中考“四边形”复习策略探究.doc

中考“四边形”复习策略探究海南省文昌中学 邓之淮摘要：四边形是初中“几何与图形”的主干知识，是海南中考的重点内容。分析中考数学试题中的“四边形”，在复习的时候应引导学生弄清楚几种特殊四边形之间的从属关系，掌握四边形的性质与判定，“抓牢四边形中的基础知识，夯实数学基础；运用四边形中的图形变化，拓展思维空间；紧扣四边形中的思想方法，提高解题能力；关注四边形中的实际应用，培养应用意识。”扎扎实实提高学生的数学能力。关键词：四边形；复习策略；数学基础；思维空间；解题能力；应用意识； 四边形是人们生活中常见的一种几何图形，在日常生活或生产实践中具有很广泛的应用，其包含平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形等特殊四边形，既是基本的几何图形，也是初中“几何与图形”的主干知识，它是几何知识在三角形上的拓展与延伸，是学习相似形、圆等知识的基础。一、教材关于“四边形”的处理“四边形”的重点是平行四边形的定义、性质与判定，矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其内容安排与探索方法都与平行四边形的性质与判定类似；梯形的性质、三角形中位线定理等的论证，也是以平行四边形的有关定理为依据，是平行四边形知识的综合应用，所以掌握平行四边形的定义、性质与判定，分清楚特殊四边形之间的关系是掌握本章内容的关键。“四边形”知识结构图如下：两组对边都不平行两组对边分别平行矩形菱形一角是直角梯形分别平行且只有一组对边平行等腰梯形直角梯形一组邻边相等一组邻边相等一角是直角一组对边平行另一边对边不平行两腰相等一角是直角四边形任意四边形平行四边形正方形二、数学课程标准关于“四边形”的要求数学课程标准对于“四边形”有关概念的知识性目标为“了解”，对性质与判定的行为性目标与知识性目标为“探索并掌握”，要求灵活运用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形性质、判定及推论解决有关问题，对“四边形”有比较高的要求，特别是几何推理。四边形有比较强的综合性，可以综合平行线、三角形与圆等知识，可以综合平移、旋转、对称、相似与投影等图形变化，可以综合三角函数、勾股定理、方程等数学模型。“四边形”的地位与作用、课标的要求与海南省中考的特点造就它势必是中考数学科的重点！三、典型例题与复习策略分析分析各省市的中考数学试题，四边形所占的分值比较大，无论是基础知识部分，还是压轴题，均有它的影子，最近几年，海南省中考数学科试题的几何压轴题都是以“四边形”为基本图形。命题教师喜欢“四边形”，不仅是因为四边形是初中几何的主干知识，还因为它有很强的综合性，它可以综合的知识点非常多，所能包含的数学思想方法非常丰富，以下结合一些中考例子，分析常见的考法与复习时应关注的方面： （一）、抓牢四边形中的基础知识，夯实数学基础ABCD图1“四边形”是中考必考内容，关于四边形的基础题型在每一份中考试题中都有所体现，所占的分值在6分到12分之间，往往综合若干个知识点综合考查学生的基础。例1、（2005年海南省）如图1，ABDC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个条件： 【分析】这是一道开放性题目，考查平行四边形的判定，可以有多种方法解答，若补充BCAD或AB=CD，根据平行四边形的定义和判定定理直接可以判定四边形ABCD是平行四边形；若补充B=D，因为ABDC，所以B+C=180，则有D+C=180，则有BCAD，则可以间接判定四边形ABCD是平行四边形；若补充A=C类似。ADBC图2O例2、（2012年海南省）图2是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且ABAD，则下列判断不正确的是 AABDCBD BABCADC CAOBCOB DAODCOD 【分析】“例2”以一个轴对称的四边形为基本图形，考查四边形中存在的全等三角形，由图形关于BD所在的直线对称可知，AB=BC、AD=CD，BDAC，又ABAD，所以BCDC，则可断定ABCADC是错误的。ABCD图3E例3、（2004年灵武）如图3，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD5，AB6，BC8，且ABDE，DEC的周长是A.3 B.12 C.15 D.19【分析】由ADBC与ABDE可得四边形ABED是平行四边形，从而有BE=AD=5，DE=AB=6，所以CE=3，所以DEC的周长=6+6+3=15。此题综合了三角形、平行四边形与梯形，考查的知识点多，难度不大，是常见的考法。EABCD图4例4、（2004年重庆市北碚区）如图4，有一个直角梯形零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10cm，D120，则该零件另一腰AB的长是_cm（结果不取近似值）ABD图5CEFO【分析】例4综合梯形、平行四边形和直角三角形，由ADBC，D120可得C60，过点D作DEBC于点E，利用三角函数或是利用勾股定理就可以求出AB=DE=，此题也可以过点A作CD的平行线求解。例5、（2005年福州市）如图5，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 A B C D【分析】例5综合矩形的性质、三角形全等与等积原理，由四边形ABCD是矩形可得出BO=DO，ABCD，所以有ABO=CDO，又BOE=DOF，则BOEDOF，所以DOF的面积与BOE的相等，即阴影部分的面积等于ABO的面积，又由BO=DO可知ABO的面积等于ABD的一半，所以阴影部分的面积是矩形ABCD面积的四分之一，因而正确的答案是B。对图形面积的考查，也可以通过设定某条线段的长度，根据图形之间的相互关系，求解有关线段的长度，再求图形的面积。【教学思考】对四边形中的基础知识的考查，一般是以四边形为基本图形，综合三角形与四边形的有关知识，图形之间的关系、角度、线段的长度、图形的周长与面积都是常考的基本知识。由于四边形存在诸多的等量关系，解题入口宽，所以四边形中的基础题型学生不难以解答，但四边形的特殊种类较多，内容相近，学生对其性质、定理的运用经常出现混淆，或出现“张冠李戴”，因而在复习时应引导学生弄清楚四边形几种特殊图形之间的从属关系，抓牢基础知识与基本方法。（二）、运用四边形中的图形变化，拓展思维空间图形变化是初中几何比较重要的内容，分为“平移、旋转、对称、位似”，数学课程标准要求灵活运用这部分的知识，中考数学试题常把四边形图形变化结合，综合考查学生的数学能力，而其“变化”是拓展学生思维的好素材。ABCD图6NM例6、（2011年海南省）如图6，将ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论 MNBC，MN=AM，下列说法正确的是A. 都对 B. 都错 C. 对错 D. 错对图7ABCPDE【分析】例6综合图形的变化与平行四边形，需要一定的想象力，由折叠可知D=AMN，DAN=MAN，DNA=MNA，又由四边形ABCD是平行四边形，可知B=D，CDAB，所以B=AMN，所以MNBC；由CDAB，有DNA=MAN，所以MAN =MNA，所以MN=AM，所以正确的答案为A。例7、（2008年海南省）如图7，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；【分析】例7是一道压轴题，点P在AC上运动，是点平移，集四边形、三角形与图形的变化于一身，融会许多数学思想方法，需要比较强的分析能力。证明PE=PD的思路比较简单，只要证明ABP与ADP全等，再利用等量代换就可以证得。而证明PEPD的思路极多，如：思路一：通过证明PEC+PDC= 180，再利用四边形内角和得证；思路二：利用三角形内角与外角的关系得CPE=PEB -45，DPC=ADP+45，又DPE=CPE+DPC，所以DPE=PEB+ADP，则DPE=PDC+ADP=90，从而PEPD；思路三：过点P分别作BC与CD的垂线段PM与PN，通过证明PME与PND全等得证；思路四：过点P作BC的垂线交BC与AD于点M、N，通过证明PME与DNP全等得证；思路五：连接DE，通过证明PED+PDE=90得证；。CFGEDBA图8H例8、（2010年海南省）如图8，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0BAE 180），设ABE的面积为S1，ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明【分析】例8中的第（3）小题是一道综合图形变化（旋转）的题型，正方形ABCD绕点A逆时针旋转，图形就会发生变化，要判断S1与S2的大小关系，得分类讨论：旋转角在大于0而小于90时；旋转角等于90时；旋转角在大于90而小于180时；思路一：证明AG与AE上的高相等；思路二：证明AD与AB上的高相等；思路三：延长GA至M使AM=AG，连接DM，则，再证ABEADM；思路四：用三角函数证， BAE=时，GAD=180-则sin(180-)=sin，由AE=AG，AB=AD可得S1=S2，（用三角函数证明无须分类讨论）；。【教学思考】用四边形综合图形变化，是近年中考试题的热点，要解答这种类型的题，需要有一定的分析能力与想象能力，要经过观察、分析、比较、归纳、验证等探究活动来寻找解题途径，抓住变化的规律，抓住变化之中存在的不变性，是解决此类动态几何问题的方法。在复习的时候，引导学生观察、分析四边形中的“图形变化”，引导学生从不同的角度分析与解答题目，可以引发学生产生各种可能性的猜想，提高题目涉及的知识点的深广度，利于拓展学生的思维空间。（三）、紧扣四边形中的思想方法，提高解题能力数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是对数学规律的理性的认识，是数学的灵魂。四边形中存在许多等量关系，如果再与图形变化相结合，其蕴含的数学思想方法极为丰富，在对四边形进行复习时应充分挖掘这些思想和方法。 PQ图9ABCEDFNM例9、如图9，在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点， 连接PQ、CQ、MN，如图11（2）所示， 若PQCQ，PQMN，且AB4cm，BC3cm，求PC的长度【分析】例9是2012年海南省中考数学试题23题，其中第（3）小题就包含着几个主要的数学思想，这些数学思想是题目的精髓，是解决问题的关键，运用这些思想和方法，可以简化解题过程：1、数形结合思想数形结合思想是通过数、形之间的相互转化来研究和解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。如例9，要想求PC的长度，可先求出BM、CN的长度。设BM =x，则ME=x，AM=4-x，利用ADC 与NFC相似，可列出方程，解得x=1.5，则BM=1.5，CN=2.5；设BQ=y，则PC=2y，MQ=PN=1.5-y。因为PC+PN=CN=2.5，则2y +(1.5-y) =2.5，则 y=1，所以PC=2y=2 cm。利用数形结合思想，引入未知数构造方程，“以形助数”、“以数解形”，化简了解题过程。 2、方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）或不等式（组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。设BM =x，列出方程，解得x=1.5，则BM=1.5，CN=2.5；设BQ=m，MQ=n。则有CN=2m+n ， BM=m+n，列出方程组： ，解得，所以PC=2CG=2cm。根据图形中存在的数量关系和等量关系，利用“方程和方程组”这一数学模型，使问题在解方程（组）中获得解决。 3、转化思想转化思想是将要研究和解决的问题转化为一个较容易解决的问题或已解决的问题。例9将几何问题（求线段PC的长度）转向用代数求解（列方程）；又如求线段PC，直接求解很困难，则把问题转向求BM、CN，再利用存在的等量关系求出PC；另外，在求解的过程中，可以过点Q作QGCD于点G 、也可以过点N作NHAB于点H 、也可以过点C作CKPQ交AB的延长线于点K ，通过添加辅助线，把问题转化成直角三角形或平行四边形，利用勾股定理与平行四边形中的等量关系求解；这些都体现了转化思想，通过转化，可以把复杂的问题简单化，把未知的东西明朗化。【教学思考】数学思想是数学的“灵魂”，是解决问题的“钥匙”，例9中包含的数学思想还有整体思想、数学建模思想、隐含条件思想等。四边形中蕴含的数学思想方法是比较丰富的，如果在学习时没有挖掘数学思想方法，势必造成“为讲题而讲题，为解题而解题”的局限，不能真正领悟数学的知识与技能，因而，形成一定的数学思想方法，是四边形复习中最值得注重的目标，是提高学生数学能力的根本所在。（四）、关注四边形中的实际应用，培养应用意识四边形是一种常见的几何图形，在日常生活中有着广泛的应用，与生活相关联的四边形题材很多，下面一起看看四边形中的实际应用：AB图10PQC例10、(2010 云南省曲靖市)如图10，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角，使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm，=120时，A、B两点的距离为_cm【分析】连接AP，因为图10中的四边形为菱形，所以AP平分角，若=120，则有APC是等边三角形，所以有AP=18cm，所以AB=54cm。此题用实际生活中的素材综合菱形与等腰三角形EABCD图11例11、(2011 江苏省盐城市)如图11 ，将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_【分析】例11用综合了矩形、等腰梯形和全等三角形的判定，由题意知ABC=DCB=CD E=60，ADBC，则BAD=120，所以BADCD E，所以AB与CD不平行，所以四边形ABCD是等腰梯形。图12ABCD手柄O例12、 (2010 湖南省郴州市) 一种千斤顶利用了四边形的不稳定性如图12，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）若AB=40cm，当ADC从60变为120时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数） 【分析】千斤顶主体部分（四边形ABCD）可以抽象成一个菱形，连接AC交BD于点O，当ADC的大小改变时，AC会随着改变，根据菱形的性质AC与BD互相垂直，当ADC=60时，ADC是等边三角形，AC=40cm；当ADC=120时，ADO=60，AC=2AO=，AC69，所以当ADC从60变为120时千斤顶大约升高了29cm。【教学思考】数学课程标准(修改稿)要求让学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识和其他知识解决简单的数学问题，发展应用意识和实践能力。”根据“课标”的要求与命题的发展趋势，试题会更加注重对学生能力水平的考查，与实际