高中数学必修1-5公式大全.pdf

1 数学必修数学必修 1 5 常用公式及结论常用公式及结论 必修必修 1 一 集合 1 含义与表示 1 集合中元素的特征 确 定性 互异性 无序性 2 集合的分类 有限集 无限集 3 集合的表示法 列举法 描述法 图示法 2 集合间的关系 子集 对任意xA 都有 xB 则称 A 是 B 的 子集 记作AB 真子集 若 A 是 B 的子集 且在 B 中至少存在一个元素不属于 A 则 A 是 B 的真子集 记作 A B 集合相等 若 AB BA 则AB 3 元素与集合的关系 属于 不属于 空集 4 集合的运算 并集 由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集 合叫并集 记为 AB 交集 由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合 叫交集 记为AB 补集 在全集 U 中 由所有不属于集合 A 的元素组 成的集合叫补集 记为 U C A 5 集合 12 n a aa 的子集个数共有2n 个 真子集有2n 1 个 非空 子集有2n 1 个 6 常用数集 自然数集 N 正整数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 二 函数的奇偶性 1 定义 奇函数 f x f x 偶函数 f x f x 注意定义域 2 性质 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 2 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形 3 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 4 如果一个函数的图象关于 y 轴对称 那么这个函数是偶函数 二 函数的单调性 1 定义 对于定义域为 D 的函数 f x 若任意的 x1 x2 D 且 x1 x2 2 f x1 f x 2 f x1 f x2 0 f x 是增 函数 f x1 f x 2 f x1 f x2 0 f x 是减 函数 2 复合函数的单调性 同增异减 三 二次函数 y ax2 bx c 0a 的性质 1 顶点坐标公式 a bac a b 4 4 2 2 对称轴 a b x 2 最大 小 值 a bac 4 4 2 2 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 fxaxbxca 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 两根式 12 0 f xa xxxxa 四 指数与指数函数 1 幂的运算法则 1 a m a n a m n 2 nmnm aaa 3 a m n a m n 4 ab n a n b n 5 n n n b a b a 6 a 0 1 a 0 7 n n a a 1 8 mn m n aa 9 mn m n a a 1 2 根式的性质 1 n n aa 2 当n为奇数时 nn aa 当n为偶数时 0 0 nn a a aa a a 3 4 指数函数 y a x a 0 且 a 1 的性质 1 定义域 R 值域 0 2 图象过 定点 0 1 5 指数式与对数式的互化 log b aN baN 0 1 0 aaN 五 对数与对数函数 1 对数的运算法则 1 a b N b log a N 2 log a 1 0 3 log a a 1 4 log a a b b 5 a log a N N 6 log a MN log a M log a N 7 log a N M log a M log a N 8 log a N b b log a N 9 换底公式 log a N a N b b log log 10 推论 loglog m n a a n bb m 0a 且1a 0m n 且1m 1n 0N 11 log a N a N log 1 12 常用对数 lg N log 10 N 13 自 Y 0 X 1 a 1 0 Y X 1 0 a 0 且 a 1 的性质 1 定义域 0 值域 R 2 图象过 定点 1 0 六 幂函数 y x a 的图象 1 根据 a 的取值画出函数在第一象 限的简图 例 如 y x 2 2 1 xxy 1 1 x x y 七 图象平移 若将函数 xfy 的图象右移a 上移b个单位 得到函数baxfy 的图象 规律 左加右减 上加下减 八 平均增长率的问题 0 Y X 1 a 1 X 0 Y 1 0 a 1 0 a 1 a 0 5 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为p 则对于时间x的总产 值y 有 1 xyNp 九 函数的零点 1 定义 对于 yf x 把使 0f x 的 X 叫 yf x 的零点 即 yf x 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标 2 函数零点存在性定理 如果函数 yf x 在区间 a b上的图象是连续 不断的一条 曲线 并有 0f af b 那么 yf x 在区间 a b内有零点 即存 在 ca b 使得 0f c 这个 C 就是零点 3 二分法求函数零点的步骤 给定精确度 1 确定区间 a b 验证 0f af b 2 求 a b的中点 1 2 ab x 3 计算 1 f x 若 1 0f x 则 1 x就是零点 若 1 0f af x 则零点 01 xa x 若 1 0fxfb 则 零 点 01 xx b 4 判断是否达到精确度 若ab 则零点为a或b或 a b 内任一值 否 则重复 2 到 4 必修必修 2 一 直线与圆 1 斜率的计算公式 k tan 12 12 xx yy 90 x 1 x 2 2 直线的方程 1 斜截式 y k x b k 存在 2 点斜式 y y 0 k x x 0 k 存在 3 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 1212 xxyy 4 截距式 1 b y a x 0 0ab 5 一般式0 0AxBycA B 不同时为 3 两条直线的位置关系 l1 y k1 x b1 l2 y k 2 x b2 l1 A1 x B1 y C1 0 l2 A2 x B2 y C2 6 0 重合 k1 k 2且 b1 b2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 平行 k1 k 2且 b1 b2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 垂直 k1 k 2 1 A1 A2 B1 B2 0 4 两点间距离公式 设 P1 x 1 y 1 P 2 x 2 y 2 则 P1 P2 2 21 2 21 yyxx 5 点 P x 0 y 0 到直线 l A x B y C 0 的距离 22 00 BA CByAx d 7 圆的方程 圆的方程 圆心 半径 标准方程 x 2 y 2 r 2 0 0 r x a 2 y b 2 r 2 a b r 一般方程 x 2 y 2 D x E y F 0 22 E D FED4 2 1 22 8 点与圆的位置关系 点 00 P xy与 圆 222 rbyax 的 位 置 关 系 有 三 种 若 22 00 daxby 则 dr 点P在圆外 dr 点P在圆 上 dr 点P在圆内 9 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为 d 直线0 CByAx与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 0 相离rd 0 相切rd 0 相交rd 10 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 条公切线外离4 21 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 7 无公切线内含 21 0rrd 11 圆的切线方程 1 已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点 00 xy在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当 00 xy圆外时 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 表示过两 个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为 00 yyk xx 再利用相切 条件求 k 这时必有两条切线 注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb 再利用相切条件求 b 必有两条切线 2 已知圆 222 xyr 过圆上的 000 P xy点的切线方程为 2 00 x xy yr 斜率为k的圆的切线方程为 2 1ykxrk 二 立体几何 一 线线平行判定定理 1 平行于同一条直线 的两条直线互相平行 2 垂直于同一平面的两直线平行 3 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 二 线面平行判定定理 1 若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此 平面平行 2 若两个平面平行 则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个 平面平行 三 面面平行判定定理 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面 那么这两个 平面平行 8 四 线线垂直判定定理 若一直线垂直于一平面 则这条直线垂直于这个平面内的所有直线 五 线面垂直判定定理 1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直 线垂直于这个平面 2 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面 六 面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂 直 七 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第 三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面 平行 八 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 九 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公 共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 十 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 利用三垂线 定理或逆定理 十一 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与面内任一直线垂直 2 转化为该直线与 平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线 垂直于另一个平行平面 十二 证明平面与平面的垂直的思考途径 C A P D O 9 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 三 空间几何体 一 正三棱锥的性质 1 底面是正三角形 若设底面正三角形的边长为 a 则有 图形 外接圆半径 内切圆半径 面积 正三角 形 aOA 3 3 aOD 6 3 2 4 3 aS 2 正三棱锥的辅助线作法一般是 作 PO 底面 ABC 于 O 则 O 为 ABC 的中心 PO 为棱锥的高 取 AB 的中点 D 连结 PD CD 则 PD 为三棱锥的斜高 CD 为 ABC 的 AB 边上的高 且点 O 在 CD 上 POD 和 POC 都是直角三角形 且 POD POC 90 二 正四棱锥的性质 1 底面是正方形 若设底面正方形的边长为 a 则有 图形 外接圆半内切圆半面积 P D A C B O E D O B A 10 径 径 正方形 OB a 2 2 OA 2 a S a 2 2 正四棱锥的辅助线作法一般是 作 PO 底面 ABCD 于 O 则 O 为正方形 ABCD 的中心 PO 为棱锥 的高 取 AB 的中点 E 连结 PE OE OA 则 PE 为四棱锥的斜高 点 O 在 AC 上 POE 和 POA 都是直角三角形 且 POE POA 90 三 长方体 长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长 宽 高的平方和 特殊地 若正方体的棱长为 a 则这个正方体的一条对角线长为 3a 四 正方体与球 1 设正方体的棱长为 a 它的外接球半径为 R1 它的内切球半径为 R2 则 23 1 Ra 2 2Ra O A B O A1 B1 C1 D1 A B C D 11 五 几何体的表面积体积计算公式 1 圆柱 表面积 2 2 R 2 Rh 体积 R h 2 圆锥 表面积 R RL 体积 R h 3 L 为母线长 3 圆台 表面积 22 rRrR l 体积 V h R Rr r 3 4 球 S球面 4 R2 V球 3 4 R3 其中 R 为球的半径 5 正方体 a 边长 S 6a V a 6 长方体 a 长 b 宽 c 高 S 2 ab ac bc V abc 7 棱柱 全面积 侧面积 2X 底面积 V Sh 8 棱锥 全面积 侧面积 底面积 V Sh 3 9 棱台 全面积 侧面积 上底面积 下底面积 1122 1 3 Vss ss h 四 三视图 1 投影 把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影 把在一束平行光线照射下形成的投影 称为平行投影 平行投影按照 投射方向是否正对着投影面 可以分为斜投影和正投影两种 2 光线从几何体的前面向后面正投影 得到投影图 这种投影图叫做 几何体的正视图 也叫主视图 光线从几何体的上面向下面正投影 得到投影图 这种投影图叫做几何体的俯视图 光线从几何体的左面 向右面正投影 得到投影图 这种投影图叫做几何体的侧视图 或左视 图 3 长对正 高平齐 宽相等 是三视图之间的投影规律 是画图和读图的 重要依据 画几何体的三视图时 能看见的轮廓线和棱用实线表示 不能看见的 轮廓线和棱用虚线表示 12 必修必修 3 第一章 算法初步 1 算法概念 在数学上 现代意义上的 算法 通常是指可以用计 算机来解决的某一类问题是程序或步骤 这些程序或步骤必须是明确 和有效的 而且能够在有限步之内完成 2 构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束 是 任何流程图不可少的 输入 输出框 表示一个算法输入和输出的信 息 可用在算法中任何需要输 入 输出的位置 处理框 赋值 计算 算法中处理数据需 要的算式 公式等分别写在不同 的用以处理数据的处理框内 判断框 判断某一条件是否成立 成立时 在出口处标明 是 或 Y 不 成立时标明 否 或 N 3 算法的三种基本逻辑结构 顺序结构 条件结构 循环结构 结 13 构图请看教材 4 1 辗转相除法 用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的 数构成新的一对数 继续做上面的除法 直到大数被小数除尽 这个 较小的数就是最大公约数 2 更相减损术 以较大的数减去较小的数 接着把较小的数与所 得的差比较 并以大数减小数 继续这个操作 直到所得的数相等为 止 则这个数 等数 就是所求的最大公约数 3 进位制 以 k 为基数的 k 进制换算为十进制 110 110 110 nn nnknn a aa aa kaka ka k 十进制换算为 k 进制 除以 k 取余 倒序排列 第二章 统计 1 总体和样本 在统计学中 把研究对象 的全体叫做总体 把每个研究对象叫做个体 把总体中个体 的总数叫做总体容量 为了研究总体 的有关性质 一般从总体中随机抽取一部分 研究 我们称它为样本 其中个体的个数称为样本容量 2 简单随机抽样 也叫纯随机抽样 就是从总体中不加任何分组 划类 排队等 完全随机地抽取调查单位 特点是 每个样本单位被 抽中的可能性相同 总体个数较少 3 简单随机抽样常用的方法 1 抽签法 随机数表法 计算 机模拟法 4 系统抽样 等距抽样 把总体的单位进行排序 再计算出抽样距 离 然后按照这一固定的抽样距离抽取样本 第一个样本采用简单随 14 机抽样的办法抽取 总体个数较多 K 抽样距离 N 总体规模 n 样本规模 5 分层抽样 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志 性别 年龄等 划分成若干类型或层次 然后再在各个类型或层次中采用简 单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本 最后 将这些子样本 合起来构成总体的样本 先以分层变量将总体划分为若干层 再按照 各层在总体中的比例从各层中抽取 总体中差异明显 6 总体分布的估计 一表二图 频率分布表 数据详实 频率分布直方图 分布直观 频率分布折线图 便于观察总体分布趋势 注 总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1 茎叶图 茎叶图适用于数据较少的情况 从中便于看出数据的分 布 以及中位数 众位数等 个位数为叶 十位数为茎 右侧 数据按照从小到大书写 相同的数重复写 7 用样本的数字特征估计总体的数字特征 s 为标准差 1 平均值 n xxx x n 21 2 222 12 n xxxxxx s n 8 两个变量的线性相关 1 概念 1 回归直线方程 ya bx 2 回归系数 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 3 应用直线回归时注意 回归分析前 最 好先作出散点图 第三章 概率 一 概念 1 事件 试验的每一种可能的结果 用大写英文字母表示 15 1 必然事件 在条件 S 下 一定会发生的事件 叫相对于条件 S 的必然事件 2 不可能事件 在条件 S 下 一定不会发生的事件 叫相对于条 件 S 的不可能事件 3 随机事件 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件 叫相对 于条件 S 的随机事件 2 古典概型 基本事件 一次试验中可能出现的每一个基本结果 古典概型的特点 基本事件可列举 每个基本事件都是等可能发生 概率计算公式 一次试验的等可能基本事件共有 n 个 事件 A 包 含了其中的 m 个基本事 件 则事件 A 发生的概率 m p A n 3 几何概型 特点 所有的基本事件是无限个 每个基本事 件都是等可能发生 几何概型概率计算公式 积 的区域长度 面积或体试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A 4 若 A B 即不可能同时发生的两个事件 那么称事件 A 与事 件 B 互斥 5 若 A B 为不可能事件 A B 为必然事件 即不能同时发生且必 有一个发生的两个事件 那么称事件 A 与事件 B 互为 对立事件 二 概率的基本性质 1 必然事件概率为 1 不可能事件概率为 0 因此 0 P A 1 16 2 当事件 A 与 B 互斥时 满足加法公式 P A B P A P B 3 若事件 A 与 B 为对立事件 则 A B 为必然事件 所以 P A B P A P B 1 于 是有 P A 1 P B 4 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件是指事件 A 与事 件 B 在一次试验中不会同时发生 具体包括三种不同的情形 1 事件 A 发生且事件 B 不发生 2 事件 A 不发生且事件 B 发生 3 事件 A 与事件 B 同时不发生 而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生 其包括两种情形 1 事件 A 发生 B 不发生 2 事件 B 发生事件 A 不发生 对立事件是互斥事件的特殊情形 必修必修 4 4 一 一 三角函数与三角恒等变换 1 三角函数的图象与性质 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象 定义域 R R x x 2 k k Z 值域 1 1 1 1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增 区 间 2 2k 增区间 2k 2k增区间 17 2 2k 减区间 2 2k 2 3 2k 减区间 2k 2k k Z 2 k 2 k k Z 对称轴 x 2 k k Z x k k Z 无 对称中 心 k 0 k Z 2 k 0 k Z k 2 0 k Z 2 同角三角函数公式 sin 2 cos 2 1 cos sin tan tan cot 1 3 二倍角的三角函数公式 sin2 2sin cos cos2 2cos2 1 1 2 sin2 cos2 sin2 2 t a n1 t a n2 2t a n 4 降幂公式 2 2cos1 cos 2 2 2cos1 sin 2 5 升幂公式 1 sin2 sin cos 2 1 cos2 2 cos2 1 cos2 2 sin2 6 两角和差的三角函数公式 sin sin cos 土 cos sin cos cos cos 干 sin sin tantan1 tantan tan 7 两角和差正切公式的变形 tan tan tan 1 干 tan tan tan1 tan1 tan45tan1 tan45tan tan 4 tan1 tan1 tan45tan1 tan45tan tan 18 4 8 两角和差正弦公式的变形 合一变形 sincossin 22 baba 其中 a b tan 9 半角公式 2 1 2 cos sin 2 1 2 cos cos sin cos cos sin cos cos tan 1 11 1 2 10 三角函数的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan sin sin cos cos tan tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot 11 三角函数的周期公式 函数sin yx x R 及函数cos yx x R A 为 常数 且 A 0 0 的周期 2 T 函数t an yx 19 2 xkkZ A 为常数 且 A 0 0 的周期T 二 平面向量 一 向量的有关概念 1 向量的模计算公式 1 向量法 a 2 aaa 2 坐标法 设a x y 则 a 22 yx 2 单位向量的计算公式 1 与向量a x y 同向的单位向量是 2222 yx y yx x 2 与向量a x y 反向的单位向量是 2222 yx y yx x 3 平行向量 规定 零向量与任一向量平行 设a x1 y1 b x2 y2 为 实数 向量法 a b b 0 a b 坐标法 a b b 0 x1 y2 x2 y1 0 2 2 1 1 y x y x y1 0 y 2 0 4 垂直向量 规定 零向量与任一向量垂直 设a x1 y1 b x2 y2 向量法 a b a b 0 坐标法 a b x1 x 2 y1 y 2 0 5 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB 22 2121 xxyy A 11 x y B 22 xy 二 向量的加法 1 向量法 三角形法则 首尾相接首尾连 平行四边形法则 起 20 点相同连对角 2 坐标法 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 三 向量的减法 1 向量法 三角形法则 首首相接尾尾连 差向量的方向指向被 减向量 2 坐标法 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 3 重要