数值计算实习报告-牛顿插值法.doc

精品文档数值计算实习课程设计姓名：张光宇指导教师;谭高山学号：119084169 目录1、 实验目的2、 问题的提出3、 牛顿插值法的原理4、 差商概念的引出5、 牛顿插值公式及其余项的公式6、 牛顿插值法计算步骤7、 牛顿插值多项式的程序实现8、 图像对照牛顿插值多项式9、 牛顿插值多项式总结10、 附111、 附21、实验目的:通过对牛顿插值多项式的Matlab程序实现,深入了解牛顿插值多项式的原理及编程解决实际问题的能力.2、问题的提出我们知道Lagrange插值多项式的插值基函数为理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的；Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 都需重新算过。3、牛顿插值多项式的原理我们知道两点直线公式有：我们考虑点斜式，两点为(x0,y0)(x1,y1)，则直线方程为：那么，在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式就是：c(x)应该是一个二次多项式。根据插值条件有根据插值条件：可以求出：重新写p2(x)：有.4、下面引入差商和差分的概念定义：1阶差商2阶差商n+1阶差商可以证明差商具有如下性质: (2) k 阶差商关于节点是对称的，或者说均差与节点顺序无关，即均差表零阶均差一阶均差二阶均差三阶均差X0f(X0)X1f(X1)fX0, X1X2f(X2)fX1, X2fX0,X1, X2X3f(X3)fX2, X3fX1, X2,X3fX0,X1, X2 X3.5、下面给出牛顿插值公式及其余项的公式： .(1) .(2) .(n+1)则有： 其中 6、 牛顿插值法计算步骤： 牛顿插值法利用函数在某区间中若干点的函数值，作出牛顿插值多项式，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用牛顿插值多项式的值作为函数的近似值。1 输入值及（；要计算的函数点。2 对给定的由 计算的值。3输出。7、Matlab程序实现例：f(x)=lnx的数值如表所示， 构造牛顿插值多项式并求ln0.53的值。X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解： 由表可知x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.7，函数值：y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144在matlab中输入如下命令:clcclearnewpoly(0.4,0.5,0.6,0.7,0.8, -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, -0.223144)计算结果如下：ans = -0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744由此看出所求的牛顿多项式为： P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744P(0.53)= -0.6347。8、 图像对照牛顿插值多项式 9、小结：本实验通过MATLAB编程实现求解牛顿K次插值多项式，能加深对牛顿插值法的基本思路和步骤的理解。同时也加深了对均差的概念及其性质的理解。牛顿插值法正是应用均差的性质，克服了拉格朗日插值法的主要缺点。附1:matlab求解插值多项式，返回多项式的系数functionc, d=newpoly(x, y) %牛顿插值的MATLAB实现 %这里 x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。 %c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%取x的个数。 d=zeros(n, n);%构造n*n的空数组。 d(: , 1)=y; for j=2 : n for k=j : n d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1) / (x(k)-x(k-j+1); end end c =d(n, n); for k=(n-1) : - 1 : 1 c =conv(c, poly(x(k);% conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。 m=length(c); c(m)=c(m)+d(k, k); end 附2:在同一个面框内显示ln(x)与牛顿插值多项式的图像x=0:1/10000:1;y=log(x);plot(x,y,b)gtext(ln(x)的图像);hold onp=-0.3096,2.6083,-5.4861,5.6921,-2.4744;y=polyval(p,x);plot(x,y,g)gtext(牛顿插值多项式函数图像)grid onbox offaxis normalaxis(0,1,-7,1)text(0.53,log(0.53),插值点)