湖南大学材料力学-第三章：圆轴扭转I 截面几何性质.ppt

材 料 圆轴扭转 第三章 一 概述 实例 方向盘的操纵杆 传动轴 钻头 钻杆 受力特点 在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶 变形特点 任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动 以扭转变形为主的杆称为轴 材料力学只研究圆轴扭转问题 二 扭转内力 扭矩 扭矩图 及外力偶的计算 1 外力偶的计算 作用在轴上的外力偶往往不是直接给出的 而是给出轴所传递的功率和轴的转速 因而需要换算 设输送的功率N为Pkw传动轴转速为n转 分 化标准单位1kw 1000N m s 一分钟内作功 W N t P 1000 60 N m 这功是由外力偶作用在轴上来实现的 假定外力偶为m 则一分钟内外力偶作功为 W m m n 2 若功率单位为马力时 经过单位换算可得到 外力偶的转动方向 主动轮为动力轮 其上外力偶的转向与轴转动方向相同 从动轮为阻力轮 其上的外力偶的转动方向与轴转动方向相反 2 扭转内力 扭矩 扭矩图 截面法 抛 代 平 切 扭转内力通常用T表示 称为扭矩 由 若保留右段 则有 即 大小相等 转向相反 m x m m T m T 作用力反作用力 为了表达方便 按变形特点规定符号 符号规定 按右手螺旋法将扭矩T表为矢量 若该矢量方向与截面外法线方向一致为正 反之为负 m T m T m T m T a b m x m m T m T 无论保留左段还是右段 得到的扭矩大小 符号均相同 同时 若给出某截面扭矩的大小和符号 则无论保留左段还是右段 都能方便地画出该截面的扭矩 大小 转向 例3 1已知A轮为主动轮 B C D 试求1 1 2 2 3 3截面的扭矩 轴的转速为300转 分 为从动轮 A B D C 1 2 3 1 2 3 解 1 求外力偶 mA mC mB mD mB T1 mB T2 mC T3 mD 2 求扭矩作轴的受力图 利用截面法可求出扭矩 此时 T的符号具有双重意义 3 扭矩图 5 09 3 82 kN m T mA mC mB mD 7 64 1 3 2 mA mC mB mD mB T1 mB T2 mC T3 mD 若将力偶用矢量表示 则与杆的拉 压内力计算完全类似 三 薄壁圆筒的扭转应力 为了解决圆轴的扭转应力计算 我们先讨论比较简单的薄壁圆筒的扭转问题 R0 t 1 薄壁圆筒的应力公式 观察变形 各圆周线形状 大小 间距不变 各纵向线倾斜相同角度 各矩形变成平行四边形 变形现象 分析变形现象 由圆周线的大小 形状不变 纵向线发生倾斜的变形现象 我们知道 薄壁圆筒横截面绕轴线转动了一个角度 圆周线的间距不变 杆子既不伸长 也不缩短 由此推得横截面上无正应力 表面纵向线倾斜 表面所有的矩形格子都变成平行四边形 而每个直角都改变了相同的角度 这种直角的改变量称为剪应变 这种剪应变是由剪应力引起的 因此在横截面的圆周上各点的剪应力是相等的 又由于t R0 所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布 薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均相等 剪应变 是两截面的错动 发生在垂直半径的平面内 所以剪应力的方向垂直于半径 结论 薄壁圆筒在受扭转变形时 横截面上将产生剪应力 它的方向沿圆周切线方向 且在整个横截面的大小相等 薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均相等 T 应力公式推导 由截面法 我们知道横截面上的分布内力系的合力为扭矩T 于是由静力等效关系有 上式中的r可用R0代 于是 由于 为常数 且t R0 2 剪应力互等定理 材料单元体三棱边为微元长度 组成一力偶 x y z dx dy dz 1 2 平衡 可推测上 下两个面中必有剪应 3 4 组成一力偶 由平衡知 x y z dx dy dz 1 2 3 4 剪应力互等定理 两个互相垂直平面上的剪应力大小相等 方向为同时指向 或同时背离 两个面的交线 纯剪切 如图 各个侧面均无正应力 只在两对相互垂直的平面上有剪应力 3 剪切胡克定律 实验表明 当剪应力不超过材料的弹性极限时 剪应力 与剪应变 成正比 G G 剪切弹性模量 G与 同量纲 G E 均为反映材料性质的材料常数对各向同性材料这三个量中 只有两个独立 它们满足下列关系 四 圆轴扭转时应力与变形 1 横截面上的应力 思路 观察变形 提出变形假设 导出应变与变形的关系 几何关系 利用材料本身的性质应力 应变关系 称为物理关系 由应变规律得到应力分布规律 利用应力 内力关系 静力关系 可得到用内力表示的应力公式 各圆周线形状 大小 相邻两圆周线的间距不变 各纵向线近似于直线 只是倾斜了一个相同的角度 轴表面变形前的矩形格 变形后成了平行四边形格 考察变形 从变形的可能性出发 假设 杆横截面像刚性平面一样绕轴线转动 刚性平面假设 此假设只适用于等直圆杆 假设的合理性被实验结果和弹性理论所证实 将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成 然后 再想象从圆轴的dx微段中 取出一半径为 厚度为d 的薄壁圆筒 几何关系 B B o d d dx 式中 为相对扭转角沿杆长度的变化率 记为 物理关系 上式表明 横截面上的剪应力随着到圆心的距离 按直线规律变化 在同一半径为 的圆周上 各点的剪应力均相等 根据剪切胡克定律 横截面上剪应力的合成结果就是该横截面上的扭矩 静力关系 r dA max dA o 极惯性矩 a b 在给定的横截面上 最外缘剪应力最大 抗扭截面模量 1 实心圆轴 取距离圆心为 厚度为d 的环形面积为dA 于是 2 Ip wt的计算 2 空心圆轴 3 圆轴扭转的变形计算 单位长度扭转角 3 16 相距dx的两横截面的扭转角 相距L的两横截面的扭转角为 若在L长度内 T G Ip为常数 则上式可写成 GIp 抗扭刚度 对比轴向拉压 公式形式相似 适用条件相同 圆轴扭转 例3 2实心圆轴的直径D 100mm 长l 1m 两端受外力偶矩m0 14kN m作用 如图所示 设材料的剪切弹性模量G 80GPa A B z m0 m0 y C 1 杆内图示截面上A B C三点处的剪应力数值及方向 2 杆内最大剪应力 max 3 两端截面之间相对扭转角 试求 A B z m0 m0 y C 解 1 由截面法 易求得轴任意截面的扭矩均为T m0 截面扭矩为正号扭矩 由静力等效的关系知 在整体图中从右往左看 剪应力方向为 A水平向左 B铅垂向下 C竖直向上 2 因为等直圆轴 且各截面T相等 因此 轴内最大剪应力即为任意截面最外缘的剪应力 3 五 圆轴扭转时的强度及刚度计算 1 强度条件 等直圆轴在扭转时 杆内各点均处于纯剪切状态 其强度条件是最大工作剪应力不大于材料的许用剪应力 即 max 等直圆轴强度条件为 根据上式可进行三种不同情况的强度计算 校核强度 设计截面 计算许可荷载 例3 3一传动轴 横截面上最大扭矩为Tmax 1 5kN m 许用剪用力 50MPa 试按下列两种方案确定轴的截面尺寸 并比较其重量 1 横截面为实心圆截面 2 横截面是 0 9的空心截面 解 设计实心圆轴 2 设计空心圆轴 3 比较重量 同种材料 杆长相同 所以 重量比即为横截面面积之比 空心轴远比实心轴轻 说明空心轴材料利用率高 原因 2 刚度条件 为了保证轴的刚度 通常限制轴的最大单位长度扭转角 刚度条件 在工程中 的单位习惯上用度 m 记为 m 而按 3 16 式求出的 值单位为弧度 m 此外 等直杆 3 16 式中的T为Tmax 3 17 上式可改写成 3 18 许用单位长度扭转角 通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件 按 3 18 可进行三种不同形式的刚度计算 即 校核刚度 设计截面 计算许可荷载 例3 4有一外径D 100mm 内径d 80mm的空心圆轴与一直径d 80mm的实心圆轴用键联接 如图所示 在A轮输入功率为N1 300马力 在B C轮处分别负载N2 150马力 N3 150马力 若已知轴的转速为n 300转 分 材料的剪切弹性模量为G 80GPa 轴的扭转许用剪应力 100MPa 许用单位长度扭转角 1 m 要求 1 校核轴的强度和刚度 不考虑键的影响 2 三个轮的位置应如何设置才较为合理 3 经合理布置各轮位置后 求C截面相对A截面转角 A B C 2m 1m 1m D 解 计算外力偶 为简化计算 1马力取700瓦 取3 刚度校核 AD 轴 DC 轴 式中 经校核 全轴刚度足够 强度校核 CD轴 式中 经校核CD轴强度足够 式中 AD轴 经校核AD轴强度不够 合理布置轮的位置 交换轮1和轮2的位置 则轴的受力图和扭矩图如下图所示 m2 3 5kN m m1 7kN m m3 3 5kN m 2m 1m 1m T kN m 3 5 3 5 Tmax比原来小 这样布置显然更为合理 原来AD轴强度不够 现再对它进行强度校核 强度足够了 Tmax的负号不要代 为什么 2 静矩与形心的关系 讨论水平面的一块均质薄板 重心与形心重合 通过求重心的方法来求形心 设厚度为t 单位体积重为 o xy平面为水平面 设形心为C 根据合力矩定理 有 或写成 截面对某轴的静距为零 则该轴必过形心 3 组合图形的静矩 例 求图示截面的Sy Sx 及形心位置 解 将原截面化分为I II两部分 y 120 o 80 10 10 x I II 二 极惯性矩 惯性矩 惯性积 定义 截面对o点极惯性矩 截面对x y轴的惯性积 截面对x轴的轴惯性矩 截面对y轴的轴惯性矩 定义 轴惯性矩简称为惯性矩 极惯性矩 惯性矩和惯性积量纲均为 长度 4 常用单位为m4或 mm 4 2 基本结论 极惯性矩 惯性矩 惯性积与截面大小形状 以及原点或坐标轴的位置有关 Ip恒大于零 A 0 且任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和 即 证 由图可见 o x y x y dA 当A 0时 惯性矩恒大于零 ix iy称为截面对x y轴的惯性半径 同一截面对不同的x y轴的惯性积Ixy有不同的值 其值可正 可负 也可能为零 对于给定的O点 总可以找到一对正交轴x y 使得 则 x y 轴称为主轴 o x y x y A o x y x y A 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩 若O点为截面形心 则x y 为形心主轴 Ix Iy 为形心主惯性矩 对于以同一个点为原点的所有正交轴中 截面对主轴的惯性矩Ix Iy 为极值惯性矩 其中一个为极大值 一个为极小值 当坐标轴x y中有一根为对称轴 则Ixy 0 即 对称轴恒为主轴 反之不然 x y y y dA dA x x 例求图示矩形截面 对x x 轴惯性矩 解 y dy y x x b y x y为形心主惯性轴 例求圆形截面对其形心轴的惯性矩 x y d 解 圆的任意一根形心轴均为形心主惯性轴 三 惯性矩 惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 1 平行移轴公式 C点为截面的形心 xc yc为一对正交的形心轴 x y分别平行于xc yC轴 平行移轴公式 讨论截面对x y轴的 Ix Iy Ixy和对xc yc轴的 之间的关系 任意面积元素dA 在两坐标系中的坐标分别为 显然 y x dA C O xc x y yc b a xc yc 由定义 即 a b为形心C在坐标系oxy中的坐标 因而有正负号之分 对于所有的平行轴 截面对形心轴的惯性矩最小 例已知矩形截面对形心轴x的惯性矩为 y x x y x x 2 组合截面的惯性矩和惯性积 各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩 例求图示工字形截面对x y轴的惯性矩Ix Iy x y 解 将截面分成上翼缘 下翼缘和腹板三部分 三部分均为矩形截面 其对自身形心主惯性轴的惯性矩为已知 上 下翼缘自身的形心主惯性轴与x平行 腹板的形心主惯性轴即