后伸长率 断面收缩率 为塑性材料 为脆性材料 低碳钢的 为塑性材料 6 卸载定律及冷作硬化 如果把试件拉到超过屈服极限的d点 此时卸载 应力应变关系沿dd 回到d 点 dd 与Oa平行 卸载过程中 应力和应变按照直线规律变化这就是卸载定律 1 弹性范围内卸载 再加载 2 过弹性范围卸载 再加载 即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系 这就是卸载定律 卸载后短期内再次加载 可见在再次加载时 直到d点以前的材料的变形都是弹性的 过了d点才开始出现塑性变形 第二次加载时 其比例极限得到了提高 但是塑性变形和延伸率却有所下降 这种现象称为冷作硬化 工程中经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶段 如起重的钢丝绳和建筑用的钢筋 常以冷拔工艺提高强度 又如对某些零件进行喷丸处理 使其表面发生塑性变形 形成冷硬层 以提高零件表面层的强度 但另一方面 零件初加工后 由于冷作硬化使材料变硬变脆 给下一步加工造成困难 很容易产生裂纹 往往需要在工序之间安排退火 以消除冷作硬化的影响 7 其他塑性材料拉伸时的力学性能 有些材料 明显的四个阶段 有些材料 没有屈服 颈缩阶段 但有弹性阶段和强化阶段 对于没有明显屈服点的塑性材料 规定以产生0 2 的塑性应变时的应力作为屈服指标 称为名义屈服点 由s e曲线可见 8 铸铁的拉伸力学性能 铸铁拉伸的应力应变曲线 铸铁拉伸的应力应变曲线 拉伸 与 无明显的线性关系 拉断前应变很小 只能测得 抗拉强度差 弹性模量E以总应变为0 1 时的割线斜率来度量 破坏时沿横截面拉断 割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强度指标 sb 试样拉断时横截面上的真实应力 铸铁拉伸时的应力应变曲线 8 5材料压缩时的力学性能 试件和实验条件 常温 静载 一 低碳钢压缩 金属材料的压缩试样一般都制成很短的圆柱 以免被压弯 参考16章压杆稳定 圆柱高度约为直径的1 3 3倍 混凝土 石料等则制成立方体的试块 粗短圆柱体 h0 1 3d0 低碳钢压缩变扁 不会断裂 由于两端摩擦力影响 形成 腰鼓形 低碳钢压缩的应力应变曲线 在屈服阶段以前 低碳钢压缩力学性能与拉伸力学系能相同 在屈服阶段以后 试件越压越扁 横截面面积不断增大 抗压能力也继续增高 因而测不出压缩时的强度极限 二 铸铁压缩 铸铁压缩的应力应变曲线 压缩后破坏的形式 破坏面与轴线大约成45 55 与拉伸比较 铸铁抗压的强度比抗拉高4 5倍 其他脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同 对于脆性材料 如铸铁 压缩时的应力应变曲线为微弯的曲线 试件压断前出现明显的屈服现象 并沿着与轴线45 55度的斜面压断 c 压缩强度极限 约为800MPa 它是衡量脆性材料 铸铁 压缩的唯一强度指标 远大于拉伸时的强度极限 三 部分常用材料的主要力学性能 一 安全系数和许用应力 要使构件有足够的强度 工作应力应小于材料破坏时的极限应力 工作应力 为了保证构件的正常工作和安全 必须使构件有必要的强度储备 即工作应力应小于材料破坏时的极限应力的若干分之一 8 6轴向拉伸或压缩时的强度计算 由于 1 主客观之间存在差距 如材质不均 载荷计算不精确 构件尺寸变化 计算简图与实际结构的差异 2 考虑强度储备 考虑可能遇到意外事故或其它不利情况 如超载 工作条件恶劣 腐蚀等 故引入安全因数 把极限应力打一个折扣 其具体值应根据构件的材料和具体的工作环境 并结合实验和现实技术水平综合确定 n 安全系数是大于1的数 其值由设计规范规定 把极限应力除以安全系数称作许用应力 常用材料的许用应力约值 适用于常温 静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆 轴向拉伸 轴向压缩 二 强度条件 要使拉压杆有足够的强度 要求杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力 即强度条件为 根据强度条件 可以解决三类问题 2 截面选择已知拉 压 杆材料及所受荷载 按强度条件求杆件横截面面积或尺寸 3 计算许可荷载已知拉 压 杆材料和横截面尺寸 按强度条件确定杆所能容许的最大轴力 进而计算许可荷载 FN max A s 由FN max计算相应的荷载 1 强度校核已知拉 压 杆材料 横截面尺寸及所受荷载 检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为 例题8 11 图示吊环 载荷F 1000kN 两边的斜杆均由两个横截面为矩形的钢杆构成 杆的厚度和宽度分别为b 25mm h 90mm 斜杆的轴线与吊环对称 轴线间的夹角为 200 钢的许用应力为 120MPa 试校核斜杆的强度 解 1 计算各杆件的轴力 研究节点A为的平衡 由于结构的对称性 两杆轴力相等 2 强度校核由于斜杆由两个矩形杆构成 故A 2bh 工作应力为 斜杆强度足够 例题8 12 油缸盖和缸体采用6个螺栓联接 已知油缸内径D 350mm 油压p 1MPa 若螺栓材料的许用应力 40MPa 求螺栓的直径 每个螺栓承受轴力为总压力的1 6 解 油缸内总压力 根据强度条件 即螺栓的轴力为 例题8 14图中 a 所示三角架 杆AC由两根等边角钢组成 杆AB由两根工字钢组成 型钢材料均为Q235钢 F 185KN s 170MPa 试求角钢和工字钢的型号 解 1 根据结点A的受力图 图b 得平衡方程 解得 2 计算各杆的截面尺寸 由强度条件得各杆的截面尺寸 杆AC的每根角钢横截面面积 杆AB的每根工字钢横截面面积 3 查表求型钢号 查型钢表找相应等边角钢和工字钢的横截面面积 书后附录379页 选取角钢89mm 89mm 7mm 截面面积为1086平方mm 书后附录394页 选取10号工字钢 面积为1434平方mm 例题8 19 图示结构 已知斜杆AC为50 50 5的等边角钢 水平杆AB为10号槽钢 材料的许用应力为 120MPa 试求许可载荷F 解 1 计算杆件的轴力 斜杆为1杆 水平杆为2杆 节点A 2 根据斜杆的强度 求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1 2 4 8cm2 3 根据水平杆的强度 求许可载荷 4 许可载荷 查表得水平杆AB的面积为A2 2 12 74cm2 一 应力集中 stressconcentration 由圣维南原理知 等直杆受轴向拉伸或压缩时 在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的 但是 如果杆截面尺寸有突然变化 比如杆上有孔洞 沟槽或者制成阶梯时 截面突变处局部区域的应力将急剧增大 这种现象称为应力集中 8 7应力集中的概念 应力集中 应力集中因数 截面尺寸改变越急剧 孔越小 圆角越小 应力集中的程度就越严重 应力集中对脆性材料的影响严重 应特别注意 均匀的脆性材料或塑性差的材料 如高强度钢 制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响 非均匀的脆性材料 如铸铁 其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素 故可不考虑外部因素引起的应力集中 塑性材料制成的杆件受静荷载时 通常可不考虑应力集中的影响 二 应力集中对强度的影响 一 静不定的概念 结构按静力学特性可以分成静定结构和静不定结构两类 如图所示 求固定端的约束反力 平面任意力系 通过静力学平衡方程可以解出全部的三个约束反力 若在C处增加一个约束 则无法仅通过静力学平衡方程求出全部的四个未知力 8 8拉伸与压缩的静不定问题 若结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得 称为静定结构 若结构的约束反力与内力不能仅仅根据静力平衡方程求出 称为静不定结构或超静定结构 比较上下两图 下面的图中是在上面的图中增加了一个约束 在静定结构上增加的约束 称为多余约束 相应的反力称为多余约束力 多余约束并不 多余 通过增加多余约束 可提高安全度 减少变形 超静定次数 约束反力 轴力 多于独立平衡方程的数 独立平衡方程数 平面一般力系 3个平衡方程 平面汇交力系 2个平衡方程 平面平行力系 2个平衡方程 平面共线力系 1个平衡方程 2 拉压静不定问题 如图所示 求三杆的轴力 问题 这个结构是静定的还是静不定的 如果是静不定问题 那么有静不定次数是多少 这个结构是次静不定 1 拉 压超静定问题 先对A点进行受力分析 写出2个平衡方程 2个方程不能求3个未知量 还需要增加一个补充方程 通过三杆的变形及A点的位移找出变形协调方程 补充方程 变形几何关系 设AC杆长为l得到变形协调方程 结合前面的静力学方程 得到结果是 一般拉压静不定问题的基本步骤 1 根据静力学原理列出独立的平衡方程 2 根据变形与约束应互相协调的要求列出变形几何方程 3 列出物理关系 这通常是胡克定律 4 从2 3两项得到补充方程 5 联立求解平衡方程和补充方程 即得到问题的解答 1 列出独立的平衡方程 超静定结构的求解方法 2 变形几何关系 3 物理关系