容斥问题PPT

容 斥 问 题 测一测 6 6 1 11 人 答 共有11人 1 排队问题 从前面数 从后面数 丽丽都排第6 这一排共有几个人 2 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干 同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边 这样一共要多少个夹子 8 2 7 9 个 答 一共要9个夹子 容斥问题 容 包含斥 排除 所以也叫包含与排除问题 容斥原理 一次期末考试 某班有15人数学得满分 有12人语文得满分 并且有4人语 数都是满分 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人 如果被计数的事物有A B两类 那么 A类B类元素个数总和 属于A类元素个数 属于B类元素个数 既是A类又是B类的元素个数 A B A B A B 依题意 被计数的事物有语 数得满分两类 数学得满分 称为 A类元素 语文得满分 称为 B类元素 语 数都是满分 称为 既是A类又是B类的元素 至少有一门得满分的同学 称为 A类和B类元素个数 的总和 答案 15 12 4 23 想 五年级学生参加语文 数学考试 每人至少有一门功课取得优秀成绩 其中语文成绩优秀的有65人 数学优秀的有87人 语文 数学都优秀的有30人 问五年级一共有多少人 试试 语文优秀的人数 65人 数学优秀的人数 87人 两科都优秀的人数 30 人 65 87 30 122 人 答 五年级一共有122人 四 一 班学生参加数学小组和科技小组 每个学生至少参加一个小组 有25人参加数学小组 23人参加科技小组 有19人两个小组都参加了 那么四 班一共有多少人 练一练 25 23 19 29 人 答 一共有29人 分析 没有人一门也没完成 即排除了一次手都没有举的可能 剩下的同学要么举过一次手 要么举过两次手 某班有48人 班主任说 做完语文作业的请举手 有37人举手 又说 做完数学作业的请举手 有42人举手 最后问 有没有哪个同学一门作业也没完成呀 结果无人举手 问 这个班语文 数学作业都完成的人数是多少 想 做完语文的人数 37人 做完数学的人数 42人 两科做完的人数 48人 37 42 48 31 人 答 这个班语文 数学作业都做完的人数是31人 想 五年级有122名学生参加语文 数学考试 每人至少有一门功课取得优秀成绩 其中语文成绩优秀的有65人 数学优秀的有87人 语文 数学都优秀的有多少人 试试 语文优秀的人数 65人 数学优秀的人数 87人 两科做完的人数 122人 65 87 122 30 人 答 语文 数学都优秀的有30人 某校六 1 班有学生45人 每人在暑假里都参加体育训练队 其中参加足球队的有25人 参加排球队的有22人 参加游泳队的有24人 足球 排球都参加的有12人 足球 游泳都参加的有9人 排球 游泳都参加的有8人 问 三项都参加的有多少人 课后过关 一个旅行社有36人 其中会英语的有24人 会法语的18人 两样都不会的有4人 两样都会的有多少人 一次期末考试 某班所有同学语 数成绩至少有一门得满分 已知有25人数学得满分 有22人语文得满分 并且有4人语 数都是满分 那么这个班有多少人 五 1 班有40个学生 其中25人参加数学小组 23人参加科技小组 有19人两个小组都参加了 那么 有多少人两个小组都没有参加 某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛 结果3人两项比赛都获奖了 有27人两项比赛都没有获奖 已知作文比赛获奖的有14人 问数学比赛获奖的有多少人 三年级一班参加合唱队的有40人 参加舞蹈队的有20人 既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人 这两队都没有参加的有10人 请算一算 这个班共有多少人 科技节那天 学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品 其中有110件不是一年级的 有100件不是二年级的 一 二年级参展的作品共有32件 其他年级参展的作品共有多少件 五 1 班有40个学生 其中25人参加数学小组 23人参加科技小组 有19人两个小组都参加了 那么 有多少人两个小组都没有参加 2 六一班有学生46人 其中会骑自行车的17人 会游泳的14人 既会骑车又会游泳的4人 问两样都不会的有 人 有100位学生回答A B两题 A B两题都没回答对的有10人 有75人答对A题 83人答对B题 问有多少人A B两题都答对 在100个学生中 音乐爱好者有56人 体育爱好者有75人 那么既爱好音乐 又爱好体育的人最少有 人 最多有 人 有100位旅客 其中有10人既不懂英语又不懂俄语 有75人懂英语 83人懂俄语 问既懂英语又懂俄语的有多少人 如果被计数的事物有A B C三类 那么 A类和B类和C类元素个数总和 A类元素个数 B类元素个数 C类元素个数 既是A类又是B类的元素个数 既是A类又是C类的元素个数 既是B类又是C类的元素个数 既是A类又是B类而且是C类的元素个数 A B C A B C A B B C C A A B C 某校六 班有学生45人 每人在暑假里都参加体育训练队 其中参加足球队的有25人 参加排球队的有22人 参加游泳队的有24人 足球 排球都参加的有12人 足球 游泳都参加的有9人 排球 游泳都参加的有8人 问 三项都参加的有多少人 分析 参加足球队的人数25人为A类元素 参加排球队人数22人为B类元素 参加游泳队的人数24人为C类元素 既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人 既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人 既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人 三项都参加的是A类B类C类的总和设为X 注意 这个题说的每人都参加了体育训练队 所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和 答案 25 22 24 12 9 8 X 45解得X 3 某班有学生50人 参加无线电小组 航模小组和生物小组的人数分别是20人 20人和12人 其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人 既参加航模小组又参加生物小组的有5人 既参加生物小组又参加无线电小组的有3人 已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个 那么 三个小组参加的学生有多少人 某班共有30名男生 其中20人参加足球队 12人参加蓝球队 10人参加排球队 已知没一个人同时参加3个队 且每人至少参加一个队 有6人既参加足球队又参加蓝球队 有2人既参加蓝球队又参加排球队 那么既参加足球队又参加排球队的有 人 某班50名同学全部参加数学 语文 美术三个课外兴趣小组 参加数学小组的有29人 参加语文小组的有21人 参加美术小组的有25人 有17人既参加数学小组又参加美术小组 有15人既参加数学小组又参加语文小组 有10人既参加语文小组又参加美术小组 三个小组都参加的有多少人 某进修班有50人 开甲 乙 丙三门进修课 选修甲这门课的有38人 选修乙这门课有的35人 选修丙这门课的有31人 兼选甲 乙两门课的有29人 兼选甲 丙两门课的有28人 兼选乙 丙两门课的有26人 甲 乙 丙三科均选的有24人 问三科均未选的人数 一个体育锻炼小组有35名男生 规定他们至少参加篮球 排球 足球三个球队中的一个 结果参加篮球队的有16人 参加排球队的有11人 参加足球队的有20人 其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队 有3人既参加了排球队又参加了足球队 没有人三个球队都参加 既参加篮球队又参加足球队的有多少人 总结 本次课主要学习有关容斥原理的一些简单应用题 求解此类问题的关键是找准叠加的数据 排除叠加和没有存在的部分 解题过程中准确画出示意图是求解容斥原理问题的关键 它能够帮助我们很好的理解题意 从而正确 快速解题 有学生30名 他们中有部分学生参加了乒乓球 羽毛球 排球三个训练小组 各组人数分别为14人 12人 10人 其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人 既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人 既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人 三个小组都参加的有1人 这些学生中这三个小组都没有参加的有几人 在1到100的全部自然数中 既不是5的倍数 也不是6的倍数有多少个 5的倍数的个数数 6的倍数的个数 30的倍数的个数 个 100 5 20 个 答 有67个 不是5的倍数 不是6的倍数 不是30的倍数 5的倍数的个数 6的倍数的个数 30的倍数的个数 100 6 16 个 4 100 30 3 个 10 20 16 3 33 个 100 33 67 个 例3 全班学生40人 爱好音乐的有18人 爱好舞蹈的有21 爱好美术的有9人 既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人 既爱好音乐又爱好美术的有1人 但没有人这三种都爱好 也没有人都不爱好的 问有多少既爱好舞蹈又爱好美术 例4 18 21 9 3 1 40 44 40 4 人 答 有4人既爱好舞蹈又爱好美术 某班有学