高中数学压轴题系列——导数专题——函数零点或交点问题.doc

高中数学压轴题系列导数专题函数零点或交点问题头条号：延龙高中数学 微信：gyl_math123 1已知函数f（x）=ln（x+a）x2x（aR）在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）证明：ln（x+1）x2+x；（3）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围【解答】（1）解：f（x）=，在x=0处取得极值，f（0）=0，1=0，解得a=1经过验证a=1时，符合题意（2）证明：当a=1时，f（x）=ln（x+1）x2x，其定义域为x|x1f（x）=，令f（x）=0，解得x=0当x0时，令f（x）0，f（x）单调递减；当1x0时，令f（x）0，f（x）单调递增f（0）为函数f（x）在（1，+）上的极大值即最大值f（x）f（0）=0，ln（x+1）x2+x，当且仅当x=0时取等号（3）解：f（x）=x+b即ln（x+1）x2+xb=0，令g（x）=ln（x+1）x2+xb，x（1，+）关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上恰有两个不同的实数根g（x）=0在区间0，2上恰有两个不同的实数根g（x）=2x+=，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增当x（1，2）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减，2已知函数f（x）=（xR），当x=2时f（x）取得极值（1）求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）2m+1=0在x2，1时有解，求实数m的取值范围解：（1）当x=2时f（x）取得极值，f（2）=0，a=2；（2），由f（x）0得1x2；由f（x）0得x1或x2，所以函数f（x）的增区间是（1，2），减区间是（，1），（2，+）（3）由（2）知函数f（x）在2，1）单减，在（1，1单增当x2，1时，fmin（x）=1，依题意，所以3（2018南平一模）已知函数f（x）=lnx（a+1）x，g（x）=ax+a，其中aR（1）试讨论函数f（x）的单调性及最值；（2）若函数F（x）=f（x）g（x）不存在零点，求实数a的取值范围解：（1）f（x）=lnx（a+1）x，函数的定义域是（0，+），f（x）=（a+1）=，a+10即a1时，1（a+1）x0，故f（x）0，f（x）递增，无最值，a+10即a1时，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；故f（x）min=f（）=ln（a+1）1；（2）F（x）=lnx（a+1）x+axa=lnxxa，F（x）=1+=，令F（x）0，解得：x2，令F（x）0，解得：x2，故F（x）在（0，2）递增，在（2，+）递减，故F（x）max=F（2）=ln221a=ln23a，若F（x）不存在零点，则ln23a0，解得：aln234（2018榆林三模）设函数f（x）=ax3+bx2x（xR，a，b 是常数，a0），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值（1）求f（x）的解析式；（2）若曲线y=f（x）与g（x）=3xm（2x0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围解：（1）f（x）=3ax2+2bx1，（2分）依题意f（1）=f（2）=0，即，解得a=，b=（4分）f（x）=x3+x2x（5分）（2）由（1）知，曲线y=f（x）与g（x）=3xm（2x0）有两个不同的交点，即x3x22xm=0在2，0上有两个不同的实数解 （6分）设（x）=x3x22xm，则（x）=x2x2，（8分）由（x）=0的x=4或x=1当x（2，1）时（x）0，于是（x）在2，1上递增；当x（1，0）时（x）0，于是（x）在1，0上递减（10分）依题意有0m，实数m的取值范围是0m（13分）5（2018广元模拟）已知函数f（x）=2lnxx2+ax（aR）（）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（）若函数f（x）与g（x）=axm图象在上有两个不同的交点，求实数m的取值范围解：（）当a=2时，f（x）=2lnxx2+2x，f（x）=2x+2，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f（1）=2，则切线方程为y1=2（x1），即y=2x1（）由题意可得：2lnxx2+m=0，令h（x）=2lnxx2+m，则h（x）=2x=，x，e，故h（x）=0时，x=1当x1时，h（x）0；当1xe时，h（x）0故h（x）在x=1处取得极大值h（1）=m1又=m2，h（e）=m+2e2，h（e）=4e2+0，则h（e），h（x）在上的最小值为h（e）h（x）在上有两个零点的条件是，解得：1m2+，实数m的取值范围是1，2+6（2018广西二模）已知函数f（x）=ln（x+a）x（aR），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线（1）求a的值；（2）设函数g（x）=xex2xf（xa）a+2，证明：函数g（x）无零点解：（1）函数f（x）=ln（x+a）x（aR）的导数为f（x）=1，设切点为（m，n），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线，可得1=，ln（m+a）m=m+ln3，解得m=2，a=1；（2）证明：函数g（x）=xex2xf（xa）a+2=xex2xf（x1）2+2=xexxlnx，x0，g（x）=（x+1）ex1=（x+1）（ex），可设ex=0的根为m，即有em=，即有m=lnm，当xm时，g（x）递增，0xm时，g（x）递减，可得x=m时，g（x）取得极小值，且为最小值，则g（x）g（m）=memmlnm=1m+m=1，可得g（x）0恒成立，则函数g（x）无零点7（2018全国二模）已知函数（）当a=1时，求f（x）的单调区间及极值；（）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围解：（）当a=1时，x0.，x01分当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）03分所以f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+）f（x）的极小值为；无极大值5分（）=7分x0，a0，x2+x+a0，当xa时，f（x）0；当0xa时，f（x）0f（x）在（0，a）上单调递减；在（a，+）上单调递增8分所以若f（x）有两个零点，必有，得a310分又，综上所述，当a3时f（x）有两个零点，所以符合题意的a的取值范围为（3，+）12分8已知函数f（x）=lnxax（aR），在x=1时取得极值（）求f（x）的单调区间；（）若方程f（x）=x+b在区间1，3上有两个不等实数根，求实数b取值范围（）若函数h（x）=f（x）x2，利用h（x）的图象性质，证明：3（12+22+n2）ln（1222n2）（nN*）解：（）函数f（x）=lnxax的导数为f（x）=xa，由在x=1时取得极值，则f（1）=0，即11a=0，解得a=0，即有f（x）=lnx的导数为f（x）=x，（x0），令f（x）0可得0x1，令f（x）0可得x1，则f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）；（）若方程f（x）=x+b在区间1，3上有两个不等实数根，即为b=lnxx2+x在区间1，3上有两个不等实数根令g（x）=lnxx2+x，g（x）=x+=，当1x2时，g（x）0，g（x）递增；当x2时，g（x）0，g（x）递减即有x=2处g（x）取得极大值，也为最大值，且为ln2+1，x=1时，g（x）=1，x=3时，g（x）=ln3则当ln3bln2+1时，方程在区间1，3上有两个不等实数根；（）证明：函数h（x）=f（x）x2=lnxx2，h（x）=3x=，（x0），当0x