群,环,域

线性空间引论 DepartmentofMathematics CollegeofSciences 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 课前预习 课中提高效率 课后复习 作业要求 书后要求的习题 主动自觉做 抽查和不定时收取 线性空间与线性映射 第一章 教学内容和基本要求 1 理解线性空间的概念 掌握基变换与坐标变换的公式 2 掌握子空间与维数定理 理解子空间的相关性质 3 理解线性变换的概念 掌握线性变换的矩阵示表示 了解线性空间同构的含义 重点 线性空间的概念 子空间的维数定理 基变换与坐标变换 难点 基变换与坐标变换 线性空间既是代数学的基本概念 也是矩阵论的基本概念之一 本章首先介绍这一概念 学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸 在解析几何和线性代数中 我们已经学习过平面与空间的向量 线性空间是解析几何中向量概念的抽象化 在线性代数中 学习过向量的线性相关性 现在我们应用它来研究线性空间 1 二元运算的定义设f是非空集合A A到A的一个映射 则称f是A上的一个二元运算 7 1 一 代数系统 代数运算通常用 和表示 有时也读作乘 例如 定义z x y 2 显然 可记作或 设f是非空集合A到A的一个映射 则称f是A上的一个一元运算 因此 整数集 实数集上的加 减 乘法是二元运算 非零实数集上的除法是二元运算 矩阵集合上的矩阵加法 矩阵加法是二元运算 幂集上的交 并对称差是二元运算 命题集合上的析取 合取 蕴含等价 不可兼析取是二元运算 整数集 实数集上的 求相反数是一元运算 非零实数集上的求倒数是一元运算 矩阵集合上的矩阵的转置是一元运算 幂集上的求补是一元运算 命题集合上的否定是一元运算 例如 例1 设有函数 对于任意 例2 设有函数 对于任意 例如 但减法运算不是正整数集N上的二元运算 当A是有限集时 A上的一元运算和二元运算有时采用运算表的方式来定义 例如设上的一元运算 和二元运算 用运算表定义如下 2 一元运算和二元运算的表示方法 设 是非空集合 和是A上的二元运算 1 若对于任意 有 则称在A上是可交换的 若对于任意 有则称在A上是可结合的 3 若对于任意的有则称运算对运算是可分配的 3 二元运算的一些常见的性质 如果 则称是运算的单位元 如果 则称为运算的左单位元 同理可以定义右单位元 例如 在数的加法运算中0是单位元 在数的乘法运算中1是单位元 在集合的并中是单位元 在矩阵加法中O是单位元 在矩阵乘法中是单位元 在中2是单位元 3 与二元运算相关的一些特殊的元素 1 单位元 设是非空集合A上的二元运算 是的单位元 对于A中的某一元素x 如果存在 满足 则称是x的逆元 称x是可逆的 并不是在任何运算中都存在逆元的 例如在集合的并或集合的交中就没有逆元 在给定的集合和运算中 不同元素的逆元是不同的 单位元和某元素的逆元如果存在 则是唯一的 2 逆元 5 代数系统由非空集合A和定义在A上的一系列运算组成的系统称为代数系统 记作 如果运算对A的子集B封闭 则称为的子系统 检验一个系统是否构成代数系统 最重要的一点就是看运算对集合是否封闭 即运算的结果是否还在集合A中 例如A 1 2 3 4 5 f a b lcm a b 最小公倍数 就不构成代数系统 因为 f 3 5 15不在集合A中 f对A不封闭 二 群的定义与性质 1 封闭律 有 2 结合律 有 1 群的定义设G是一个带有运算 的非空集合 且其中的运算满足以下四个条件 则称 G 是一个群 3 幺元律 存在 使 有 称为幺元 4 逆元律 存在 使称b为a的逆元 2 关于群的定义的几点说明 3 若群 G 的运算适合交换律 则称 G 为Abel群或交换群 若G是有限集 称 G 为有限群 G 称为群的阶数 若G是无限集 称 G 为无限群 1 只满足条件 1 2 的集合G称为半群 2 满足条件 1 2 3 的集合G称为带幺半群 4 设 S 是一个幺半群 如果多任意的满足 则称S是可交换半群 3 群的性质 1 若 G 是一个群 则 a b Ga 存在唯一的x 使得a x bb 存在唯一的y 使得y a b 2 可逆必可约 反之不成立 a a b a c b c b b a c a b c 3 对于一个带幺半群 S 其单位元是唯一的 4 子群 定义 设 G 是一个群 H G 如果 H 仍是一个群 则 H 叫做 G 的子群 如果G的一个子群H不等于G 即H G 则 H 叫做 G 的真子群 2 G的子群H的运算必须与G的运算一样 在群中成立的性质在子群仍成立 4 子群的例 例3 mZ 是整数加法群 Z 的一个子群 例4 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个子群 5 平凡子群 任一群G都有两个明显的子群 称为G的平凡子群 其余的子群 如果有的话 称为非平凡子群 由其单位元素组成的子群 1 称为G的单位子群 G本身也是G的子群 三 循环群 1 元素的周期 设 G 是一个群 e为单位元 对a G 使得的最小正整数n称为元素a的阶 周期 如果对于任意的正整数n 都有 则称元素a的阶是无限的 2 周期的性质 设群G中元素a的阶为n 则 1 e a a2 a3 an 1为n个不同元素 2 am e当且仅当n m as at当且仅当n s t 3 设k是一个正整数 若G中元素a的阶为n 则ak的阶就为 3 循环群 定义1 设a是群G的一个元素 于是a的所有幂的集合an n 0 1 2 做成G的一个子群 记为 a 此群称为由a生成的子群 定义2 如果群G可以由它的某元素a生成 即有 a G使G 则G叫做一个循环群 或巡回群 上面定理中的称为由a生成的循环子群 4 有限和无限循环群 设a为群G的一个元素 1 如果a的周期为无穷大 则是无限循环群它由彼此不同的元素 a 2 a 1 e a a2 组成 循环群必是Abel群 2 如果a的周期为n 则为n元循环群 它由n个不同的元素e a a2 a3 an 1组成 n元循环群中 元素ak是的生成元的充要条件是 n k 1 定义2 群G在合同关系 左模H 下的一个等价类叫做H的一个左陪集 即 a H a h h H 简记为aH同样可以定义b合同于a 右模H 和右陪集 陪集的性质 1 若H为G的有限子群 则 aH H 2 H本身也是H的一个陪集 3 aH H的充分必要条件是a H 4 a在陪集aH中 根据这点 把a叫做左陪集aH的一个陪集代表元 5 对于左陪集aH中任意元素b 都有aH bH 6 aH bH的充分必要条件是a b H 7 任意两个左陪集aH和bH或者相等或者不相交 五 正规子群 1 定义 六 商群 1 a b b a 2 a b c a b c 3 G中有一个元素0 适合a 0 a 4 对于G中任意a 有 a 适合a a 0 5 a b c a b c 6 a b c a b a c a b c a c b c 一 环的定义及相关内容 1 定义 设R是一个非空集合 其中有 两种运算并构成二元代数系统 如果 则称R为环 1 R 为Abel群 2 R 为半群 3 满足分配律 a b c a b a c b c a b a c a 注意 环与群一样都可以只有一个元素构成 2 环的又一定义 代数系统 R 其中 和 为定义在R上的二元运算 满足下述条件 则称 R 为环 3 关于定义的说明 1 为了叙述和理解上的方便 通常将环中 的单位元记为0 而将环中元素a关于加法的逆元称作a的负元 记作 a 如果环中关于 有单位元 就把这个单位元记作1 而将关于乘法的逆元 若存在的话 称为a的逆元 记作a 1 2 如果环的乘法还满足交换律 则称为交换环 3 类似地 我们可以用a b表示a b na表示a的加法n次幂 即na 规定 今后加法运算就是满足交换律的二元代数运算 而用an表示a的乘法n次幂 即an 所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环 叫做整数环 所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环 叫做矩阵环 实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环 叫做多项式环 整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环叫模n的剩余类环 4 环的例 性质1用数学归纳法 分配律可以推广如下 a b1 bn ab1 abn a1 am b a1b amb 二 环的性质 性质3a0 0 0a 0 性质4a b ab 性质2a c b ac ab c b a ca ba 性质5对任意整数m 都有a mb ma b m ab 性质6am n aman am n amn 交换环 乘法适合交换律的环 性质7在交换环中 有第三指数律 ab n anbn 带幺环 如果R不只有一个元素而且有一个元素1适合对任意a G 1a a1 a则称R为带幺环 从定义可以看出 带幺环 又叫含壹环 至少有两个元构成 如模 的整数环 例 整数环为含壹环 所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环 性质9含幺环G的幺是唯一确定的 性质10设环G有1 则1 0 2 定理 环R的子集S作成子环充分必要条件为 1 S非空 2 若a S b S 则a b S 3 若a S b S 则ab S 三 子环 1 定义若R是环 S是R的非空子集 若S在R的加法和乘法下仍是环 则称S是R的子环 结论 R本身以及 0 是R的两个平凡子环 例 整数环是消去环 矩阵环不是消去环 有零因子 比如 四 整环和除环 若G是环 a b R 如果a 0 b 0 但ab 0 则称a b为零因子 如果G没有这样的元素 则说G无零因子 无零因子的环称为消去环 定义1 带幺无零因子的交换环称为整环 定义2 若A是至少含有0 1的环 且A 0 构成乘法群 则称A为除环 五 理想和商环 若对任意的R中元素a 有Ia x a x I I 则称I是R的一个右理想 定义1 设 I 是 R 的子环 若对任意的R中元素a 有aI a x x I I 则称I是R的一个左理想 若I既是R的左理想又是右理想 则称I是R的理想 1 定义 显然 任一非零环R至少有两个平凡理想 R本身和仅由R的零元0形成的子集 0 除了这两个理想外 如果R还有其他理想I 则称I为R的真理想 3 主理想 设 R 是一个环 包含a的R的最小理想称为由a生成的主理想记为 所谓包含a的最小理想指的是 对R的任意一个理想I 如果 则一定有 设 R 是一个环 I是R的一个理想 1 如果由 可以推出或 则称I是R的一个素理想 2 如果不存在R的真理想I 使得 则称I是R的最大理想 素理想与极大理想 商环的定义设 I 是环R R 的理想 由I产生的陪集关系记为 定义运算 称为环 R 关于理想 I 的商环 则集合 商环的阶数等于环 R 的阶数除以理想 I 的阶数 不难验证 商环也是一个环 一 域的相关概念定义 设 1 F 是一个带幺交换环 2 F 0 是交换群 则称 F 是一个域 F 称为域的加法群 F 0 称为乘法群 又一定义 可交换的除环称为域 field 定理 域一定是整环 有限整环一定是域 环的分类 定理 设 F 是域 为F的一个非空子集 则 构成 F 子域的充分必要条件是 对任意的 都有 并且当时 有 子域 设 F 是域 S F 若 S 仍构成域 则称S是R的子域 而称F为S的扩域 定义 设在域 F 中 e为F的乘法单位元 0为F的加法单位元 如果对任意的正整数n 都有ne 0 则称域F的特征为0 如果存在正整数n 使得ne 0 则满足ne 0的最小正整数n为域F的特征 二 域的特征 定理1 域的特征p或为素数或为0 特别的 对任何有限域 其特征必为素数 定理2 设F是一个特征为P的域 P 0 m是一个正整数 则任意的0 a F 都有pa 0 更进一步 ma 0当且仅当p m 2 若F的阶是有限的 则必为素数 重要的结论1 p是素数时 任意非零元素在F的加法群中的周期等于p 2 设F的特征是素数p 则 a b p ap bp3 设F的特征是素数p 则 a b p ap bp4 设F的特征是素数p 则5 设F的特征是素数p 则6 设F的特征是素数p n不是p的倍数 则 Fermat小定理 四 域的同构设 F 与 F 是两个域 如果存在一个从F到F 的一一对应使得对任意的都有 三 素域 设F是一个域 其特征为P 0 e为其单位元 则称 0 e 2e p 1 e 为F的素域 当p为素数时为域 它们是极为重要的有限域 此域的元素个数与元素阶数相同 均为素数p 那么 是否还有元素个数不是素数的有限域呢 看如下例题 只有有限个元素的域称为有限域 1 定义 2 有限域的简单性质设F是一个有限域 则 1 F的特征不可能是0 2 F的特征为素数p 例1 令 其中因此 F 构成一循环群 因而也是阿贝尔群 下表给出中的运算 的定义 容易验证也是阿贝尔群 也可验证乘运算对加运算是可分配的 于是为四个元素的一个域 阶数不是质数的有限群有何特征 如何构造呢 设有限域的特征数为质数p 从而其每个元素都是p阶的 据拉格朗日定理 F的阶数应当是p的倍数 我们将在有限域结构中给出答案 证明 设 a的阶数为n b的阶数为m 1 引理设 G 是一个有限群 n是G中所有元素的阶数最大值 则G中任意元素的阶数都能整除n 二 有限域的乘法群 假设 则存在素数p 使得 由定理知 和的阶数分别为 由定理知