高中数学圆锥曲线——双曲线(基础)总结.doc

圆锥曲线双曲线一选择题（共12小题）1过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D42已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A=1B=1Cy2=1Dx2=13若双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD4若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A11B9C5D35已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）A4BCD46已知双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=17已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的，则该双曲线的离心率为（）ABCD8下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=19若实数m满足0m8，则曲线C1：=1与曲线C2：=1的（）A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等10已知点F1（3，0）和F2（3，0），动点P到F1、F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为（）ABCD11已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2=（）ABCD12已知，则双曲线C1：与C2：的（）A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等二填空题（共8小题）13双曲线=1的焦距是，渐近线方程是14过双曲线C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为15已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=16已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为17若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为18若双曲线=1的渐近线与圆（x3）2+y2=r2（r0）相切，则r=19已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1，F2点P是曲线C1与C2的公共点，则F1PF2=20若方程（kR）表示双曲线，则k的范围是三解答题（共4小题）21双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）（1）求双曲线的方程；（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且F1PF2=60，求F1PF2的面积22已知双曲线与椭圆共焦点，双曲线的离心率为（1）求椭圆长轴长、离心率 （2）求双曲线方程和渐近线方程23如图，若F1，F2是双曲线=1的两个焦点（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|=32，试求F1PF2的面积24过双曲线=1的右焦点F2作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点（1）求线段AB的长；（2）若AF1F2为等腰直角三角形，求双曲线的离心率（F1为左焦点）2015年12月18日圆锥曲线双曲线（基础）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2015四川）过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D4【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|【解答】解：双曲线x2=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=2，|AB|=4故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用2（2015天津）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A=1B=1Cy2=1Dx2=1【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为bxay=0，双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，b=a，焦点为F（2，0），a2+b2=4，a=1，b=，双曲线的方程为x2=1故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键3（2015湖南）若双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），可得3b=4a，即9（c2a2）=16a2，解得=故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查4（2015福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A11B9C5D3【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3|PF1|=3，P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|=6，|PF2|=9故选：B【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题5（2015贵州模拟）已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是（）A4BCD4【考点】双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，由已知得2=22，由此能求出结果【解答】解：双曲线x2+my2=1的标准方程为=1，虚轴长是实轴长的两倍，2=22，解得m=故选：B【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用6（2015广东）已知双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，a=4，b=3，所求双曲线方程为：=1故选：C【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力7（2015兴国县一模）已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长的，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率【解答】解：焦点F（c，0）到渐近线y=的距离等于实轴长的，=2a，a=2be2=1+=e=故选：C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程8（2015安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）Ax2=1By2=1Cx2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，对选项一一判断即可得到答案【解答】解：由双曲线方程=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由A可得渐近线方程为y=2x，由B可得渐近线方程为y=x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题9（2015湖北模拟）若实数m满足0m8，则曲线C1：=1与曲线C2：=1的（）A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等【考点】双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据m的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论【解答】解：当0m8，则08m8，1624m24，即曲线C1：=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=24，b2=8m，c2=32m，曲线C2：=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=24m，b2=8，c2=32m，即两个双曲线的焦距相等，故选：A【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键10（2014秋江北区校级期末）已知点F1（3，0）和F2（3，0），动点P到F1、F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为（）ABCD【考点】双曲线的定义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为，由题设知c=3，a=2，由此能出点P的轨迹方程【解答】解：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半轴的双曲线的右支，设其方程为（x0）（a0，b0），由题设知c=3，a=2，b2=94=5，点P的轨迹方程为（x0）故选B【点评】本题考查点P的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答11（2015衡水四模）已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2=（）ABCD【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cosF1PF2的值【解答】解：设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，可得m=2a|PF1|=4a，|PF2|=2a双曲线|F1F2|=2a，cosF1PF2=故选B【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题12（2013湖北）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论【解答】解：双曲线C1：可知a=sin，b=cos，2c=2（sin2+cos2）=2；双曲线C2：可知，a=cos，b=sin，2c=2（sin2+cos2）=2；所以两条双曲线的焦距相等故选D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力二填空题（共8小题）13（2015浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=x【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，焦距是2c=2，渐近线方程是y=x故答案为：2；y=x【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础14（2015山东）过双曲线C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为2+【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=b，取P（2a，b），双曲线C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，=e=2+故答案为：2+【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础15（2015北京）已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件可得=，即可得到a的值【解答】解：双曲线y2=1的渐近线方程为y=，由题意可得=，解得a=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题16（2015上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程【解答】解：C1的方程为y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础17（2015路南区校级二模）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到【解答】解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x，则=b=2c，即有c=2b，即有c=2，即有3c2=4a2，即有e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题18（2014浦东新区三模）若双曲线=1的渐近线与圆（x3）2+y2=r2（r0）相切，则r=【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，即xy=0，圆心（3，0）到直线的距离d=，r=故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系19（2013闸北区三模）已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1，F2点P是曲线C1与C2的公共点，则F1PF2=60【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定|PF1|2+|PF2|2=2（a12+a22），|PF1|PF2|=a12a22，结合余弦定理，即可得出结论【解答】解：根据题意，可得|PF1|+|PF2|=2a1，且|PF1|PF2|=2a22+2，得|PF1|2+|PF2|2=2（a12+a22），|PF1|PF2|=a12a22，椭圆C1与双曲线C2有公共焦点c2=a121=a22+，a12a22=，|PF1|PF2|=，cosF1PF2=，F1PF2=60故答案为：60【点评】本题考查椭圆、双曲线的性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（2010秋姜堰市校级期末）若方程（kR）表示双曲线，则k的范围是3k3【考点】双曲线的定义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需k3与k+3只需同号即可，则解不等式（k3）（k+3）0即可求解【解答】解：依题意可知（k3）（k+3）0，求得33故的范围为3k3【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况三解答题（共4小题）21（2015春吉安校级月考）双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）（1）求双曲线的方程；（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且F1PF2=60，求F1PF2的面积【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线的方程，代入点的坐标，解方程即可得到双曲线的方程；（2）运用余弦定理和双曲线的定义及面积公式，即可计算得到所求面积【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（3，0），（3，0），设双曲线的方程为=1，又因为双曲线过点（4，），则=1，即有a440a2+144=0，解得a2=4或a2=36（舍去）所以双曲线的方程为=1；（2）在F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60=（|PF1|PF2|）2+|PF1|PF2|又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|PF2|）2+|=4a2=16，则|PF1|PF2|=20，则=|PF1|PF2|sin60=5【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的定义，同时考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题22（2014秋克拉玛依区校级期末）已知双曲线与椭圆共焦点，双曲线的离心率为（1）求椭圆长轴长、离心率 （2）求双曲线方程和渐近线方程【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求出椭圆的焦点，以及a，b，c，即可得到长轴长2a，以及离心率；（2）设出双曲线的方程，由离心率公式可得m，再由双曲线的a，b，c的关系可得n，进而得到双曲线方程和渐近线方程【解答】解：（1）椭圆的焦点为（3，0），a=4，b=，c=3则椭圆长轴长为2a=8，离心率为e=；（2）设双曲线的方程为=1（m0，n0），则m2+n2=32，=，解得m=2，n=，则双曲线方程为=1，则渐近线方程为y=x【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础