非完全试验信息的悬架衬套橡胶本构模型多参数识别.doc

非完全试验信息的悬架橡胶-钢衬套本构模型多参数识别陈 宝1,3, 赵 鹏3, 雷 刚2，陈 茜3（1.西南交通大学，机械工程学院，四川成都 610031；2.重庆理工大学，汽车零部件制造及检测技术教育部重点实验室，重庆 400054；3.重庆理工大学，车辆工程学院，重庆 400054）照片尺寸为20mm*30mm；最好不用红色背景摘要：鉴于衬套对悬架及整车性能影响较大，以轿车扭力梁后悬架的橡胶-钢衬套为对象，通过应变能密度函数推导确定Yeoh多项式为衬套的本构模型。进行结构试验并获取X/Y/Z三轴向“位移-力”历程曲线的非完全试验信息，利用HyperStudy与ABAQUS进行初始试验仿真，分析试验与仿真所得历程曲线的一致性；设定Yeoh多项式的多参数C10，C20，C30、Di为优化变量并赋初始值，优化目标是“面积差”或“位移差”平方为零的6类函数，采用自适应响应面法，经过14次迭代，6类函数的总加权值收敛逼近于零，识别出一组能较准确模拟衬套力学行为的本构模型参数值。重复试验仿真，结果发现Y向曲线拟合精度高，预紧模拟及网格歧异等导致X与Z向曲线拟合较差，但瞬态刚度值误差均在8%以内，再考虑平均误差，在工程研究中完全属于可接受范围。 关键词：橡胶-钢衬套；本构模型；结构试验；多参数识别；自适应响应面法中图分类号：U461.6 文献标识码：A 文章编号：Multi-parameters Identification of Constitutive Model of Suspension Rubber-Steel Bearing Based on Incomplete Test Information CHEN Bao1,3，ZHAO Peng3，LEI Gang2，CHEN Qian3(1. School of Mechanical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, 610031, China; 2. Key Laboratory of Manufactory and Test Techniques of Automobile Parts, Ministry Education, Chongqing University of Technology, Chongqing, 400054, China; 3. College of Vehicle Engineering, Chongqing University of technology, Chongqing, 400054, China)Abstract：In view of bearings greater impact on suspension and vehicle performances, a rubber-steel bearing of one cars torsion beam rear suspension was been as a research object, Yeoh polynomial was determined as the bearings constitutive model by deriving from a strain energy density function. The bearings structure test was done to get some incomplete information of displacement-force history test curves in X/Y/Z axial, the initial test was simulated to get displacement-force history simulation curves in X/Y/Z axial by using HyperStudy and ABAQUS, the simulation curves were compared with the test curves to evaluate consistency between them. The multi-parameters C10，C20，C30、Di of Yeoh polynomial were set as optimize variables and their initial values were given, 6 types of optimize objective functions were designated to square of area difference or square of displacement difference equaling to zero, 14 interactive processes were performed by using adaptive response surface (ARS) method, then the total weight value of 6 types of optimize objective functions converged and approached to zero, and a set of values of the multi-parameters, which can more accurately simulate the bearings mechanical behavior, were identified. The bearings test was simulated again, the results shows that the fitting precision is high between test and simulation curves in Y axial. Because of pre-tightening simulation and mesh divergence etc., the fitting precision is relative low between them in X and Z axial, but both of the error of transient stiffness values is all less than 8%. If the average error is considered, this is can be accepted in engineering.Key words：Rubber-steel bearing; Constitutive model; Structure test; Multi-parameters identification; ARS method0 引言收稿日期：2013-02-07基金项目：国家自然科学青年基金项目（51205433）；重庆市自然科学基金项目（cstc2011jjA60003）；重庆理工大学汽车零部件制造及检测技术教育部重点实验室2012年度开放基金作者简介：陈宝，副教授，博士研究生，研究方向为汽车动力学及悬架零部件结构分析，悬架系统是汽车的一个重要子系统，对整车操纵稳定性和行驶平顺性等性能具有重大影响1。而衬套又是悬架系统中用于振动冲击隔离与缓冲的重要部件2，其中的主体衬套橡胶作为一种典型的超弹性材料，加载变形过程非常复杂；其中伴随着大位移、大应变，又加之力学行为与温度、环境、应变历程、加载速度等因素有关，使准确描述其力学行为变得更复杂。近年来将衬套引入到总成或整车中进行简单分析的研究比较普遍34；同时随着非线性有限元理论的发展，部分学者也将衬套橡胶基础试验数据导入相关仿真分析系统来建立合理衬套本构模型，以较好描述相关力学行为56；但在缺少基础试验数据，导致无法由此建立本构模型时，如何“根据非完全结构试验数据信息识别本构参数并建立较合理本构模型以描述相应力学行为”，这对于深入开展衬套橡胶及其他非线性材料的力学行为研究具有较大理论和工程价值。目前，有个别学者已开始尝试基于刚度试验曲线的衬套参数识别工作，但存在研究对象结构简单、本构模型参数单一、目标函数片面等问题7；所以进一步深入研究的必要性很大。本文以后悬架橡胶-钢衬套的结构试验为基础，试验仅能获得X/Y/Z三轴向“位移-力”历程曲线；通过应变能函数推导确定Yeoh多项式为衬套本构模型，并预设该模型多参数的初始值。首先应用有限元仿真系统HyperStudy建立衬套有限元模型、施加预紧载荷与边界约束条件，通过非线性材料分析求解器ABAQUS求解得到衬套三向仿真历程曲线；其次采用HyperStudy优化算法自适应响应面法，将Yeoh多项式的多参数作为优化变量，优化目标是“面积差”与“位移差”平方为零的6类函数，优化迭代出6类函数的总加权值逼近于零，识别得到衬套本构模型的较准确参数，再次进行试验仿真得到的三向历程曲线逼近于目标试验历程曲线。说明本文开展的“基于非完全试验信息的悬架橡胶-钢衬套本构模型的多参数优化识别”方法可行，能推广至其他非线性材料的力学行为研究中。1衬套本构模型及有限元理论衬套橡胶的力学行为通常是将橡胶基础试验数据（应力应变曲线）拟合成本构模型来描述8。在无法有效开展基础试验的情况下，考虑利用传统结构试验获取衬套三轴向“位移-力”历程曲线并引入本构模型来进行衬套的力学行为研究，即本文提出的非完全试验信息（三轴向历程曲线已知、绕三轴向的历程曲线未知）下的衬套本构模型参数识别。1.1 衬套（橡胶）本构模型对橡胶力学行为的描述方法主要分为两类：一类是将橡胶作为连续介质的唯象学方法，另一类是基于统计热力学方法。唯象学方法假设在未变形状态下橡胶是各向同性材料，即长分子链方向在橡胶中随机分布，这种“各向同性”假设用单位体积应变能密度来描述。长期理论研究总结发现，较成熟的本构模型有：基于唯象学理论的多项式模型和Ogden模型以及基于热力学统计理论的本构模型9 10。在唯象学方法中，利用真实材料中几种均匀变形的试验数据，来拟合确定能描述材料本构关系的应变能函数中的待定参数。通常选用的变形方式有单轴、等双轴、平面和体积变形。其中，Yeoh多项式本构模型比较适合模拟本文衬套主体炭黑填充橡胶的大变形行为。表1 橡胶本构模型及其特点Tab.1 Rubber constitutive models and their characteristics模 型材料系数特点基于热力学统计的本构模型Arruda-Boyce2 部分基础试验曲线拟合较好Van der Waals4唯象学本构模型Ogden2NN次多项式(2N)Mooney-Rivlin2应变能是线性的，用来模拟小应变和中等应变时材料的特性Reduced PolynomialNNeo-Hookean1Yeoh3典型的S形橡胶应力-应变曲线典型各向同性材料本构模型，其应变能密度表达式可分解成形变比能和体变比能两部分，形式11如下： （1） 令并且进行泰勒展开，可以得到下式12： （2）上式即为多项式表示的应变能，参数N是多项式的阶数；、为一、二、三阶应变不变量，是三个主拉伸比、的函数；是弹性体变形前后的体积比；和Di是与温度相关的材料参数（其中Di值决定于材料的可压缩性），对于多项式模型，无论N值如何，初始的剪切模量与初始的体积模量，都被定义为（N=1）：，。 多项式模型的特殊形式可以由设定参数为 0 来得到。如果所有=0（j0），则得到减缩多项式模型： （3）当 N = 3，得到Yeoh 形式，它是减缩多项式的特殊形式： （4）如材料完全不可压缩，所有 Di都设置为0，且=1。 （5）对上式分别求和的偏微分可得： （6） （7）通过单轴拉伸试验的应力和应变之间的关系13： （8）Z轴向的孔将（6）和（7）代入（8）中，经过曲线拟合就可得到Yeoh多项式本构模型的材料参数（i：13，j=0）和Di。在小应变区间，Yeoh模型与试验数据存在一些偏差，一般适合于模拟大变形，但是它不能很好地解释等双轴拉伸试验。对于仅有橡胶材料结构试验数据的情况，可通过预设材料本构模型参数和Di的方法，采用一定迭代优化方法，最终获取较准确参数和Di。1.2 基于本构模型的非线性有限元理论 衬套橡胶在外力作用下会产生几何和边界双重非线性变形。几何非线性是指大位移（或大应变）问题，当物体变形过大时，变形量对平衡方程的影响不可忽略，由此导致了平衡方程的非线性；边界非线性即接触非线性，是由边界条件引起的；橡胶本身是非线性材料，因此对于悬架衬套橡胶进行变形接触分析时，应该是三种非线性的耦合问题。橡胶材料的应力应变曲线存在拐点，相应的非线性本构关系出现了极值点和负刚度，为了保证计算收敛，在ABAQUS中选择带校正功能的线性近似“全牛顿拉普森方法”求解非线性问题。当橡胶材料的力学行为是不可压缩或者非常接近于不可压缩状态时，ABAQUS对这类材料采用杂交单元来处理，杂交单元包含一个直接确定压应力的附加自由度14，节点位移只用来计算偏应变和偏应力。由于文中选择的扭力梁后悬架橡胶-钢衬套结构较为特殊，橡胶体被分别硫化在相应的钢内外衬管上（如图1所示），在Z轴向有两个孔，这两孔在橡胶受到挤压时边界出现接触，作为一类特殊的不连续的约束，ABAQUS将这类边界条件非线性问题划分为一定数量的载荷增量步，并且在每个载荷增量步结束时寻求近似的平衡构型，通过多步迭代完成。炭黑填充橡胶钢外衬管钢内衬管 图1 扭力梁后悬架及其橡胶-钢衬套Fig.1 Torsion beam rear suspension & its rubber-steel bearings2 衬套结构试验及仿真条件设置衬套结构试验可分为动刚度及静刚度试验。动刚度是衬套在交变载荷下的动态特性，即不同频率或者振幅的正弦载荷激励下，衬套的刚度和滞后角特性，主要用于汽车隔振降噪方面的研究15。静刚度是衬套在静态载荷作用下的静态力学行为，即在缓慢加载情况下的载荷挠度特性曲线16，主要用于操纵稳定性等方面的研究，本文研究衬套静刚度。2.1 衬套（静刚度）结构试验衬套的静刚度特性，主要包括沿自然坐标系下三向（轴向及径向）线刚度以及绕三个方向旋转的扭转刚度，可用相应“位移-力”历程曲线来描述。现有某型号弹性体测试台如图2所示，为满足衬套径向（或轴向）加载时的需要，衬套一端通过专用夹具固定在测试台上，另一端则通过螺栓与测试台加载轴U形叉固连。本测试台仅能测量三向线刚度，三向扭转刚度可通过非完全试验信息下的本构参数优化识别、建立合理本构模型后进行试验仿真分析得到。考虑所选衬套的轴向对称性，本次结构试验主要有一个方向的轴向刚度（Z向）、两个方向的径向刚度（X、Y向）；试验加载方式为单向加载，力从零随时间线性增加至设定值，其中Z向加载力的区间范围是03000N，X、Y向加载力的区间范围分别是05000N和09000N。试验过程中，从零时刻起记录每一时刻加载力和衬套变形量的大小，其历程曲线如图3所示。加载轴夹具（内部为衬套） 图2 橡胶-钢衬套测试台（径向加载） 图3 橡胶-钢衬套X/Y/Z“位移-力”试验历程曲线Fig.2 Test rig of rubber-steel bearing (radial loading) Fig.3 X/Y/Z Disp-F history test curves of rubber-steel bearing2.2 仿真试验的衬套建模及边界条件设置以图4（a）中的橡胶-钢衬套几何模型为基础，通过 HyperStudy建立相应有限元模型，如图4（b），选择ABAQUS进行求解。炭黑填充橡胶采用六面体单元（C3D8H）和三棱柱单元（C3D6H）离散，橡胶材料选择Yeoh多项式的3次本构模型（设N=3，材料完全不可压缩）。初步设定适合于Yeoh多项式模型的橡胶参数C10=0.15、C20=-0.025、C30=0.00008、Di=0；内衬管采用S4壳单元离散，材料设为E=210000Mpa，=0.3，因为在工作状态几乎不发生变形，将其视为刚体处理。橡胶衬套在试验时将外衬管完全固定，有限元建模时选择内衬管与橡胶节点公用。而外衬管可以忽略，进行固定约束时仅需约束橡胶外衬管上的节点。Z轴向两孔间橡胶接触类型采用Small-sliding，surface to surface formulation frictionless；并设置相应几何非线性。 (a) 几何模型 (b) 有限元模型 (c) 预紧工况模型图4 橡胶-钢衬套三种模型Fig.4 3D model (a) and FEM model (b) and Preload model (c) of rubber-steel bearing参照衬套基本结构试验，本文衬套结构仿真试验也分三个工况，分别是X/Y/Z三向“位移-力”（静刚度）分析。分析方法有两步：第一步在保持橡胶衬套中间轴不动情况下，在外衬管上径向施加5mm强迫位移，使衬套达到预紧效果，如图4（c）所示。第二步在第一步的基础上保持外衬管固定不动，分别建立三个方向的静刚度载荷，具体描述为：X方向加载0-5000N；Y方向加载0-9000N；Z方向加载0-3000N；各向均为匀速加载。3 衬套本构模型多参数识别参数识别是根据系统模型和系统响应来反演系统参数的一种数学方法。类同于在有限元静力学分析领域中的结构分析，结构位移向量与结构外载荷成正比关系，具体数学表达式如下： （9）其中，K为结构刚度矩阵、u为结构向量、P为结构外载荷。表明，在结构位移不变情况下，结构载荷一定，那么结构内部的响应（应变）也就唯一确定。反之，如果结构具有的响应（应变）一定，那么它的结构载荷向量也就唯一确定。一般的有限元求解顺序是根据结构外载荷求解结构响应（应力、位移），本文研究对象橡胶-钢衬套的结构响应“位移-力”历程曲线是已知的，而衬套的本构参数未知，故可借助以上参数识别思想来求解17。3.1 衬套（静刚度）结构试验仿真结合参数识别方法以及有限元优化技术建立衬套本构模型参数识别步骤：第一步已在上述2.2中完成，即建立了橡胶衬套有限元模型，依据橡胶材料特性设定了边界约束和相应加载条件，并据经验设定了本构模型多参数初始值；第二步，在HyperStudy中进行非线性有限元结构试验仿真得到衬套的X/Y/Z三向“位移-力”历程曲线并且与试验得到的三向历程曲线进行对比，分析三组曲线的一致性，如果一致性较好则认为衬套结构试验仿真中的本构模型多参数初始值设定合理，若一致性较差则通过自适应响应面优化算法与绝对收敛准则修改材料本构参数并继续求解，直到仿真与试验曲线一致，具体流程如图5所示。 图5衬套本构参数识别过程 图6试验与仿真历程曲线对比图Fig.5 Identification process of constitutive parameters Fig.6 Comparison for test and simulation history curves由图6所得试验与仿真“位移-力”历程曲线对比可知，三组曲线的一致性较差，说明Yeoh多项式中的C10，C20，C30，Di多参数需进一步优化；将其作为优化变量并设定取值范围如表2（材料不可压缩，Di恒等于零）；优化目标采用系统识别，即优化目标与迭代结果之差在收敛范围内时，停止迭代。按照图6中6条曲线，设置6类优化目标函数：X向试验与仿真“位移-力”历程在载荷值为5000N时位移之差的平方为零（x_end_point），X向试验与仿真“位移-力”历程分别与横坐标围成面积之差的平方为零（x_area）；Y向试验与仿真“位移-力”历程在载荷值为9000N时位移之差的平方为零（y_end_point），Y向试验与仿真“位移-力”历程分别与横坐标围成面积之差的平方为零（y_area）；Z向试验与仿真“位移-力”历程在载荷值为3000N时位移之差的平方为零（z_end_point），Z向试验与仿真“位移-力”历程分别与横坐标围成面积之差的平方为零（z_area）。表2 优化变量初值及取值范围Tab.2 Initial values of optimize variables and their range优化变量C10C20C30初始值0.15-0.0250.00008变量上限1.00.01.0变量下限0.1-1.00.03.2 衬套本构模型多参数识别结果分析使用HyperStudy所集成的外部优化算法自适应响应面法并调用ABAQUS求解器进行优化，经过14次迭代收敛，三个目标变量优化迭代得到最终值，如表3最后一行的前三个值；相应的6个目标函数达到最小，针对一个优化问题，一般目标只有一个，因此将这六个目标函数加权，加权系数均为1得到总的目标函数，从表3中最后一行发现总加权值收敛逼近于零的趋势明显，具体迭代历程曲线如图7所示。表3 优化变量及优化目标变化表Tab.3 Change table of optimize variables and objectivesC10C20C30x_areay_areaz_areax_end_pointy_end_pointz_end_pointRow_00010.15-0.0250.000081.26514047.302635837.7907413.631736813.09648278.862286Row_00020.26-0.0360.000080.19941814.926043723.1267124.24666899.948350855.40193Row_00030.15-0.0250.000081.26514045.663702230.30313.631736810.00845162.276509Row_00040.15-0.0250.0001671.26504747.293722237.7872813.63120813.09314978.851531Row_00050.25-0.0250.0001671.2546787.45796530.340653.88097613.45678878.907545Row_00060.25-0.0250.0001590.28503424.073814319.9931484.06579727.971984746.38149Row_00070.2911407-0.0541340.0002380.06736652.842375614.0013484.31414545.652491633.270089Row_00080.313456-0.043640.0003380.06801232.32370610.2924824.4567783.456775523.567865Row_00090.3586866-0.0367680.0003170.06827771.9237069.29242824.88618693.995035623.163282Row_00100.326483-0.0432350.0003180.0003562.323299611.343744.6650064.747702827.686201Row_00110.428324-0.0698760.0004121.2773241.3245654.4567655.54210982.76432412.09764Row_00120.458686-0.0687650.0003961.17784341.02063774.87358815.58769492.211755312.75746Row_00130.558686-0.0728860.0004751.39218140.52364622.51565644.1398641.17357476.7934353Row_00140.658686-0.0728880.0005410.68479420.24380631.21642432.2410110.55919573.3211942 图7 优化目标迭代历程曲线 图8 第14次迭代试验与仿真历程曲线对比图Fig.7 Interactive process of optimize objectives Fig.8 Comparison for 14th test and simulation history curves 将第14次迭代拟合后的“位移-力”仿真与试验历程对比，如图8所示。结果发现Y向试验与仿真历程曲线几乎完全重合，而在有限元分析时，为使衬套达到预紧效果致使网格变形较大，特别是在X、Z向施加载荷时网格变形剧烈，再加上网格划分导致的模型简化，使得在X、Z方向的试验与仿真历程曲线拟合误差偏大，经计算得到相应最大瞬态刚度误差值分别为5.1%和7.0%，均小于8%且平均误差更小，工程上完全处于可接受范围。最后一次迭代优化识别所得衬套橡胶Yeoh多项式的多参数为C10=0.658368、C20=-0.072888、C30=0.000541，Di=0，利用此组参数可以建立较准确的衬套Yeoh多项式本构模型。4 结束语本文尝试了在缺少衬套橡胶基础试验数据的情况下，也可通过部分橡胶结构试验数据，对较复杂结构的衬套本构模型进行多目标函数的多参数识别。即通过应变能密度函数推导确定Yeoh特殊多项式作为衬套本构模型，引入HyperStudy和ABAQUS非线性有限元分析系统，建立“面积差”与“位移差”平方为零的6类目标函数，采用自适应响应面法进行优化迭代，使优化目标函数的总加权值逼近于零，使仿真历程曲线逼近于优化目标曲线，最终实现了能较准确模拟衬套力学行为的Yeoh多项式本构模型多参数的识别。进一步通过识别所得参数建立本构模型，然后仿真拟合推导出衬套三向扭转刚度，从而可解决因缺乏扭转刚度试验无法进行扭力梁后续研究的瓶颈问题，此法可推广至其他非线性材料的研究中。参考文献:1 上官文斌, 田子龙, 王小莉. 汽车悬架系统中的橡胶金属元件J. 现代零部件, 2009(6): 86-88.2 户原春彦. 防振橡胶及其应用M. 北京: 中国铁道出版社, 1982.3 赵振东, 雷雨成, 袁学明. 汽车悬架橡胶衬套刚度的优化设计J. 机械科学与技术, 2006, 25(2): 168-170.4 申闪闪, 方宗德, 张西金, 等. 基于悬架平顺性的导向机构与橡胶衬套的优化设计J. 机械科学与技术, 2012, 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